Обсуждение:Группы O(3) и SO(3)

Здравствуйте!

А как можно показать, что тензор, например, четвертого ранга, компоненты которого выражаются через $\ \delta ^{ij}\delta ^{kl},\delta ^{ik}\delta ^{jl}+\delta ^{il}\delta ^{jk}$, инвариантен относительно всех О(3)-вращениях? Maxim 18:36, 18 декабря 2012 (UTC).

Для этого достаточно показать неизменность тензора $\delta _{ij}$:

$\delta '_{ij}=R_{ik}R_{jm}\,\delta _{km}=R_{im}R_{jm}=(\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T})_{ij}=(\mathbf {I} )_{ij}=\delta _{ij}.$

Остальные комбинации являются несвязанными произведениями символов Кронекера. Поэтому они естественно также не меняют своего вида при ортогональных преобразованиях. Сергей Степанов 20:13, 18 декабря 2012 (UTC)

Спасибо. А можно будет записать аналогичное для $\ \delta _{ijkl}$? Или он уже будет инвариантен лишь при определенных ортогональных матрицах перехода $\ \mathbf {R}$ (например, при повороте лишь на определенный угол)? У меня, вроде бы, выходит, что при любых матрицах $\ \delta _{ijkl}$ инвариантен (как, вроде бы, и должно быть). При этом, тензор упругости четвертого ранга, записанный для тела, что имеет кубическую симметрию, записывают так, что

$\ a_{ijkl}=b\delta _{ij}\delta _{kl}+c(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk})+d\delta _{ijkl}$,

говоря, что первые два слагаемых дают тензор, который инвариантен относительно всех О(3)-вращениях, а третье ответственно за составную, что инвариантна лишь при вращениях, связанных с кубической симметрией. Можете, пожалуйста, подсказать, почему его записывают? Давно мучил вопрос. Maxim 21:22, 18 декабря 2012 (UTC).

А как определяется $\delta _{ijkl}$? Сергей Степанов 07:35, 19 декабря 2012 (UTC)

Возможно, он определяется как такой, что $\ \delta _{kl}^{ij}$ равен единице при разных i,j, k,l, при этом i = j, k = l; равен минус единице при разных i, j, k, l, при этом i = l, j = k (когда одна перестановка требуется для сведения к виду, когда значение компоненты равно единице); нулю - во всех остальных случаях. А у тензора есть симметрия: $\ a_{ijkl}=a_{jikl}=a_{ijlk}=a_{klij}$.Maxim 09:40, 19 декабря 2012 (UTC).