Нелинейные преобразования

Группа Пуанкаре <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 6)	>> Эрлангенская программа

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим вектор $\textstyle n$ переменных $\textstyle \mathbf {x} =(x^{1},...,x^{n})$ , которые мы будем называть далее координатами, и набор $\textstyle s$ параметров $\textstyle \mathbf {a} =(a^{1},...,a^{s})$ определяющих в общем случае нелинейное преобразование:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle x^i\mapsto x'^i = f_i(a^1,....,a^s,\;x^1,...,x^n),\;\;\;\;или\;\;\;\;\mathbf{x}\mapsto \mathbf{x}' = \mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x}) = \hat{T}_{\mathbf{a}}\mathrm{x}.}

Например, в одномерном случае преобразования трансляции и масштабирования (они линейны!) имеют вид:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle {трансляция}:\;\;x\mapsto x'=x+a,\;\;\;\;\;\;\;\;{масштабирование}:\;\;x\mapsto x'=e^a\cdot x.}

Нас будут интересовать преобразования образующие непрерывную группу. Пусть при помощи параметров $\textstyle \mathbf {a}$ мы перешли в координатном пространстве от точки $\textstyle \mathbf {x}$ к $\textstyle \mathbf {x} _{1}=\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {x} )$ , а затем, при помощи $\textstyle \mathbf {b}$ , от $\textstyle \mathbf {x} _{1}$ к $\textstyle \mathbf {x} _{2}=\mathbf {f} (\mathbf {b} ,\mathbf {x} _{1})$ . Пусть существует некоторое $\textstyle \mathbf {c} =\phi (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )$ , которое позволяет сразу перейти от $\textstyle \mathbf {x}$ к $\textstyle \mathbf {x} _{2}$ :

\mathbf {f} {\bigl (}\mathbf {b} ,\;\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {x} ){\bigr )}=\mathbf {f} {\bigl (}\phi (\mathbf {b} ,\mathbf {a} ),\;\mathbf {x} {\bigr )}.

(EQN)

Кроме этого, предположим, что существует единичное преобразование с параметром e, не изменяющее координат, и обратное, с параметром $\textstyle \mathbf {a} ^{-1}$ , которое возвращает преобразованное $\textstyle \mathbf {x}$ к исходному:

\mathbf {f} (\mathbf {e} ,\mathbf {x} )=\mathbf {x} ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {f} {\bigl (}\mathbf {a} ^{-1},\;\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {x} ){\bigr )}=\mathbf {x} .

(EQN)

Для преобразований трансляции и масштабирования единичный параметр $\textstyle \mathbf {e} =0$ , а обратный $\textstyle \mathbf {a} ^{-1}=-a$ .

Если число параметров $\textstyle s$ меньше чем размерность пространства $\textstyle n$ , то групповое преобразование имеет простую геометрическую интерпретацию. Так, при $\textstyle s=1$ функция $\textstyle \mathbf {f} (a,\mathbf {x} )$ задаёт кривую в пространстве $\textstyle \mathbf {x} =(x^{1},...,x^{n})$ . Если зафиксировать "начальную" точку $\textstyle \mathbf {x}$ и начать изменять параметр $\textstyle a$ , мы получим непрерывное множество точек образующих некоторую линию. Если взять другую точку в пространстве не лежащую на линии, мы получим другую кривую. Таким образом всё пространство "расслаивается" на множество подобных кривых.

Однако, нас интересуют не любые кривые заданные параметрическим образом, а лишь те, которые обладают свойством эквивалентности всех своих точек. В этом случае любая точка кривой может выступить в качестве "начальной", и при помощи одной и той же функции $\textstyle \mathbf {f} (a,\mathbf {x} )$ можно из неё "продолжить" кривую дальше. Подобным образом двухпараметрические группы при $\textstyle n>2$ определяют некоторую поверхность, обладающую свойством симметрии (равноправия всех своих точек), и т.д.

$\textstyle \bullet$ Функция композиции параметров двух последовательных непрерывных преобразований $\textstyle \mathbf {c} =\phi (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )$ является векторной, $\textstyle s$ -компонентной функцией: $\textstyle c^{\gamma }=\phi ^{\gamma }(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )$ . Она удовлетворяет таким же функциональным уравнениям как и в случае линейных преобразований (стр.\,\pageref{mat_group_def5}):

\phi (\phi ({\mathbf {c} },{\mathbf {b} }),\;{\mathbf {a} })=\phi ({\mathbf {c} },\phi ({\mathbf {b} },{\mathbf {a} })).

(EQN)

Без потери общности будем считать, что единичное преобразование соответствует нулевому значению параметров: $\textstyle \phi (\mathbf {0} ,\mathbf {a} )=\phi (\mathbf {a} ,\mathbf {0} )=\mathbf {a}$ . Как мы видели, в окрестности нуля эта функция имеет вид:

\phi ^{\gamma }(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )\approx a^{\gamma }+b^{\gamma }+\phi _{\alpha \beta }^{\,\gamma }\,b^{\alpha }\,a^{\beta },

(EQN)

a антисимметричные по нижним индексам величины $\textstyle c_{\alpha \beta }^{\,\gamma }=\phi _{\alpha \beta }^{\,\gamma }-\phi _{\beta \alpha }^{\,\gamma }$ называются структурными константами.

$\textstyle \bullet$ Групповые свойства являются сильными ограничениями на возможный вид преобразований. Например, в одномерном случае наиболее общее преобразование, образующее группу, имеет дробно-линейный вид:

x\mapsto x'={\frac {e^{a_{1}}\,x+a_{2}}{1+a_{3}\,x}}.

(EQN)

Трансляция и масштабирование являются его частными случаями. В качестве упражнения стоит проверить, что оно удовлетворяет условиям (), (), и найти функцию $\textstyle \mathbf {c} =\phi (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )$ . Вторым упражнением является проверка того, что преобразование $\textstyle x\mapsto x'=a_{1}\,x^{2}+a_{2}\,x+a_{3}$ не удовлетворяет (), и, следовательно, не является группой.

$\textstyle \bullet$ Заметим, что всегда можно провести замену координат $\textstyle {\tilde {\mathbf {x} }}=h(\mathbf {x} )$ и переопределить параметры группы ${\tilde {\mathbf {a} }}=\psi (\mathbf {a} )$ . Так, переход от декартовых координат $\textstyle \mathbf {x} =(x,y)$ к полярным $\textstyle {\tilde {\mathbf {x} }}=(r,\chi )$ , группу 2-мерных поворотов делает трансляционной:

{\begin{array}{l}x\mapsto x'=x\cos a+y\sin a\\y\mapsto y'=-x\sin a+y\cos a,\\\end{array}}\;\;\;\;\left\{{\begin{array}{l}x=r\cos \chi \\y=r\sin \chi \\\end{array}}\right\}\;\;\;\;=>\;\;\;\;{\begin{array}{l}r\mapsto r'=r\\\chi \mapsto \chi '=\chi +a.\\\end{array}}

Аналогично, заменой $\textstyle x=e^{\tilde {x}}$ масштабирование $\textstyle x'=e^{a}x$ превращается в трансляционное преобразование $\textstyle {\tilde {x}}'={\tilde {x}}+a$ .

Поэтому, говоря о единственности дробно-линейных преобразований для $\textstyle n=1$ , на самом деле, подразумевается более общее преобразование:

h(x')={\frac {e^{a_{1}}\,h(x)+a_{2}}{1+a_{3}\,h(x)}},

и аналогично, для переопределения параметров группы $\textstyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})$ .

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим произвольное, бесконечно - малое преобразование, разложив его в ряд Тейлора по параметрам $\textstyle a^{\alpha }=(a^{1},...,a^{s})$ :

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle f^k(\mathbf{a},\mathbf{x}) = x^k + u^k_{\alpha}(\mathbf{x})\,a^\alpha + ...., \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;где\;\;\; u^k_{\alpha}(\mathbf{x}) = \frac{\partial f^k(\mathbf{a},\mathbf{x})}{\partial a^\alpha}\Bigr|_{\mathbf{a}=0}. }

(EQN)

Величины $\textstyle u_{\alpha }^{k}$ называются касательными векторами, так как они касаются кривой (поверхности и т.д.) при бесконечно малом изменении параметров $\textstyle \mathbf {a}$ . Действительно, разница между двумя соседними точками (сдвиг) на кривой или поверхности равна: $\textstyle dx^{k}=x'^{k}-x^{k}\approx u_{\alpha }^{k}(\mathbf {x} )\,a^{\alpha }$ .

Аналогично, закон композиции можно разложить в ряд по первому аргументу (параметры второго преобразования):

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \phi^\gamma(\mathbf{b},\mathbf{a}) = a^\gamma + \mu^\gamma_\alpha(\mathbf{a})\,b^{\alpha}+..., \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;где\;\; \mu^\gamma_{\alpha}(\mathbf{a}) = \frac{\partial \phi^\gamma(\mathbf{b}, \mathbf{a})}{\partial b^\alpha}\Bigr|_{\mathbf{b}=0}. }

(EQN)

Так как при малых параметрах преобразования $\textstyle \mathbf {a}$ и $\textstyle \mathbf {b}$ для $\textstyle \phi ^{\gamma }(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )$ справедливо разложение (), то функция $\textstyle \mu _{\alpha }^{\gamma }(\mathbf {a} )\approx \delta _{\alpha }^{\gamma }+\phi _{\alpha \beta }^{\gamma }a^{\beta }$ ( $\textstyle \delta _{\alpha }^{\gamma }$ — символ Кронекера) имеет следующие значения:

\mu _{\alpha }^{\gamma }(\mathbf {0} )=\delta _{\alpha }^{\gamma },\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\partial _{\beta }\mu _{\alpha }^{\gamma }(\mathbf {0} )\equiv {\frac {\partial \mu _{\alpha }^{\gamma }(\mathbf {a} )}{\partial a^{\beta }}}{\Bigr |}_{\mathbf {a} =0}=\phi _{\alpha \beta }^{\gamma }.

(EQN)

Функции $\textstyle u_{\alpha }^{k}(\mathbf {x} )$ и $\textstyle \mu _{\alpha }^{\gamma }(\mathbf {a} )$ , как и структурные константы $\textstyle c_{\alpha \beta }^{\gamma }$ , играют важную роль в теории нелинейных непрерывных групп.

$\textstyle \bullet$ Возьмём производную по $\textstyle b^{\beta }$ от закона композиции преобразований:

\mathbf {f} (\mathbf {b} ,\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {x} ))=\mathbf {f} (\phi (\mathbf {b} ,\mathbf {a} ),\mathbf {x} )

и приравняем $\textstyle \mathbf {b} =\mathbf {0}$ . Левая часть по определению () равна $\textstyle u_{\beta }^{k}{\bigl (}\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {x} ){\bigr )}$ , а производная правой берётся как от сложной функции:

u_{\beta }^{k}{\bigl (}\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {x} ){\bigr )}={\frac {\partial f^{k}}{\partial \phi _{(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}^{\gamma }}}\,{\frac {\partial \phi _{(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}^{\gamma }}{\partial b^{\beta }}}{\Bigr |}_{\mathbf {b} =0}={\frac {\partial f^{k}}{\partial a^{\gamma }}}\,\mu _{\beta }^{\gamma }(\mathbf {a} ).

Таким образом, функция $\textstyle \mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {x} )$ удовлетворяет дифференциальному уравнению:

\mu _{\beta }^{\gamma }(\mathbf {a} )\,{\frac {\partial f^{k}(\mathbf {a} ,\mathbf {x} )}{\partial a^{\gamma }}}=u_{\beta }^{k}{\bigl (}f(\mathbf {a} ,\mathbf {x} ){\bigr )}.

(EQN)

Если функции одной (векторной) переменной $\textstyle u_{\beta }^{k}(\mathbf {x} )$ и $\textstyle \mu _{\beta }^{\gamma }(\mathbf {a} )$ известны, то решение этого уравнения с начальным условием $\textstyle \mathbf {f} (\mathbf {0} ,\mathbf {x} )=\mathbf {x}$ позволяет восстановить зависимость функции двух переменных $\textstyle \mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {x} )$ .

$\textstyle \bullet$ Найдём уравнение которому удовлетворяют касательные векторы $\textstyle u_{\beta }^{k}(\mathbf {x} )$ . Возьмём производную () по $\textstyle a^{\alpha }$ и положим $\textstyle \mathbf {a} =\mathbf {0}$ :

\phi _{\beta \alpha }^{\gamma }\,u_{\gamma }^{k}(\mathbf {x} )+{\frac {\partial f^{k}(\mathbf {a} ,\mathbf {x} )}{\partial a^{\alpha }\partial a^{\beta }}}{\Bigr |}_{\mathbf {a} =\mathbf {0} }={\frac {\partial u_{\beta }^{k}(\mathbf {f} )}{\partial f^{i}}}\,{\frac {\partial f^{i}(\mathbf {a} ,\mathbf {x} )}{\partial a^{\alpha }}}{\Bigr |}_{\mathbf {a} =0}={\frac {\partial u_{\beta }^{k}(\mathbf {x} )}{\partial x^{i}}}\,u_{\alpha }^{i}(\mathbf {x} ),

где мы воспользовались определением () и значениями (). Переставим местами индексы $\textstyle \alpha$ , $\textstyle \beta$ и вычтем из исходного уравнения. Учитывая, что вторая производная по $\textstyle \alpha$ и $\textstyle \beta$ симметрична, получаем:

u_{\alpha }^{i}(\mathbf {x} )\,\partial _{i}u_{\beta }^{k}(\mathbf {x} )\,-\,u_{\beta }^{i}(\mathbf {x} )\,\partial _{i}u_{\alpha }^{k}(\mathbf {x} )=-c_{\alpha \beta }^{\gamma }\,u_{\gamma }^{k}(\mathbf {x} ),

(EQN)

где $\textstyle \partial _{i}=\partial /\partial x^{i}$ и $\textstyle c_{\alpha \beta }^{\gamma }=\phi _{\alpha \beta }^{\gamma }-\phi _{\beta \alpha }^{\gamma }$ - структурные константы группы.

Перепишем () в операторной форме при помощи величин:

{\hat {X}}_{\alpha }=-u_{\alpha }^{i}(\mathbf {x} )\partial _{i},

(EQN)

которые удовлетворяют алгебре Ли:

[{\hat {X}}_{\alpha },{\hat {X}}_{\beta }]=c_{\alpha \beta }^{\gamma }\,{\hat {X}}_{\gamma },

(EQN)

где как и раньше $\textstyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}\,{\hat {B}}-{\hat {B}}\,{\hat {A}}$ — коммутатор операторов. Действительно, так как $\textstyle {\hat {X}}_{\alpha }$ операторы, соотношение () понимается в смысле его действия на произвольную функцию $\textstyle F=F(\mathbf {x} )$ :

({\hat {X}}_{\alpha }{\hat {X}}_{\beta }-{\hat {X}}_{\beta }{\hat {X}}_{\alpha })F=u_{\alpha }^{i}\,\partial _{i}(u_{\beta }^{j}\,\partial _{j}F)-u_{\beta }^{j}\,\partial _{j}(u_{\alpha }^{i}\,\partial _{i}F)=-c_{\alpha \beta }^{\gamma }\,u_{\gamma }^{i}\,\partial _{i}F=c_{\alpha \beta }^{\gamma }{\hat {X}}_{\gamma }F,

где раскрыта производная произведения и учтены уравнения ().

Рассмотрим в качестве примера группу масштабирования и сдвига одномерного пространства $\textstyle x'=e^{a_{1}}\,x+a_{2}$ . В этом случае, в соответствии с (), касательные векторы равны $\textstyle u_{1}(x)=x$ и $\textstyle u_{2}(x)=1$ (индекса $\textstyle k$ нет, так это одномерный случай). Поэтому генераторы группы имеют вид:

{\hat {X_{1}}}=-x\,{\frac {d}{dx}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\hat {X}}_{2}=-{\frac {d}{dx}}.

Вычислим их коммутатор:

[{\hat {X}}_{1},{\hat {X}}_{2}]\,F(x)=x\,{\frac {d^{2}F}{dx^{2}}}-{\frac {d}{dx}}\left(x\,{\frac {dF}{dx}}\right)=-{\frac {dF}{dx}}={\hat {X}}_{2}\,F(x).

Таким образом

[{\hat {X}}_{1},{\hat {X}}_{2}]={\hat {X}}_{2},

(EQN)

и не нулевые структурные константы равны $\textstyle c_{12}^{2}=-c_{21}^{2}=1$ .

В качестве упражнения ( $\textstyle \lessdot$ \,H), предлагается найти генераторы и структурные константы для дробно-линейной группы (), стр.\,\pageref{group_1D_drlin}.

$\textstyle \bullet$ Функция композиции $\textstyle \phi (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )$ также как и $\textstyle \mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {x} )$ удовлетворяет определённым дифференциальным уравнениям. Их вывод полностью аналогичен выводу уравнений для $\textstyle \mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {x} )$ и $\textstyle u_{\beta }^{k}(\mathbf {x} )$ . Вообще, параметрическую композицию можно рассматривать как преобразование задающее некоторую кривую в параметрическом пространстве начинающуюся в точке $\textstyle \mathbf {a}$ при изменении парамера $\textstyle \mathbf {b}$ .

Запишем для закона композиции свойство ассоциативности:

\phi ({\mathbf {c} },\phi ({\mathbf {b} },{\mathbf {a} }))=\phi (\phi ({\mathbf {c} },{\mathbf {b} }),\;{\mathbf {a} }),

возьмём его производную по $\textstyle c^{\beta }$ и приравняем $\textstyle \mathbf {c} =\mathbf {0}$ . Учитывая определение (), имеем

\mu _{\beta }^{\gamma }{\bigl (}\phi (\mathbf {b} ,\mathbf {a} ){\bigr )}={\frac {\partial \phi ^{\gamma }(\phi _{(\mathbf {c} ,\mathbf {b} ),\mathbf {a} })}{\partial \phi _{(\mathbf {c} ,\mathbf {b} )}^{\sigma }}}\,{\frac {\partial \phi _{(\mathbf {c} ,\mathbf {b} )}^{\sigma }}{\partial c^{\beta }}}{\Bigr |}_{\mathbf {c} =\mathbf {0} }={\frac {\partial \phi ^{\gamma }(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}{\partial b^{\sigma }}}\,\mu _{\beta }^{\sigma }(\mathbf {b} ).

Поэтому уравнение для функции $\textstyle \phi (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )$ имеет вид:

\mu _{\beta }^{\sigma }(\mathbf {b} )\,{\frac {\partial \phi ^{\gamma }(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}{\partial b^{\sigma }}}=\mu _{\beta }^{\gamma }{\bigl (}\phi (\mathbf {b} ,\mathbf {a} ){\bigr )}.

(EQN)

Для получения дифференциальных ограничений на функции $\textstyle \mu _{\beta }^{\gamma }(\mathbf {a} )$ возьмём производную этого уравнения по $\textstyle b^{\alpha }$ и положим $\textstyle \mathbf {b} =\mathbf {0}$ . Учитывая () имеем:

Переставив индексы $\textstyle \alpha$ и $\textstyle \beta$ , и вычтя из исходного уравнения, получим:

\mu _{\alpha }^{\sigma }(\mathbf {a} )\,\partial _{\sigma }\mu _{\beta }^{\gamma }(\mathbf {a} )-\mu _{\beta }^{\sigma }(\mathbf {a} )\,\partial _{\sigma }\mu _{\alpha }^{\gamma }(\mathbf {a} )=-c_{\alpha \beta }^{\sigma }\,\mu _{\sigma }^{\gamma }(\mathbf {a} ),

(EQN)

где $\textstyle \partial _{\sigma }=\partial /\partial a^{\sigma }$ . Взяв производную по $\textstyle a^{k}$ и положив $\textstyle \mathbf {a} =0$ , можно снова прийти к тождеством Якоби для структурных констант () стр.\,\pageref{group_jacobi}.

При известных структурных константах $\textstyle c_{\alpha \beta }^{\sigma }$ , решение уравнения () даёт функцию $\textstyle \mu _{\beta }^{\gamma }(\mathbf {a} )$ . С её помощью далее решается уравнение () и находится функция композиции $\textstyle \phi ^{\gamma }(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )$ .

В случае трансляций и масштабирования $\textstyle x'=e^{a_{1}}\,x+a_{2}$ одномерного пространства закон композиции имеет вид (функция $\textstyle \phi _{k}$ и параметры имеют 2 компоненты и индексы опущены вниз):

{\begin{array}{l}\phi _{1}(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )=a_{1}+b_{1}\\\phi _{2}(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )=e^{b_{1}}a_{2}+b_{2}\approx a_{2}+b_{2}+b_{1}a_{2}.\\\end{array}}

(EQN)

Следовательно, $\textstyle \phi _{12}^{2}=1$ , а остальные коэффициенты $\textstyle \phi _{\alpha \beta }^{\gamma }$ равны нулю. Поэтому, ненулевая структурная константа равна $\textstyle c_{12}^{2}=\phi _{12}^{2}-\phi _{21}^{2}=1$ , что и было получено выше ().

$\textstyle \bullet$ Иногда удачный выбор способа параметризации группы существенно упрощает групповое преобразование. Рассмотрим случай однопараметрической группы $\textstyle \mathbf {a} =\{a\}$ . В этом случае структурные константы равны нулю. Уравнение () для функции $\textstyle \mu (\mathbf {a} )$ тождественно выполняется, а уравнение () для $\textstyle \phi$ имеет вид:

\mu (b)\,{\frac {d\phi (b,a)}{db}}=\mu {\bigl (}\phi (b,a){\bigr )}.

Интегрируя его с "начальным" условием $\textstyle \phi (0,a)=a$ , получаем:

\psi (\phi (b,a))=\psi (a)+\psi (b),

где $\textstyle \psi '(b)=1/\mu (b)$ . Таким образом, с точностью до переопределения параметров однопараметрическое преобразование должно иметь аддитивный закон композиции $\textstyle \phi (b,a)=a+b$ . Для трансляции и поворотов в плоскости это очевидно, а для преобразования масштабирования в виде $\textstyle x\mapsto x'={\tilde {a}}\,x$ имеем $\textstyle {\tilde {a}}=\psi (a)=e^{a}$ . Параметризация при которой $\textstyle \phi (b,a)=a+b$ называется канонической.

$\textstyle \bullet$ Функция координат называется инвариантом группы, если её функциональная зависимость не изменяется при групповом преобразовании $\textstyle F{\bigl (}\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {x} ){\bigr )}=F{\bigl (}\mathbf {x} {\bigr )}$ и, следовательно, $\textstyle F{\bigl (}\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {x} ){\bigr )}$ не зависит от $\textstyle \mathbf {a}$ . Поэтому производная по $\textstyle \mathbf {a}$ в нуле должна равняться нулю:

{\frac {\partial F{\bigl (}\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {x} ){\bigr )}}{\partial a^{\alpha }}}{\Bigr |}_{\mathbf {a} =\mathbf {0} }={\frac {\partial F}{\partial f^{k}}}\,{\frac {\partial f^{k}}{\partial a^{\alpha }}}{\Bigr |}_{\mathbf {a} =\mathbf {0} }=u_{\alpha }^{k}(\mathbf {x} )\,{\frac {\partial F}{\partial x^{k}}}\equiv -{\hat {X}}_{\alpha }F(\mathbf {x} )=0.

Справедливо и обратное утверждение: если некоторая функция удовлетворяет уравнениям $\textstyle {\hat {X}}_{\alpha }F(\mathbf {x} )=0$ , то она будет инвариантной относительно группы определяемой генераторами $\textstyle {\hat {X}}_{\alpha }$ .

Для однопараметрической группы генератор один. В $\textstyle n$ -мерном пространстве уравнение $\textstyle {\hat {X}}F=-u^{k}(\mathbf {x} )\partial _{k}F=0$ является уравнением первого порядка в частных производных. В соответствии с методом характеристик оно решается при помощи системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

{\frac {dx^{1}}{u^{1}(\mathbf {x} )}}={\frac {dx^{2}}{u^{2}(\mathbf {x} )}}=...={\frac {dx^{n}}{u^{n}(\mathbf {x} )}}.

Эта система имеет $\textstyle n-1$ интегралов $\textstyle C_{1}=I_{1}(\mathbf {x} )$ , ..., $\textstyle C_{n-1}=I_{n-1}(\mathbf {x} )$ . Общее решение уравнения $\textstyle {\hat {X}}F=0$ будет иметь вид $\textstyle F(I_{1}(\mathbf {x} ),...,I_{n-1}(\mathbf {x} ))$ , где $\textstyle F$ - произвольная функция $\textstyle n-1$ аргументов. Функции $\textstyle I_{k}(\mathbf {x} )$ , $\textstyle k=1,...,n-1$ называются базовыми инвариантами. Произвольный инвариант $\textstyle F$ является их функцией. В качестве упражнения, предлагается найти инварианты 1-параметрической группы масштабирования 2-мерного пространства $\textstyle x'=e^{a}\,x$ , $\textstyle y'=e^{a}\,y$ ( $\textstyle \lessdot$ \,H) и группы $\textstyle \mathbf {SO} (3)$ ( $\textstyle \lessdot$ \,H).