Группа Пуанкаре

Материал из synset
Версия от 19:01, 2 июля 2013; WikiSysop (обсуждение | вклад)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Группа Лоренца << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Нелинейные преобразования

Группа Пуанкаре объединяет группы Лоренца и трансляций:

Трансляции означают сдвиги начала отчёта времени и начала системы координат: , . Группа Лоренца имеет 6 параметров (вектор скорости и вектор вращений). Трансляция — это ещё 4 параметра. Поэтому группа Пуанкаре — 10-параметрическая группа с инвариантом, равным расстоянию в 4-мерном пространстве между двумя событиями:

Группа Лоренца — это подгруппа группы Пуанкаре. Её инвариантом является как , так и . В тоже время для группы Пуанкаре не является инвариантом, так как он трансляционно неинвариантен.

Запишем два преобразования Пуанкаре в матричном виде:

Подставим первое преобразование во второе: Поэтому символическая запись закона групповой композиции имеет вид:

Единичным элементом группы является , а обратным к будет элемент (H). Множество всех трансляций (без преобразований Лоренца) являются инвариантной подгруппой группы Пуанкаре (\,H).

Преобразование группы Пуанкаре можно записать в матричном виде, если расширить матрицы до размерности 5:

При перемножении таких матриц 5x5 (композиция преобразований) последняя строчка матрицы изменяться не будет, как не будет изменяться равный единице 5-й элемент в столбике преобразуемого вектора.

Перемножать матрицы, для получения алгебры генераторов достаточно утомительно. Проще оказывается операторный подход (стр.\,\pageref{sym_oper_method}). Матрицы генераторов , группы Лоренца (стр.\,\pageref{sym_R_L_Lorenz}) приводят к следующим операторам с такой же алгеброй для коммутаторов:

Шесть операторов , можно объединить при помощи антисимметричного операторного тензора:

Во втором равенстве, являющимся ковариантным представлением оператора , учтено, что . В тоже время является обычной производной по . Для предания эрмитовости, в его определении дополнительно был введен множитель .

Для трансляции , величина (стр.\,\pageref{operat_gener}) приводит к оператору инфинитезимального преобразования, который мы также сделаем эрмитовым:

В квантовой теории, умноженный на постоянную Планка , он становится оператором 4-импульса. Найдём как он коммутирует с оператором 4-вращений, который соответствует оператору момента импульса:

Действуя коммутатором на произвольную функцию, имеем ():

Раскрывая производную произведения, и учитывая, что

получаем:

где произвольную функцию теперь можно опустить. Чтобы оценить удобство операторного подхода, стоит попробовать получить эти же соотношения на прямую для генераторов, перемножая матрицы.

Так как частные производные перестановочны, то операторы коммутируют друг с другом. Кроме этого, повторяя вычисления подобные проведенным выше, можно найти коммутатор . В результате получается алгебра Пуанкаре:

(EQN)
(EQN)
(EQN)

Некоммутативность операторов трансляций и 4-поворотов связана с неперестановочностью этих операций. Пусть, например, тело в начале координат поворачивается вокруг вертикальной оси на некоторый угол, а затем сдвигается в горизонтальной плоскости. Результат этих операций в обратной последовательности (сдвиг, а затем поворот вокруг начала координат) будет другой, как для положения тела, так и для его ориентации. Из () следует (\,H), ч то 4-повороты коммутируют с квадратом 4-смещений (и вообще с любым операторным 4-скаляром!):

По определению, представление алгебры Пуанкаре осуществляют любые линейные операторы (не обязательно матрицы), удовлетворяющие коммутационным соотношениям ()-(). Так, если , не являются матрицами 4x4, то , как это происходит, например, для системы точечных частиц, обладающей спином (см.стр.\,\pageref{spin_def}). В этом случае можно ввести ненулевой оператор Паули-Любанского:

(EQN)

Он 4-ортогонален оператору сдвигов и коммутирует с ним:

(EQN)

Коммутатор с оператором вращения имеет вид:

(EQN)

Наконец, коммутатор двух операторов равен:

(EQN)

что проверяется при помощи () и ().

При помощи свертки операторов и , можно получить еще один ковариантный оператор, который, как и , ортогонален оператору сдвигов :

(EQN)

Для него справедливы следующие коммутаторы:

где , а при вычислении последнего коммутатора лучше использовать () и (). Между собой эти операторы коммутируют так:

Обратим внимание на одинаковую структуру коммутаторов операторных 4-векторов , и с тензорным оператором вращений . Это общий результат и так будет коммутировать любой операторный 4-вектор . Связано это с тем, что определяет матрицу преобразования группы Лоренца. Аналогично, любое тензорное выражение будет коммутировать с как произведение двух операторов , см. ().

Перечислим все независимые ненулевые 4-скаляры, которые можно определить при помощи введенных операторов:

Первые два из них коммутируют со всеми операторами, являясь операторами Казимира группы Пуанкаре.

Как мы увидим в следующей главе, инвариантность относительно сдвигов приводит к сохранению полного импульса системы . Аналогично, инвариантность относительно 4-поворотов связана с сохранением тензора полного момента импульса системы . Квадрат импульса является константой, равной полной массе системы . Квадрат оператора Паули-Любанского равен:

где мы воспользовались коммутатором () и тождеством для свертки двух символов Леви-Чевиты по одному индексу (\,H).

Чтобы построить неприводимые представления алгебры Пуанкаре необходимо отобрать набор коммутирующих между собой операторов и найти их собственные функции и значения. Используя базис собственных функций, можно записать матричные элементы всех операторов. При этом коммутирующие операторы будут представлены диагональными матрицами с собственными значениями, стоящими на диагонали. Аналогичным образом мы поступили при нахождении представлений алгебры групп и (см.стр.\,\pageref{sym_algebra_pred_SU2_Jp} и далее).

В качестве коммутирующих операторов удобно выбрать два оператора Казимира, компоненты оператора импульса и нулевую компоненту оператора Паули-Любанского:

Обратим внимание, что хотя , различные компоненты оператора между собой не коммутируют и в базисный набор можно взять только одну из них, например, . Кроме этих семи операторов, для некоторых классов представлений (конкретных величин собственных значений) существуют дополнительные базисные операторы (см. ниже). Собственные значения операторов будем обозначать теми же символами, что и операторы, но без шляпок над ними.

Собственные значения оператора импульса принимают непрерывные значения на всем диапазоне вещественной оси. Действительно, решение уравнения на собственные функции и значения для оператора имеют решение , с любым собственным значением . Аналогично, непрерывный спектр принимают собственные значения оператора Казимира (как и интервал они могут быть как положительными, так и отрицательными).

Следуя Вигнеру различают пять классов представлений, со следующими собственными значениям:

Для физических приложений интерес представляют первые два класса, соответствующие в квантовой теории массивным и безмассовым частицам. Если , появляется дополнительный оператор , коммутирующий со всеми операторами алгебры и имеющий смысл знака энергии системы.

Оператор Паули-Любанского непосредственно связан с оператором спина , стр.\,\pageref{spin_def}:

Запишем его в векторных обозначениях (см. также стр.\,\pageref{spin_def}):

где — оператор 4-скорости () и введены операторные векторы и . Рассмотрим случай, когда собственные значения оператора равны нулю . Мы будем говорить, что это соответствует системе отсчета в которой полный импульс равен нулю (строго говоря такая терминология справедлива только при переходе к квантовой теории). В такой "системе покоя" матричные элементы равны нулю, а пространственные совпадают с полным моментом:

Коммутатор () для пространственных компонент совпадает с коммутаторами генераторов групп и . Например:

Повторяя рассуждения, которые мы сделали при построении неприводимых представлений этой алгебры, приходим к выводу, что собственные значения оператора полного момента (и спина в системе покоя) принимают значений: , где максимальное значение может быть целым или полуцелым числом. В частности, блок матрицы , соответствующий значениям нулевого импульса будет диагональным.

Целые значения спина физически соответствуют бозонам (фотон, -мезон,...), а полуцелые — фермионам (электрон, протон,...). Собственно все известные в природе элементарные частицы относятся к одному из этих двух классов. Более того, истинно фундаментальными (бесструктурными, на данном уровне знания) частицами материи являются фермионы с минимально возможным спином 1/2 (лептоны и кварки).

Таким образом, алгебра Пуанкаре, существенно расширяет возможности построения различных представлений по сравнению с алгеброй Лоренца. Алгебра Пуанкаре может быть ещё более расширена, за счет введения дополнительных операторов. Подобные расширения приводят к суперсимметричным теориям, изложение которых выходит за рамки нашей книги.


Группа Лоренца << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Нелинейные преобразования

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии