Солитоны

Нелинейная электродинамика <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 7)	>> Кватернионы

---

Рассматривая электродинамику, мы различали поля и частицы. Частицы мыслились как некоторые компактные (возможно точечные) образования, которые взаимодействовали при помощи электромагнитного поля. Таким образом, основное различие между полем и частицами состоит в том, что энергия последних локализована в малой области пространства, тогда как энергия поля существенно более нелокальная.

Оказывается, что в рамках нелинейных полевых теорий можно получать решения, которые обладают локализованной энергией, движущейся в пространстве. Такие сгустки энергии могут взаимодействовать друг с другом, сохраняя после взаимодействия свою форму, образовывать связанные состояния и т.д. Подобные решения, называемые солитонами, могут служить полевой моделью частиц.

Рассмотрим простейший пример теории действительного скалярного поля с лагранжианом:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\,(\partial \phi )^{2}-V(\phi ).$

Уравнения Лагранжа

$\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}$

приводят к следующим уравнениям движения:

$\partial ^{2}\phi +V'(\phi )=0.$

(EQN)

Тензор энергии-импульса находится по общей формуле (), стр.\,\pageref{neter_energey_momentum}, которая в случае скалярного поля имеет вид:

$T^{\mu \nu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial _{\mu }\phi }}\,\partial ^{\nu }\phi -g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}.$

Подставляя лагранжиан, получаем симметричный тензор:

$T^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }\phi \,\partial ^{\nu }\phi -g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}.$

Плотность энергии поля $\textstyle W=T^{00}$ имеет вид:

$W={\frac {1}{2}}\,{\dot {\phi }}^{2}+{\frac {1}{2}}\,(\nabla \phi )^{2}+V(\phi ),$

(EQN)

а плотность импульса $\textstyle P^{i}=T^{0i}$:

$\mathbf {P} =-{\dot {\phi }}\,\nabla \phi ,$

(EQN)

где точка над функцией поля — это производная по времени.

Солитонное решение для скалярного поля существует, например, в одномерном случае $\textstyle x^{\nu }=\{t,x\}$ для:

$V(\phi )={\frac {\lambda }{4}}\left(\phi ^{2}-{\frac {m^{2}}{\lambda }}\right)^{2}=-{\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {\lambda }{4}}\phi ^{4}+{\frac {m^{4}}{4\lambda }},$

где $\textstyle m$ и $\textstyle \lambda$ — некоторые константы. Такой лагранжиан называют моделью Хиггса. Для него уравнения движения () имеют вид:

${\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}=m^{2}\phi -\lambda \phi ^{3}.$

(EQN)

Обратим внимание, что знак перед квадратичным членом отличается от массивного линейного поля, которе рассматривалось на стр.\,\pageref{field_scalar2_lag}. Без потери общности можно положить $\textstyle m=\lambda =1$. Действительно, заменами $\textstyle x^{\nu }\mapsto x^{\nu }/m$ и $\textstyle \phi \mapsto {\sqrt {\lambda }}/m$ уравнение () можно привести к форме с $\textstyle m=\lambda =1$. Обратные замены — восстанавливают эти константы.

Мы планируем получить сгусток энергии скалярного поля, который движется с постоянной скоростью $\textstyle u$ по траектории $\textstyle x=x_{0}+ut$. Если вместе с ним с той же скорость будет двигаться наблюдатель, он увидит статическую конфигурацию поля, не зависящую от времени. Подставляя $\textstyle \phi (t,x)=f(x-ut)$ в уравнения движения (), получаем:

$-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}\,f''=f-f^{3},$

где $\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-u^{2}}}$. Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Умножая обе части на $\textstyle f'$ и интегрируя, имеем:

$-{\frac {(f')^{2}}{2\gamma ^{2}}}={\frac {f^{2}}{2}}-{\frac {f^{4}}{4}}-{\frac {1}{4}}=-{\frac {1}{4}}\left(1-f^{2}\right)^{2},$

где константа интегрирования выбрана равной $\textstyle 1/4$. Извлекая корень, разделяя переменные и интегрируя это уравнение еще раз

${\frac {\gamma }{\sqrt {2}}}\,(x-vt-x_{0})=\pm \int {\frac {df}{1-f^{2}}}=\pm \mathrm {ath} \,f,$

получаем решение:

$\phi (t,x)=\pm \mathrm {th} \,\left\{{\frac {\gamma }{\sqrt {2}}}\,(x-ut-x_{0})\right\},$

(EQN)

где $\textstyle x_{0}$ — еще одна константа интегрирования (начальное положение фазы солитона при $\textstyle t=0$). Для восстановления размерных констант аргумент гиперболического тангенса нужно умножить на $\textstyle m$, а сам тангенс на $\textstyle m/{\sqrt {\lambda }}$.

Плотность энергии поля () для решения () равна:

$W={\frac {\gamma ^{2}}{2}}\,\mathrm {ch} \,{-4}\left\{{\frac {\gamma }{\sqrt {2}}}\,(x-ut-x_{0})\right\}.$

Плотность импульса связана с плотностью энергии обычным образом: $\textstyle P=uW$. Интегрирование по всему пространству дает полную энергию:

$E=\int \limits _{-\infty }^{\infty }W(x,t)\,dx={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-u^{2}}}},$

где константу (в которой восстановлены параметры $\textstyle m$ и $\textstyle \lambda$)

$m_{0}={\frac {2{\sqrt {2}}\,}{3}}\,{\frac {m^{3}}{\lambda }}$

можно интерпретировать как массу солитона.

Типичный размер области с отличной от нуля энергией поля пропорционален $\textstyle m^{-1}$. Чем больше параметр $\textstyle m$ тем компактнее получается солитон и тем больше будет его масса. Параметр $\textstyle \lambda$ влияет на высоту солитона и чем он меньше, тем выше будет плотность энергии.

В 3-мерном пространстве получается аналогичное решение, но его энергия локализована только в направлении движения. В перпендикулярных направлениях убывания плотности энергии нет. Существенным в этой модели является также наличие нелинейности. Линейное уравнение Клейна-Гордона с $\textstyle V(\phi )=m^{2}\phi ^{2}/2$ решений вида $\textstyle \phi =f(x-ut)$ c локализованной в пространстве плотностью энергии не имеет.

В общем случае, энергия солитона (интеграл от ()) будет конечной, если на бесконечности поле стремится к значению $\textstyle \phi _{0}$ для которого $\textstyle V(\phi _{0})=0$. Такое значение поля называют классическим вакуумом. Лагранжиан, рассмотренный выше, имеет два таких вакуума: $\textstyle \phi _{0}=\pm 1$. Они соответствуют двум минимумам $\textstyle V(\phi )$ (см. выше первый рисунок). Справа от солитона поле стремиться к одному из этих вакуумов, а слева — ко второму. В результате, хотя само поле не убывает на бесконечности, плотность энергии оказывается локализованной в пространстве, а суммарная энергия — конечной.

$\textstyle \bullet$ Еще одна модель, допускающее солитонное решение с нелинейностью

$V(\phi )=1-\cos \phi$

приводит к уравнению синус-Гордона:

${\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+\sin \phi =0.$

(EQN)

Повторяя вычисления ($\textstyle \lessdot$\,H), аналогичные предыдущей модели, получаем решение в виде движущегося солитона:

$\phi (t,x)=4\mathrm {arctg} e^{\pm \gamma (x-ut-x_{0})}$

(EQN)

с локализованной плотностью энергии:

$W=4\gamma ^{2}\,\mathrm {ch} \,{-2}\{\gamma \,(x-ut-x_{0})\}$

и импульсом $\textstyle P=uW$. Масса такого солитона равна $\textstyle m_{0}=8$. Форма нелинейной функции $\textstyle V(\phi )$, решение и плотность энергии в системе покоя солитона ($\textstyle u=0$) приведены на рисунках ниже:

В обоих моделях локализованной оказалась плотность энергии, но не поле. В модели Хиггса поле изменяется от $\textstyle -1$ до $\textstyle 1$. В синус-Гордоне от 0 до $\textstyle 2\pi$. Оба значения являются классическими вакуумами модели. Такие солитоны называются кинками (kink — изгиб). В модели Хиггса классических вакуумов только 2 в модели синус-Гордона их бесконечно много, причем существует обычный вакуум нулевого поля $\textstyle \phi _{0}=0$.

Решения подобные кинкам часто называют топологическими. Это название связано с перечислением способов отождествления двух предельных точек $\textstyle x=\pm \infty$ и классических вакуумов системы. Такие отожествления можно представить в виде линий, соединяющих предельные точки и вакуумы. Переплетение таких линий обладает определенной топологией (имеет ряд свойств, не зависящих от расстояний и других геометрических свойств). Для одномерного скалярного поля топология достаточно тривиальна, однако в более сложных моделях она может оказаться уже не такой простой.

$\textstyle \bullet$ Солитоны достаточно устойчивые образования и небольшие внешние возмущения их не разрушают. Рассмотрим соответствующее условие устойчивости \cite{Rubakov2010}. Пусть поле равно $\textstyle \phi (t,x)=\phi _{0}(t,x)+\psi (t,x)$, где $\textstyle \phi _{0}(t,x)$ — солитонное решение, а $\textstyle \psi (t,x)$ — небольшое возмущение. Подставим эту сумму в уравнение движения и разложим в ряд по $\textstyle \psi$:

$\partial ^{2}(\phi _{0}+\psi )+V'(\phi _{0}+\psi )=\partial ^{2}(\phi _{0}+\psi )+V'(\phi _{0})+V''(\phi _{0})\psi +...=0.$

Так как солитон $\textstyle \phi _{0}$ удовлетворяет уравнению $\textstyle \partial ^{2}\phi _{0}+V'(\phi _{0})=0$, возмущение в системе отсчета, где солитон неподвижен ($\textstyle u=0$) должно удовлетворять линейному уравнению:

$\partial ^{2}\psi +V''{\bigl (}\phi _{0}(x){\bigr )}\,\psi =0.$

Будем искать его решение в виде $\textstyle \psi (t,x)=e^{-\imath \omega t}\psi (x)$. Тогда $\textstyle \psi (x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка:

$-\psi ''(x)+U(x)\,\psi (x)=\omega ^{2}\psi (x),$

(EQN)

где $\textstyle U(x)=V''(\phi _{0}(x))$. Потребуем, чтобы функция $\textstyle \psi (x)$ на бесконечности убывала (возмущение только в окрестности максимума плотности энергии солитона). Подобная задача с граничными условиями $\textstyle \psi (\pm \infty )=0$ называется задачей Штурма — Лиувилля. В квантовой механике ей соответствует стационарное уравнение Шредингера с потенциалом $\textstyle U(x)$ и энергией $\textstyle E=\omega ^{2}$. Граничные условия приводят к тому, что значения частот $\textstyle \omega$ ограничены снизу и могут принимать дискретные значения. Если $\textstyle \omega ^{2}\geqslant 0$ ($\textstyle \omega$ — действительно), то возмущения не растут со временем. Если же существует хотя бы одно отрицательное $\textstyle \omega ^{2}=-E<0$, то $\textstyle \psi (t,x)=e^{\pm Et}\psi (x)$ и с течением времени солитонное решение $\textstyle \phi _{0}$ будет разрушаться экспоненциально растущим во времени возмущением.

Для модели Хиггса (H) и синус-Гордона (SG), получаются следующие "потенциалы":

$U_{H}(x)=3\mathrm {th} \,2\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)-1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;U_{SG}(x)=1-2\mathrm {ch} \,{-2}(x).$

Их собственные значения неотрицательны, поэтому соответствующие солитоны устойчивы. Заметим, что минимальная частота в обоих случаях равна нулю. Действительно, в системе покоя $\textstyle \phi _{0}$ удовлетворяет уравнению $\textstyle \phi ''_{0}=V'(\phi _{0})$. Дифференцируя его по $\textstyle x$, получаем () с $\textstyle \omega =0$ и $\textstyle \psi =\phi '_{0}$.

Аналогичным образом анализируется устойчивость в более сложных моделях. Подобная устойчивость решения в математике называется устойчивостью по Ляпунову.

$\textstyle \bullet$ Полученный критерий устойчивости ($\textstyle \omega ^{2}\geqslant 0$) работает только при малых возмущениях. Однако оказывается, что в ряде случаев солитоны сохраняют свою форму и после достаточно сильных потрясений. Эволюцию произвольного решения нелинейного уравнения удобно анализировать численно при помощи компьютера. Для этого необходимо задать начальные условия $\textstyle \phi (0,x)$ и $\textstyle \partial \phi (0,x)/\partial t$ и затем, аппроксимируя производные при помощи конечных разностей, находить решение в произвольный момент времени. Для этого непрерывное 2-мерное пространство $\textstyle (t,x)$ заменяют дискретной сеткой с малым шагом $\textstyle \Delta t$ по оси времени и $\textstyle \Delta x$ — по оси координат. Соответственно поле $\textstyle \phi$ является массивом $\textstyle \phi _{i,j}=\phi (t_{i},x_{j})$. Частные производные заменяются разностями:

${\frac {\partial ^{2}\phi _{0,0}}{\partial t^{2}}}={\frac {\phi _{1,0}-2\phi _{0,0}+\phi _{-1,0}}{\Delta t^{2}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial ^{2}\phi _{0,0}}{\partial x^{2}}}={\frac {\phi _{0,1}-2\phi _{0,0}+\phi _{0,-1}}{\Delta x^{2}}}.$

Подставляя их в уравнение движения (), получаем:

$\phi _{1,0}=2\phi _{0,0}-\phi _{-1,0}+{\frac {\Delta t^{2}}{\Delta x^{2}}}(\phi _{0,1}-2\phi _{0,0}+\phi _{0,-1})-V'(\phi _{0,0})\,\Delta t^{2}.$

Задав начальные условия $\textstyle \phi _{-1,j}=\phi (0,x_{j})$ и $\textstyle \phi _{0,j}=\phi _{-1,j}+\Delta t\,\partial \phi (0,x_{j})/\partial t$ при помощи этого соотношения для каждой координаты $\textstyle x_{j}$ получаются $\textstyle \phi _{1,j}$. Аналогично, двигаясь по оси $\textstyle t$ находим поле в произвольный момент времени. Естественно, это простейший метод и он может быть улучшен при помощи самых различных приемов \cite{Mahankov1983}.

Рассмотрим в качестве примера столкновение кинка и антикинка в модели синус-Гордона. Кинк соответствует знаку плюс в решении (), а антикинк — минусу. Несмотря на нелинейность уравнения сложим эти два решения и воспользуемся полученной функцией в качестве начальных условий $\textstyle \phi (0,x)$ и $\textstyle \partial \phi (0,x)/\partial t$. Численное моделирование приводит к следующим четырем кадрам столкновения двух солитонов, движущихся навстречу со скоростями $\textstyle 3/4$ и $\textstyle 1/4$ (изображена плотность энергии системы $\textstyle W$):

Видно, что после столкновения солитоны восстанавливают свою форму и продолжают двигаться с теми же скоростями, что и до столкновения.

$\textstyle \bullet$ Выше мы искали решения нелинейных полевых уравнений в виде $\textstyle \phi =f(x-ut)$. В системе покоя ($\textstyle u=0$) это решение является статическим (не зависит от $\textstyle t$). Оказывается, что существую динамические солитонные решения, которые в системе покоя испытывают периодические колебания. Такие решения называют бризерами (от английского breathe - дышать). Будем искать решение уравнения синус-Гордона () в виде

$\phi (t,x)=4\mathrm {arctg} \left\{{\frac {f(t)}{g(x)}}\right\}.$

Подставляя в $\textstyle \phi _{tt}-\phi _{xx}+\sin(\phi )=0$, где индексы — соответствующие производные по $\textstyle t$ и $\textstyle x$, получаем:

${\frac {g^{2}f_{tt}}{f}}+{\frac {f^{2}g_{xx}}{g}}=(2f_{t}^{2}-ff_{tt}+f^{2})+(2g_{x}^{2}-gg_{xx}-g^{2}).$

(EQN)

В правой части первый член в круглых скобках зависит только от $\textstyle t$, а второй — только от $\textstyle x$. Поэтому беря производную по $\textstyle t$, а затем по $\textstyle x$ мы от них избавляемся. В результате получается уравнение:

${\frac {f_{ttt}}{f^{2}f_{t}}}-{\frac {f_{tt}}{f^{3}}}=-\left({\frac {g_{xxx}}{g^{2}g_{x}}}-{\frac {g_{xx}}{g^{3}}}\right).$

Левая часть уравнения зависит только от времени, а правая только от координаты. Это возможно, если обе части уравнения равны некоторой константе. Обозначим её через $\textstyle 4\lambda$. В результате получаем два обыкновенных дифференциальных уравнений. Например, для $\textstyle f=f(t)$:

${\frac {f_{ttt}}{f^{2}f_{t}}}-{\frac {f_{tt}}{f^{3}}}={\frac {(f_{tt}/f)_{t}}{ff_{t}}}=4\lambda .$

Умножая обе части на $\textstyle ff_{t}$ и интегрируя, имеем:

$f_{tt}=2\lambda f^{3}+\tau _{1}f,$

где $\textstyle \tau _{1}$ — константа интегрирования. Умножая обе части на $\textstyle f_{t}$ и интегрируя еще раз, имеем (уравнение для $\textstyle g$ выглядит также, но с заменой знака у $\textstyle \lambda$ и другими константами интегрирования $\textstyle \sigma _{1}$ и $\textstyle \sigma _{2}$):

$f_{t}^{2}=\lambda f^{4}+\tau _{1}f^{2}+\tau _{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;g_{x}^{2}=-\lambda g^{4}+\sigma _{1}g^{2}+\sigma _{2}.$

Разделение переменных (константа $\textstyle \lambda$) мы провели для уравнения третьего порядка, тогда как исходное уравнение имеет второй порядок. Поэтому константы интегрирования не являются независимыми. Подставим найденные производные $\textstyle f_{tt}$, $\textstyle g_{xx}$, $\textstyle f_{t}$, $\textstyle g_{t}$ в исходное уравнение (). Оно будет выполняться, если $\textstyle \sigma _{1}=1+\tau _{1}$ и $\textstyle \sigma _{2}=-\tau _{2}$. Поэтому:

$f_{t}^{2}=\lambda f^{4}+\tau _{1}f^{2}+\tau _{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;g_{x}^{2}=-\lambda g^{4}+(1+\tau _{1})g^{2}-\tau _{2}.$

(EQN)

Дальнейшее интегрирование приводит к эллиптическим интегралам.

Рассмотрим частные случаи. Если $\textstyle \lambda =0$, $\textstyle \tau _{2}=0$, $\textstyle \tau _{1}=u^{2}/(1-u^{2})$ имеем $\textstyle f=e^{\pm \gamma ut}$ и $\textstyle g=e^{\pm \gamma \,x}$, что приводит к решению в виде движущегося со скоростью $\textstyle u$ кинка или антикинка ().

Если $\textstyle \lambda =0$, $\textstyle \tau _{2}=1$, $\textstyle \tau _{1}=-\omega ^{2}$, после интегрирования, получаем \cite{PerringSkyrme1962}:

$\phi (t,x)=4\mathrm {arctg} \left\{{\frac {\sqrt {1-\omega ^{2}}}{\omega }}\,{\frac {\sin {\bigl (}\omega t{\bigr )}}{\mathrm {ch} \,{\bigl (}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}\,x{\bigr )}}}\right\}.$

(EQN)

Это типичный бризер. Его амплитуда периодически изменяется со временем с частотой $\textstyle \omega <1$. В отличие от кинка, поле бризера убывает на бесконечности в обе стороны от максимума. При этом максимум неподвижен, т.е. мы получили решение в системе покоя бризера. Так как уравнения ковариантны, всегда можно заставить бризер двигаться, подставив в решение преобразования Лоренца $\textstyle t\mapsto t_{0}+\gamma (t-ux)$ и $\textstyle x\mapsto x_{0}+\gamma (x-ut)$.

Плотность энергии бизера равна:

$W={\frac {8f^{2}g^{2}}{(f^{2}+g^{2})^{2}}}\left[{\frac {f_{t}^{2}}{f^{2}}}+{\frac {g_{x}^{2}}{g^{2}}}+1\right]$

и в случае решения () принимает вид:

$W={\frac {8\omega ^{2}(1-\omega ^{2})}{(\omega ^{2}c^{2}+(1-\omega ^{2})s^{2})^{2}}}\,\left(\omega ^{2}\,c^{2}-(1-\omega ^{2})s^{2}+2(1-\omega ^{2})c^{2}s^{2}\right),$

где $\textstyle c=\mathrm {ch} \,{\sqrt {1-\omega ^{2}}}x)$ и $\textstyle s=\sin(\omega t)$. Ниже на рисунке приведены графики поля (слева) и плотности энергии (справа) бризера в различные моменты времени при $\textstyle \omega =0.628$:

Плотность энергии меняется со временем, однако полная энергия сохраняется, и масса бризера равна:

$m_{0}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }W(t,x)dx=16{\sqrt {1-\omega ^{2}}}.$

Таким образом, чем меньше частота колебаний бризера, тем больше будет его масса и тем уже и выше он будет.

---

Нелинейная электродинамика <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 7)	>> Кватернионы

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии