Лагранжев подход

Ковариантная электродинамика <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 7)	>> Тензор энергии-импульса

---

$\textstyle \bullet$ Для построения ковариантных уравнений движения, как для частиц, так и для полей удобен лагранжев метод. Напомним, что функционалом называется математический объект, который каждой функции ставит в соответствие некоторое число. Простейшим примером функционала является определённый интеграл. Той или иной функции он ставит в соответствие ограничивающую ею площадь. Из всех возможных функций особый интерес представляют те функции, которые минимизируют значение интеграла. Пусть т.н. функция Лагранжа $\textstyle L(q_{k},\;{\dot {q}}_{k})$, зависит от $\textstyle n$ функций $\textstyle q_{k}=q_{k}(t)$ и их производных $\textstyle {\dot {q}}_{k}=dq_{k}/dt$, где $\textstyle k=1,...,n$. Проинтегрируем её от $\textstyle t_{1}$ до $\textstyle t_{2}$:

$I[q]=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{1},...,q_{n},\,{\dot {q}}_{1},...,{\dot {q}}_{n})\,dt=min.$

Функционал $\textstyle I[q]$ будет минимальным (точнее экстремальным), если функции $\textstyle q_{k}(t)$ удовлетворяют уравнениям Лагранжа:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}.$

(EQN)

} Для доказательства к экстремальной траектории $\textstyle q_{k}(t)$ добавим произвольные функции $\textstyle \phi _{k}(t)$, умноженные на некоторое число $\textstyle \varepsilon$. Таким способом, мы перебираем все возможные функции соединяющие начальную и конечную точки, считая, что $\textstyle \phi _{k}(t_{1})=\phi _{k}(t_{2})=0$ (см. рисунок). Интеграл, как функция $\textstyle \varepsilon$, имеет экстремум при $\textstyle \varepsilon =0$, следовательно:

${\frac {d}{d\varepsilon }}\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{k}+\varepsilon \phi _{k},{\dot {q}}_{k}+\varepsilon {\dot {\phi }}_{k})\,dt\,{\Bigr |}_{\varepsilon =0}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\left[{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}\,\phi _{k}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}\,{\dot {\phi _{k}}}\right]dt=0.$

В квадратных скобках, во втором слагаемом выделим производную произведения по времени (по повторяющимся индексам $\textstyle k$ сумма от 1 до $\textstyle n$):

$\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\left[{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}\right)\right]\,\phi _{k}\,dt+\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}\,\,\phi _{k}\right)\,dt=0.$

В силу фиксированности начальной и конечной точки $\textstyle \phi _{k}(t_{1})=\phi _{k}(t_{2})=0$ второй интеграл равен нулю ($\textstyle \lessdot$\,H). Так как функции $\textstyle \phi _{k}(t)$ произвольны, первый интеграл будет равен нулю только, если равно нулю выражение в квадратных скобках, что и приводит к уравнениям Лагранжа.

$\textstyle \bullet$ Аналогично можно рассмотреть функционал от функций, которые зависят не только от времени, но и от точки в пространстве. При этом динамической переменной является поле, которое, в общем случае, имеет несколько компонент $\textstyle \Psi _{k}(t,\mathbf {x} )$. Индекс $\textstyle k$ может отсутствовать или пробегать, например, четыре значения от 0 до 3. В первом случае говорят о скалярном поле, а во втором о поле, являющимся 4-вектором (векторное поле). Возможны и более сложные случаи. Не конкретизируя число компонент поля запишем следующий функционал

$I[\Psi ]=\int {\mathcal {L}}(\Psi _{k},\partial _{\alpha }\Psi _{k})\,d^{4}x=min.$

(EQN)

Это 4-кратный интеграл в котором интегрирование ведётся по 4-мерному объёму $\textstyle d^{4}x=dt\,d^{3}\mathbf {x}$. Обычно рассматривается случай, когда интегрирование по $\textstyle d^{3}\mathbf {x}$ ведётся по всему пространству и поля на бесконечности убывают $\textstyle \Psi _{k}(t,\infty )=0$. Интегрирование по времени ведётся между $\textstyle t_{1}$ и $\textstyle t_{2}$, в которых поле фиксировано: $\textstyle \Psi _{k}(t_{1},\mathbf {x} )=\Psi _{k}^{(1)}(\mathbf {x} )$, $\textstyle \Psi _{k}(t_{2},\mathbf {x} )=\Psi _{k}^{(2)}(\mathbf {x} )$.

Введём произвольные функции $\textstyle \phi _{k}=\phi _{k}(t,\mathbf {x} )$ отклонения от поля, минимизирующего () и обращающиеся в ноль при $\textstyle t_{1}$, $\textstyle t_{2}$. Умножим их на малый параметр $\textstyle \varepsilon$ и найдём экстремум функционала по этому параметру при $\textstyle \varepsilon =0$:

${\frac {d}{d\varepsilon }}\int {\mathcal {L}}(\Psi _{k}+\varepsilon \phi _{k},\partial _{\alpha }\Psi _{k}+\varepsilon \partial _{\alpha }\phi _{k})d^{4}x=\int \left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \Psi _{k}}}\,\phi _{k}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\alpha }\Psi _{k})}}\,\partial _{\alpha }\phi _{k}\right]d^{4}x=0.$

По индексам $\textstyle k$ и $\textstyle \alpha$ проводится суммирование. В последнем слагаемом можно выделить полную производную по $\textstyle \partial _{\alpha }$:

$\int \left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \Psi _{k}}}-\partial _{\alpha }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\alpha }\Psi _{k})}}\right)\right]\,\phi _{k}\,d^{4}x+\int \partial _{\alpha }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\alpha }\Psi _{k})}}\,\phi _{k}\right)d^{4}x=0.$

Второй интеграл равен нулю, так как он имеет вид:

$\int \partial _{\alpha }f^{\alpha }d^{4}x=\int {\frac {\partial f^{0}}{\partial t}}\,dt\,d^{3}\mathbf {x} +\int \nabla \mathbf {f} \,dt\,d^{3}\mathbf {x} =0.$

Первый интеграл обращается в ноль при интегрировании по $\textstyle dt$ так как в моменты времени $\textstyle t_{1}$ и $\textstyle t_{2}$ поле $\textstyle \phi _{k}$ равно нулю. Второй интеграл при интегрировании по пространству $\textstyle d^{3}\mathbf {x}$, в силу интегральной теоремы Гаусса, заменяется на интеграл по поверхности "охватывающей всё пространство". На этой поверхности (на бесконечности) поля $\textstyle \Psi _{k}$ равны нулю. В результате получаются уравнения Лагранжа для поля

$\partial _{\alpha }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \,(\partial _{\alpha }\Psi _{k})}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \Psi _{k}}},$

(EQN)

решения которых соответствуют экстремуму функционала ().

$\textstyle \bullet$ Лагранжев подход удобен тем, что, записав релятивистски инвариантное выражение для функционала $\textstyle I$, называемого действием, при помощи уравнений Лагранжа, мы автоматически получим ковариантные уравнения движения в тензорной форме. Рассмотрим сначала движение пробной частицы во внешнем электромагнитном поле.

Если полей нет, состояние частицы полностью определяется её скоростью $\textstyle \mathbf {u} =d\mathbf {r} /dt$. Существует естественный инвариант $\textstyle ds$, равный интервалу между двумя бесконечно близкими событиями. Вдоль траектории частицы $\textstyle ds^{2}=dt^{2}-d\mathbf {r} ^{2}=(1-\mathbf {u} ^{2})\,dt^{2}$. Внешнее электромагнитное поле в ковариантном виде будем задавать при помощи 4-потенциала $\textstyle A^{\alpha }$. Если его свернуть с 4-вектором бесконечно малого смещения $\textstyle dx^{\alpha }$, то получится ещё одна инвариантная величина. Умножив эти два инварианта на константы $\textstyle m$, $\textstyle q$ и сложив, получим следующее действие:

$I=-m\int ds-q\int A_{\alpha }\,dx^{\alpha }=\int (-m{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}-q\varphi +q\mathbf {A} \mathbf {u} )\,dt.$

Во втором равенстве действие записано как интеграл по времени ($\textstyle \lessdot$\,H) и для 4-потенциала использованы 3-мерные обозначения $\textstyle A^{\alpha }=\{\varphi ,\mathbf {A} \}$. В результате мы приходим к функции Лагранжа частицы в электромагнитном поле:

$L(\mathbf {r} ,\,\mathbf {u} )=-m{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}-q\varphi +q\mathbf {A} \mathbf {u} .$

(EQN)

Коэффициенты $\textstyle m$ (масса частицы) и $\textstyle q$ (заряд частицы) выбраны таким образом, чтобы получились правильные уравнения движения, соответствующие силе Лоренца. Убедимся в этом. Положение частицы $\textstyle \mathbf {r} =\{x,y,z\}$ — это обобщённая координата $\textstyle q_{k}$, а её производная по времени $\textstyle {\dot {q}}_{k}$ — это скорость частицы $\textstyle \mathbf {u}$. Уравнения Лагранжа () в векторной форме имеют вид:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {u} }}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}.$

(EQN)

Производная по скорости равна:

${\frac {\partial L}{\partial \mathbf {u} }}={\frac {m\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}+q\mathbf {A} =\mathbf {p} +q\mathbf {A} ,$

где первый член является релятивистским импульсом $\textstyle \mathbf {p}$. Для взятия полной производной по времени необходимо учесть, что потенциалы зависят от координат, соответствующих положению пробной частицы, поэтому:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {u} }}\right)={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}+q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+q(\mathbf {u} \nabla )\mathbf {A} ,$

где взят полный дифференциал от векторного поля $\textstyle \mathbf {A}$ ($\textstyle \lessdot$\,H).

Найдём теперь правую часть уравнений Лагранжа:

${\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=\nabla L=-q\nabla \varphi +q\nabla (\mathbf {A} \mathbf {u} ).$

В результате уравнения Лагранжа принимают вид:

${\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=q\,\left(-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)+q\,\left(\nabla (\mathbf {A} \mathbf {u} )-(\mathbf {u} \nabla )\mathbf {A} \right).$

Последние два слагаемые при помощи тождества для двойного векторного произведения сворачиваются в одно: $\textstyle \mathbf {u} \times [\nabla \times \mathbf {A} ]$. Учитывая связь полей и потенциалов, приходим к силе Лоренца (стр.\,\pageref{E_B_main}):

${\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=q\mathbf {E} +q\mathbf {u} \times \mathbf {B} .$

(EQN)

Чтобы сразу получить ковариантные уравнения (), стр.\,\pageref{lorez_force_cov} необходимо в лагранжевом подходе использовать не время $\textstyle t$, а инвариантный интервал $\textstyle s$. Тогда динамическими переменными $\textstyle q_{k}$ становятся $\textstyle x^{\alpha }$, а их производными $\textstyle u^{\alpha }=dx^{\alpha }/ds$. Однако, в этом случае, не все динамические переменные являются независимыми. В частности, компоненты 4-скорости $\textstyle u^{\alpha }$ связаны соотношением $\textstyle \mathrm {u} ^{2}=u_{\alpha }u^{\alpha }=1$. Чтобы использовать лагранжев подход необходимо искать экстремум со связями, используя метод множителей Лагранжа (см. стр.\,\pageref{math_lagrang_mult}). Так, запишем лагранжиан в виде:

$L=-q\,A_{\alpha }u^{\alpha }-{\frac {1}{2}}\,\lambda \,(\mathrm {u} ^{2}-1).$

Функция $\textstyle \lambda =\lambda (s)$ (множитель Лагранжа) является дополнительной динамической переменной, обеспечивающей в каждый момент времени выполнения связи $\textstyle \mathrm {u} ^{2}=1$. Так как производной по $\textstyle s$ от $\textstyle \lambda (s)$ в лагранжиане нет, уравнение Лагранжа по этой переменной $\textstyle \partial L/\partial \lambda =0$ приводит к соотношению $\textstyle \mathrm {u} ^{2}=1$. Остальные производные лагранжиана по $\textstyle x^{\alpha }$ и $\textstyle u^{\alpha }$ равны:

${\frac {\partial L}{\partial x^{\alpha }}}=-q\,\partial _{\alpha }A_{\beta }\,u^{\beta },\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {d}{ds}}\left({\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}\right)=-q{\frac {dA_{\alpha }}{ds}}-{\frac {d(\lambda u_{\alpha })}{ds}}.$

Учитывая, что $\textstyle dA_{\alpha }/ds=\partial _{\beta }A_{\alpha }\,dx^{\beta }/ds=\partial _{\beta }A_{\alpha }\,u^{\beta }$, получаем уравнение:

${\frac {d(\lambda u_{\alpha })}{ds}}=q\,(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })\,u^{\beta }=qF_{\alpha \beta }\,u^{\beta }.$

Так как $\textstyle F_{\alpha \beta }$ — антисимметричен, свёртка уравнения с $\textstyle u^{\alpha }$ в правой части даст ноль. В левой части имеем:

${\frac {d(\lambda u_{\alpha })}{ds}}\,u^{\alpha }={\frac {d\lambda }{ds}}\,\mathrm {u} ^{2}+\lambda \,{\frac {du_{\alpha }}{ds}}\,u^{\alpha }={\frac {d\lambda }{ds}}+{\frac {\lambda }{2}}\,{\frac {d(\mathrm {u} ^{2})}{ds}}={\frac {d\lambda }{ds}}=0,$

где учтена связь $\textstyle \mathrm {u} ^{2}=1$. Таким образом, $\textstyle \lambda$ является константой, равной массе частицы $\textstyle m$.

$\textstyle \bullet$ Перейдём к динамическим уравнениям для электромагнитного поля. В основу лагранжевого подхода положим 4-потенциал $\textstyle A^{\alpha }$. Мы хотим найти уравнения которым он удовлетворяет. Эти уравнения должны быть:\\ 1) линейными уравнениями (принцип суперпозиции)\\ 2) дифференциальными уравнениями второго порядка.\\ Эти требования, благодаря уравнениям Лагранжа, выполнятся, если лагранжиан будет не более чем квадратичен по полям. Из 4-тока $\textstyle j^{\alpha }$, потенциала $\textstyle A^{\alpha }$ и его производных $\textstyle \partial _{\alpha }A_{\beta }$ можно сформировать следующие инварианты:

$A^{\alpha }j_{\alpha },\;\;\;(\partial _{\alpha }A_{\beta })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }),\;\;\;(\partial _{\alpha }A_{\beta })(\partial ^{\beta }A^{\alpha }),\;\;\;A^{\alpha }j^{\beta }\,\partial _{\alpha }A_{\beta },\;\;\;\;j^{\alpha }A^{\beta }\,\partial _{\alpha }A_{\beta },\;\;\;\;A^{\alpha }A_{\alpha }.$

В принципе, если их умножить на некоторые константы и сложить, получится наиболее общий лагранжиан векторного поля, соответствующий линейным динамическим уравнениям. Последняя комбинация, квадратичная по потенциалу $\textstyle A^{\alpha }A_{\alpha }$, приводит к теории в которой скорость электромагнитных волн оказывается меньшей скорости света, а закон Кулона нарушается. Поэтому от этого члена мы откажемся. Следующие два члена с конца в этом списке также не приведут к уравнениям Максвелла. При их подстановке в уравнения Лагранжа появятся производные тока. Уравнения для потенциалов станут зависеть не только от скоростей, но и от ускорения частиц. Хорошо это или плохо трудно сказать. Если коэффициенты при этих членах в лагранжиане малы, то и возникающие эффекты будут малы. Поэтому, возможно, пока никто и не обнаружил отклонений от уравнений Максвелла. Тем не менее мы откажемся и от них, ограничившись только первыми тремя инвариантами:

${\mathcal {L}}=-A^{\alpha }j_{\alpha }-{\frac {a}{2}}\,(\partial _{\alpha }A_{\beta })(\partial ^{\alpha }A^{\beta })+{\frac {b}{2}}\,(\partial _{\alpha }A_{\beta })(\partial ^{\beta }A^{\alpha }).$

Множитель при первом члене лагранжиана выбран равным -1. Понятно, что если лагранжиан умножить на произвольную константу, уравнения от этого не поменяются. Следовательно одну из констант в сумме инвариантных комбинаций можно выбрать произвольной.

Возьмём соответствующие производные от лагранжиана ($\textstyle \lessdot$\,H):

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\beta }}}=-j^{\beta },\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\alpha }A_{\beta })}}=-a\,\partial ^{\alpha }A^{\beta }+b\,\partial ^{\beta }A^{\alpha }.$

Их подстановка в уравнения Лагранжа () (сейчас $\textstyle k=\beta$) приводит к следующим уравнениям поля:

$a\,\partial ^{2}\,A^{\beta }-b\,\partial ^{\beta }\partial _{\alpha }A^{\alpha }=j^{\beta },$

где $\textstyle \partial ^{2}=\partial ^{\alpha }\partial _{\alpha }=\partial ^{2}/\partial t^{2}-\Delta$ — оператор Д`Аламбера.

Эти уравнения совпадут с уравнениями Максвелла, если $\textstyle a=b=1/4\pi$. Действительно, напомним, что уравнения для потенциалов, следующие из уравнений Максвелла имеют вид (стр.\,\pageref{A_phi_eq}):

$\partial ^{2}\,\varphi -{\frac {\partial }{\partial t}}{\Bigl (}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \mathbf {A} {\Bigl )}=4\pi \rho ,\;\;\;\;\;\;\partial ^{2}\,\mathbf {A} +\nabla {\Bigl (}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \mathbf {A} {\Bigl )}=4\pi \mathbf {j} .$

Выражения в круглых скобках являются ни чем иным, как свёрткой $\textstyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }$. По определению, компоненты 4-ковектора $\textstyle \partial _{\beta }$ равны $\textstyle \{\partial _{0},\nabla \}$, поэтому для 4-вектора производной с индексом вверху имеем $\textstyle \partial ^{\beta }=\{\partial _{0},-\nabla \}$.

Если определение константы $\textstyle a$ сказывается лишь на выбор единиц измерения поля, то с выбором константы $\textstyle b$ ситуация хитрее. Свойства полей, в конечном счёте, проявляются при их действии на пробную частицу. Поэтому в классической электродинамике измеримыми являются напряжённости поля, а не потенциалы. Последние определены неоднозначно, что позволяет наложить на них калибровочное условие, например в форме $\textstyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0$. В этом случае, константа $\textstyle b$ является произвольной. Её можно положить как равной нулю, так и равной $\textstyle b=1/4\pi$. В последнем случае лагранжиан может быть записан ($\textstyle \lessdot$\,H) при помощи тензора $\textstyle F^{\alpha \beta }$:

${\mathcal {L}}=-A_{\alpha }j^{\alpha }-{\frac {1}{16\pi }}\,F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }.$

(EQN)

Член $\textstyle A_{\alpha }j^{\alpha }$ совпадает с введенным ранее лагранжианом для точечной частицы с плотностью заряда $\textstyle \rho (\mathbf {x} ,t)=q\delta {\bigl (}\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(t){\bigr )}$. Действительно, запишем часть действия (см. () стр.\,\pageref{j_def}):

$\int A_{\alpha }j^{\alpha }\;d^{4}x=\int A_{\alpha }\,q\delta {\bigl (}\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(t){\bigr )}\,{\frac {dx_{0}^{\alpha }(t)}{dt}}\,dt\,d^{3}\mathbf {x} =q\int A_{\alpha }\,dx^{\alpha }.$

В последнем равенстве взят интеграл по объёму $\textstyle d^{3}\mathbf {x}$ с дельта-функцией. Потенциал $\textstyle A^{\alpha }=A^{\alpha }(\mathbf {x} _{0}(t),t)$ стал зависеть от траектории частицы $\textstyle \mathbf {x} _{0}(t)$ (поэтому мы его и дифференцировали при выводе ()).

В результате можно записать единое действие для зарядов и полей:

$I=-\sum \int mds-\sum qA_{\alpha }dx^{\alpha }-{\frac {1}{16\pi }}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\,d^{4}x.$

(EQN)

Суммирование ведётся по всем точечным зарядам. Это действие можно минимизировать одновременно и для частиц и полей. В этом случае нет разделения на пробные частицы и частицы создающие поле.

В качестве упражнения предлагается добавить к лагранжиану электромагнитного поля член $\textstyle \mu ^{2}A_{\alpha }A^{\alpha }/8\pi$, найти уравнения движения в лоренцевской калибровке ($\textstyle b=0$) ($\textstyle \lessdot$H) и решить их для случая электростатики ($\textstyle \lessdot$H). Затем получить решения этих уравнений в свободном пространстве (волновые уравнения с $\textstyle \mu \neq 0$) ($\textstyle \lessdot$H).

---

Ковариантная электродинамика <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 7)	>> Тензор энергии-импульса

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии