Ковариантная динамика

Решения динамических уравнений <<	Оглавление (Глава 3)	>> Инварианты s, t и u

$\textstyle \bullet$ Любые физические величины могут быть выражены в терминах 4-векторов. Как только подобный 4-вектор записан, при помощи соотношений (), стр. \pageref{lorenz_vecA0}, не составляет труда найти закон преобразования физической величины между двумя инерциальными системами отсчёта.

Так, умножая 4-вектор скорости (), стр. \pageref{u_4vec}, на массу, мы получаем 4-вектор энергии импульса:

p^{\alpha }=mu^{\alpha }=m\,{\frac {dx^{\alpha }}{ds}}=\left({\frac {m}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}},\;{\frac {m\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}\right)=(E,\mathbf {p} ),

где учтено, что инвариантный интервал вдоль траектории движения частицы равен $\textstyle ds=dt\,{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}$ , а $\textstyle dx^{\alpha }=(dt,\;d\mathbf {r} )$ . Масса частицы является инвариантом. Её квадрат совпадает с квадратом 4-импульса:

Это же выражение сразу следует из соотношения для 4-скорости $\textstyle \mathrm {u} ^{2}=1$ . В 4-мерном импульсном пространстве с осями $\textstyle E$ , $\textstyle p_{x}$ , $\textstyle p_{y}$ , $\textstyle p_{z}$ уравнение $\textstyle \mathrm {p} ^{2}=m^{2}$ является гиперболоидом. Для "обычных" частиц $\textstyle m^{2}>0$ , $\textstyle E>0$ , поэтому энергия и импульс частиц находятся на верхней чаше гиперболоида, которую называют массовой поверхностью. Частицы с нулевой массой лежат на конусе.

Для энергии и импульса можно записать векторное преобразование между двумя системами отсчёта (см. также стр. \pageref{lorenz_EP_vec}):

E'=\gamma (E-\mathbf {v} \mathbf {p} ),\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {p} '=\mathbf {p} -\gamma \mathbf {v} E+\Gamma \,\mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {p} ).

Масса фотона равна нулю, и в соответствии с формулой Планка можно ввести волновой 4-вектор:

p^{\alpha }=\hbar k^{\alpha },\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k^{\alpha }=(\omega ,\mathbf {k} )=(\omega ,\omega \mathbf {n} ),

где $\textstyle n$ — единичный вектор в направлении распространения фотона, а $\textstyle \omega =2\pi \nu$ — его круговая частота. При помощи этих соотношений и преобразований энергии - импульса можно снова записать соотношение для эффекта Доплера и аберрации (стр. \pageref{acsel_4vec}).

$\textstyle \bullet$ Для получения 4-вектора силы необходимо продифференцировать 4-импульс по инвариантному интервалу:

f^{\alpha }={\frac {dp^{\alpha }}{ds}}.

Учитывая, что для инвариант $\textstyle s$ (собственное время) вдоль траектории движения частицы равен $\textstyle ds={\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}\,dt$ , получаем:

f^{\alpha }={\frac {dp^{\alpha }/dt}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}=\left({\frac {\mathbf {u} \mathbf {F} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}},\;{\frac {\mathbf {F} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}\right),

где подставлены выражения $\textstyle dE/dt=\mathbf {u} \mathbf {F}$ , $\textstyle d\mathbf {p} /dt=\mathbf {F}$ . Величина $\textstyle f^{\alpha }$ является 4-вектором [преобразуется в соответствии с соотношениями ()], так как 4-вектором является $\textstyle p^{\alpha }$ , а $\textstyle ds$ — инвариант преобразований.

Скалярное произведение 4-силы на 4-импульс равно нулю:

\mathrm {p} \cdot \mathrm {f} =p_{\alpha }f^{\alpha }=p^{0}f^{0}-\mathbf {p} \mathbf {f} ={\frac {E(\mathbf {u} \mathbf {F} )-\mathbf {p} \mathbf {F} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}=0,

где в последнем равенстве необходимо подставить $\textstyle \mathbf {p} =\mathbf {u} \,E$ . Это соотношение можно также доказать, продифференцировав массу, которая является константой:

0={\frac {dm^{2}}{ds}}={\frac {d(p^{\alpha }p_{\alpha })}{ds}}={\frac {dp^{\alpha }}{ds}}\,p_{\alpha }+p^{\alpha }\,{\frac {dp_{\alpha }}{ds}}=2p_{\alpha }\,{\frac {dp^{\alpha }}{ds}}=2p_{\alpha }f^{\alpha }.

Производная квадрата $\textstyle p^{\alpha }p_{\alpha }$ вычисляется по правилу производной произведения. Затем учитывается свойство скалярного произведения любых двух векторов: $\textstyle A^{\alpha }B_{\alpha }=A_{\alpha }B^{\alpha }$ (стр. \pageref{A_cdot_B}). Напомним, что аналогичные рассуждения были проделаны при доказательстве соотношения $\textstyle \mathrm {u} \cdot \mathrm {a} =0$ .

Квадрат 4-силы является инвариантом, поэтому следующая комбинация

\mathrm {f} ^{2}={\frac {(\mathbf {u} \mathbf {F} )^{2}-\mathbf {F} ^{2}}{1-\mathbf {u} ^{2}}}=inv

имеет одно и то же значение для всех инерциальных наблюдателей.

Используя определение 4-ускорения $\textstyle a^{\alpha }=du^{\alpha }/ds$ (стр. \pageref{acsel_4vec}), выражение для 4-силы можно написать в квазиньютоновском виде

f^{\alpha }=m\,a^{\alpha }.

Естественно, это соотношение записано для 4-векторов и, конечно, не эквивалентно обычному ньютоновскому закону $\textstyle \mathbf {F} =m\mathbf {a}$ для обычных 3-векторов.

$\textstyle \bullet$ В ковариантных обозначениях описание реакций взаимодействия частиц становится очень лаконичным и простым. Для двух частиц с 4-импульсами $\textstyle \mathrm {p} _{1}=(E_{1},\mathbf {p} _{1})$ и $\textstyle \mathrm {p} _{2}=(E_{2},\mathbf {p} _{2})$ , имеющих массы $\textstyle m_{1}$ и $\textstyle m_{2}$ , справедливы следующие соотношения:

\mathrm {p} _{1}^{2}=m_{1}^{2},\;\;\;\;\;\;\;\mathrm {p} _{2}^{2}=m_{2}^{2},\;\;\;\;\;\;\;\mathrm {p} _{1}\cdot \mathrm {p} _{2}=E_{1}E_{2}-\mathbf {p} _{1}\mathbf {p} _{2}.

Всегда, когда встречается квадрат 4-импульса, его можно сразу заменить на квадрат массы частицы. Последнее соотношение является общим определением скалярного произведения 4-векторов. Квадраты 4-векторов или их скалярные произведения являются инвариантами, поэтому могут быть расписаны в любой системе отчёта. Полученное значение численно будет совпадать со значением этого инварианта в любой другой системе. Если построено равенство, связывающее два инварианта, можно записать его левую часть в одной системе координат, а правую — в другой. В результате получится связь между величинами, измеряемыми наблюдателями в различных системах отсчёта.

Рассмотрим ещё раз реакцию, в которой частица с 4-импульсом $\textstyle \mathrm {p}$ распадается на две частицы с 4-импульсами $\textstyle \mathrm {p} _{1}$ и $\textstyle \mathrm {p} _{2}$ (стр. \pageref{sec_reactions}). Закон сохранения энергии и импульса (компонент 4-импульса) в этом случае имеет вид:

\mathrm {p} =\mathrm {p} _{1}+\mathrm {p} _{2}.

Для нулевых компонент 4-векторов это уравнение даёт закон сохранения энергии, а для пространственных — закон сохранения импульса.

Перенося 4-импульс $\textstyle \mathrm {p} _{1}$ влево и возводя в квадрат, получаем:

(\mathrm {p} -\mathrm {p} _{1})^{2}=m^{2}+m_{1}^{2}-2\mathrm {p} \cdot \mathrm {p} _{1}=m_{2}^{2},

где квадрат раскрывается по обычной алгебраической формуле.

Теперь можно расписать это выражение в конкретной системе отсчёта. Наиболее естественно выбрать систему, в которой исходная частица покоится $\textstyle \mathrm {p} =(m,\mathbf {0} )$ . В этом случае скалярное произведение равно $\textstyle \mathrm {p} \cdot \mathrm {p} _{1}=mE_{1}-\mathbf {0} \cdot \mathbf {p_{1}} =mE_{1}$ . Поэтому:

m^{2}+m_{1}^{2}-2mE_{1}=m_{2}^{2}.

В результате энергия продукта распада оказывается зависящей от масс распавшихся частиц и массы исходной частицы:

E_{1}={\frac {m^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2m}}.

Абсолютно аналогично находится $\textstyle E_{2}$ . Для этого в законе сохранения необходимо перенести 4-импульс $\textstyle \mathrm {p} _{2}$ влево (или поменять местами индексы).

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим теперь реакцию упругого столкновения двух частиц с 4-импульсами $\textstyle \mathrm {p} _{1}$ и $\textstyle \mathrm {p} _{2}$ . После столкновения их массы не изменяются, а 4-импульсы становятся равными $\textstyle \mathrm {p} '_{1}$ и $\textstyle \mathrm {p} '_{2}$ . Закон сохранения энергии-импульса в этом случае имеет вид:

\mathrm {p} _{1}+\mathrm {p} _{2}=\mathrm {p} '_{1}+\mathrm {p} '_{2}.

Избавимся от энергии и импульса одной из конечных частиц. Для этого $\textstyle \mathrm {p} '_{1}$ перенесём влево и всё выражение возведём в квадрат:

(\mathrm {p} _{1}+\mathrm {p} _{2}-\mathrm {p} '_{1})^{2}=\mathrm {p} '\,_{2}^{2}.

Проведя стандартные алгебраические действия, имеем:

m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{1}^{2}+2\mathrm {p} _{1}\cdot \mathrm {p} _{2}-2\mathrm {p} _{1}\cdot \mathrm {p} '_{1}-2\mathrm {p} _{2}\cdot \mathrm {p} '_{1}=m_{2}^{2}.

Выберем лабораторную систему отсчёта, в которой вторая частица неподвижна $\textstyle \mathrm {p} _{2}=(m_{2},\mathbf {0} )$ :

m_{1}^{2}=\mathrm {p} _{1}\cdot \mathrm {p} '_{1}+\mathrm {p} _{2}\cdot (\mathrm {p} '_{1}-\mathrm {p} _{1})=E_{1}E'_{1}-\mathbf {p} _{1}\mathbf {p} '_{1}+m_{2}\,(E'_{1}-E_{1}).

Теперь несложно выразить угол рассеяния $\textstyle \mathbf {p} \mathbf {p} '=pp'\cos \theta$ через энергию налетающей частицы $\textstyle E_{1}={\sqrt {p^{2}+m_{1}^{2}}}$ и её же энергию после рассеяния $\textstyle E'_{1}={\sqrt {p'^{2}+m_{1}^{2}}}$ .

Для нахождения зависимости импульса $\textstyle |{\tilde {\mathbf {p} }}_{1}|=|{\tilde {\mathbf {p} }}_{2}|={\tilde {p}}$ и угла рассеяния $\textstyle \chi$ в системе центра масс от энергий частиц в лабораторной системе запишем закон сохранения в виде $\textstyle \mathrm {p} '_{1}-\mathrm {p} _{1}=\mathrm {p} _{2}-\mathrm {p} '_{2}$ и умножим его на $\textstyle \mathrm {p} _{2}$ .

\mathrm {p} _{2}\cdot (\mathrm {p} '_{1}-\mathrm {p} _{1})=\mathrm {p} _{2}\cdot (\mathrm {p} _{2}-\mathrm {p} '_{2}).

Это равенство является инвариантом, т.е. имеет одинаковые значения в любой системе отсчёта. Распишем левую часть в лабораторной системе $\textstyle \mathrm {p} _{2}=(m_{2},\mathbf {0} )$ , а правую — в системе центра масс $\textstyle \mathrm {p} _{2}=({\tilde {E}}_{2},\;{\tilde {\mathbf {p} }}_{2})$ :