Рассматривая электродинамику, мы различали поля и частицы. Частицы мыслились как некоторые компактные (возможно точечные) образования, которые взаимодействовали при помощи электромагнитного поля. Таким образом, основное различие между полем и частицами состоит в том, что энергия последних локализована в малой области пространства, тогда как энергия поля существенно более нелокальная.
Оказывается, что в рамках нелинейных полевых теорий можно получать решения, которые обладают локализованной энергией, движущейся в пространстве. Такие сгустки энергии могут взаимодействовать друг с другом, сохраняя после взаимодействия свою форму, образовывать связанные состояния и т.д. Подобные решения, называемые солитонами, могут служить полевой моделью частиц.
Рассмотрим простейший пример теории действительного скалярного поля с лагранжианом:
Уравнения Лагранжа
приводят к следующим уравнениям движения:
|
(EQN)
|
Тензор энергии-импульса находится по общей формуле (), стр.\,\pageref{neter_energey_momentum}, которая в случае скалярного поля имеет вид:
Подставляя лагранжиан, получаем симметричный тензор:
Плотность энергии поля имеет вид:
|
(EQN)
|
а плотность импульса :
|
(EQN)
|
где точка над функцией поля — это производная по времени.
Солитонное решение для скалярного поля существует, например, в одномерном случае для:
где и — некоторые константы. Такой лагранжиан называют моделью Хиггса. Для него уравнения движения () имеют вид:
|
(EQN)
|
Обратим внимание, что знак перед квадратичным членом отличается от массивного линейного поля, которе рассматривалось на стр.\,\pageref{field_scalar2_lag}. Без потери общности можно положить . Действительно, заменами и уравнение () можно привести к форме с . Обратные замены — восстанавливают эти константы.
Мы планируем получить сгусток энергии скалярного поля, который движется с постоянной скоростью по траектории . Если вместе с ним с той же скорость будет двигаться наблюдатель, он увидит статическую конфигурацию поля, не зависящую от времени. Подставляя в уравнения движения (), получаем:
где . Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Умножая обе части на и интегрируя, имеем:
где константа интегрирования выбрана равной . Извлекая корень, разделяя переменные и интегрируя это уравнение еще раз
получаем решение:
|
(EQN)
|
где — еще одна константа интегрирования (начальное положение фазы солитона при ). Для восстановления размерных констант аргумент гиперболического тангенса нужно умножить на , а сам тангенс на .
Плотность энергии поля () для решения () равна:
Плотность импульса связана с плотностью энергии обычным образом: . Интегрирование по всему пространству дает полную энергию:
где константу (в которой восстановлены параметры и )
можно интерпретировать как массу солитона.
Типичный размер области с отличной от нуля энергией поля пропорционален . Чем больше параметр тем компактнее получается солитон и тем больше будет его масса. Параметр влияет на высоту солитона и чем он меньше, тем выше будет плотность энергии.
В 3-мерном пространстве получается аналогичное решение, но его энергия локализована только в направлении движения. В перпендикулярных направлениях убывания плотности энергии нет. Существенным в этой модели является также наличие нелинейности. Линейное уравнение Клейна-Гордона с решений вида c локализованной в пространстве плотностью энергии не имеет.
В общем случае, энергия солитона (интеграл от ()) будет конечной, если на бесконечности поле стремится к значению для которого . Такое значение поля называют классическим вакуумом. Лагранжиан, рассмотренный выше, имеет два таких вакуума: . Они соответствуют двум минимумам (см. выше первый рисунок). Справа от солитона поле стремиться к одному из этих вакуумов, а слева — ко второму. В результате, хотя само поле не убывает на бесконечности, плотность энергии оказывается локализованной в пространстве, а суммарная энергия — конечной.
Еще одна модель, допускающее солитонное решение с нелинейностью
приводит к уравнению синус-Гордона:
|
(EQN)
|
Повторяя вычисления (\,H), аналогичные предыдущей модели, получаем решение в виде движущегося солитона:
|
(EQN)
|
с локализованной плотностью энергии:
и импульсом . Масса такого солитона равна . Форма нелинейной функции , решение и плотность энергии в системе покоя солитона () приведены на рисунках ниже:
В обоих моделях локализованной оказалась плотность энергии, но не поле. В модели Хиггса поле изменяется от до . В синус-Гордоне от 0 до . Оба значения являются классическими вакуумами модели. Такие солитоны называются кинками (kink — изгиб). В модели Хиггса классических вакуумов только 2 в модели синус-Гордона их бесконечно много, причем существует обычный вакуум нулевого поля .
Решения подобные кинкам часто называют топологическими. Это название связано с перечислением способов отождествления двух предельных точек и классических вакуумов системы. Такие отожествления можно представить в виде линий, соединяющих предельные точки и вакуумы. Переплетение таких линий обладает определенной топологией (имеет ряд свойств, не зависящих от расстояний и других геометрических свойств). Для одномерного скалярного поля топология достаточно тривиальна, однако в более сложных моделях она может оказаться уже не такой простой.
Солитоны достаточно устойчивые образования и небольшие внешние возмущения их не разрушают. Рассмотрим соответствующее условие устойчивости \cite{Rubakov2010}. Пусть поле равно , где — солитонное решение, а — небольшое возмущение. Подставим эту сумму в уравнение движения и разложим в ряд по :
Так как солитон удовлетворяет уравнению , возмущение в системе отсчета, где солитон неподвижен () должно удовлетворять линейному уравнению:
Будем искать его решение в виде . Тогда удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка:
|
(EQN)
|
где . Потребуем, чтобы функция на бесконечности убывала (возмущение только в окрестности максимума плотности энергии солитона). Подобная задача с граничными условиями называется задачей Штурма — Лиувилля. В квантовой механике ей соответствует стационарное уравнение Шредингера с потенциалом и энергией . Граничные условия приводят к тому, что значения частот ограничены снизу и могут принимать дискретные значения. Если ( — действительно), то возмущения не растут со временем. Если же существует хотя бы одно отрицательное , то и с течением времени солитонное решение будет разрушаться экспоненциально растущим во времени возмущением.
Для модели Хиггса (H) и синус-Гордона (SG), получаются следующие "потенциалы":
Их собственные значения неотрицательны, поэтому соответствующие солитоны устойчивы. Заметим, что минимальная частота в обоих случаях равна нулю. Действительно, в системе покоя удовлетворяет уравнению . Дифференцируя его по , получаем () с и .
Аналогичным образом анализируется устойчивость в более сложных моделях. Подобная устойчивость решения в математике называется устойчивостью по Ляпунову.
Полученный критерий устойчивости () работает только при малых возмущениях. Однако оказывается, что в ряде случаев солитоны сохраняют свою форму и после достаточно сильных потрясений. Эволюцию произвольного решения нелинейного уравнения удобно анализировать численно при помощи компьютера. Для этого необходимо задать начальные условия и и затем, аппроксимируя производные при помощи конечных разностей, находить решение в произвольный момент времени. Для этого непрерывное 2-мерное пространство заменяют дискретной сеткой с малым шагом по оси времени и — по оси координат. Соответственно поле является массивом . Частные производные заменяются разностями:
Подставляя их в уравнение движения (), получаем:
Задав начальные условия и при помощи этого соотношения для каждой координаты получаются . Аналогично, двигаясь по оси находим поле в произвольный момент времени. Естественно, это простейший метод и он может быть улучшен при помощи самых различных приемов \cite{Mahankov1983}.
Рассмотрим в качестве примера столкновение кинка и антикинка в модели синус-Гордона. Кинк соответствует знаку плюс в решении (), а антикинк — минусу. Несмотря на нелинейность уравнения сложим эти два решения и воспользуемся полученной функцией в качестве начальных условий и . Численное моделирование приводит к следующим четырем кадрам столкновения двух солитонов, движущихся навстречу со скоростями и (изображена плотность энергии системы ):
Видно, что после столкновения солитоны восстанавливают свою форму и продолжают двигаться с теми же скоростями, что и до столкновения.
Выше мы искали решения нелинейных полевых уравнений в виде . В системе покоя () это решение является статическим (не зависит от ). Оказывается, что существую динамические солитонные решения, которые в системе покоя испытывают периодические колебания. Такие решения называют бризерами (от английского breathe - дышать). Будем искать решение уравнения синус-Гордона () в виде
Подставляя в , где индексы — соответствующие производные по и , получаем:
|
(EQN)
|
В правой части первый член в круглых скобках зависит только от , а второй — только от . Поэтому беря производную по , а затем по мы от них избавляемся. В результате получается уравнение:
Левая часть уравнения зависит только от времени, а правая только от координаты. Это возможно, если обе части уравнения равны некоторой константе. Обозначим её через . В результате получаем два обыкновенных дифференциальных уравнений. Например, для :
Умножая обе части на и интегрируя, имеем:
где — константа интегрирования. Умножая обе части на и интегрируя еще раз, имеем (уравнение для выглядит также, но с заменой знака у и другими константами интегрирования и ):
Разделение переменных (константа ) мы провели для уравнения третьего порядка, тогда как исходное уравнение имеет второй порядок. Поэтому константы интегрирования не являются независимыми. Подставим найденные производные , , , в исходное уравнение (). Оно будет выполняться, если и . Поэтому:
|
(EQN)
|
Дальнейшее интегрирование приводит к эллиптическим интегралам.
Рассмотрим частные случаи. Если , , имеем и , что приводит к решению в виде движущегося со скоростью кинка или антикинка ().
Если , , , после интегрирования, получаем \cite{PerringSkyrme1962}:
|
(EQN)
|
Это типичный бризер. Его амплитуда периодически изменяется со временем с частотой . В отличие от кинка, поле бризера убывает на бесконечности в обе стороны от максимума. При этом максимум неподвижен, т.е. мы получили решение в системе покоя бризера. Так как уравнения ковариантны, всегда можно заставить бризер двигаться, подставив в решение преобразования Лоренца и .
Плотность энергии бизера равна:
и в случае решения () принимает вид:
где и . Ниже на рисунке приведены графики поля (слева) и плотности энергии (справа) бризера в различные моменты времени при :
Плотность энергии меняется со временем, однако полная энергия сохраняется, и масса бризера равна:
Таким образом, чем меньше частота колебаний бризера, тем больше будет его масса и тем уже и выше он будет.
Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии