Уравнение для плотности вероятности

Марковские плотности вероятности <<	Оглавление	>> Решение уравнения Фоккера-Планка

---

$\textstyle \bullet$ Найдём уравнение относительно переменных начального значения $\textstyle x_{0}$, $\textstyle t_{0}$. Для этого воспользуемся уравнением Чепмена-Колмогорова. Чтобы возникла производная по времени $\textstyle t_{0}$, необходимо рассмотреть $\textstyle t_{0}$ и бесконечно близкое к нему время $\textstyle t_{0}+\Delta t$. Поэтому для трёх последовательных моментов времени в интегральном уравнении возьмём два соседних $\textstyle t_{1}=t_{0}$, $\textstyle t_{2}=t_{0}+\Delta t$ и одно "будущее" $\textstyle t_{3}=t$:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t) = \int\limits^\infty_{-\infty} P(x_0,t_0 \Rightarrow y,t_0+\Delta t)\cdot \underbrace{P(y,t_0+\Delta t \Rightarrow x,t)}_{раскладываем\;по\;(y-x_0)} \;dy.}

Интервал $\textstyle \Delta t$ мал и, следовательно, величина $\textstyle y$, соответствующая моменту времени $\textstyle t_{0}+\Delta t$, должна быть близка к $\textstyle x_{0}$ в момент времени $\textstyle t_{0}$. Поэтому разложим в ряд Тейлора по $\textstyle y-x_{0}$, в окрестности точки $\textstyle y=x_{0}$, второй множитель под интегралом:

$P(y,t_{0}+\Delta t\Rightarrow x,t)=P+{\frac {\partial P}{\partial x_{0}}}\cdot (y-x_{0})+{\frac {1}{2}}\;{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x_{0}^{2}}}\cdot (y-x_{0})^{2}+...,$

где $\textstyle P=P(x_{0},t_{0}+\Delta t\Rightarrow x,t)$. Вынесем множители, не зависящие от $\textstyle y$, за знак интеграла. Опуская пределы интегрирования, запишем:

${\begin{array}{lcl}P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)&=&P(x_{0},t_{0}+\Delta t\Rightarrow x,t)\cdot \int P(x_{0},t_{0}\Rightarrow y,t_{0}+\Delta t)dy\\&+&{\frac {\partial P}{\partial x_{0}}}\cdot \int (y-x_{0})\cdot P(x_{0},t_{0}\Rightarrow y,t_{0}+\Delta t)dy\\&+&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x_{0}^{2}}}\cdot \int (y-x_{0})^{2}\cdot P(x_{0},t_{0}\Rightarrow y,t_{0}+\Delta t)dy\\&+&...\end{array}}$

Первое слагаемое соответствует условию нормировки (переход "хоть куда-нибудь"), и интеграл равен единице. В результате получается просто $\textstyle P$.

Перенесём направо $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$ и разделим обе части на $\textstyle \Delta t$. По определению, при $\textstyle \Delta t\to 0$ мы можем записать:

${\frac {P(x_{0},t_{0}+\Delta t\Rightarrow x,t)-P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)}{\Delta t}}\;\;\to \;\;{\frac {\partial P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)}{\partial t_{0}}},$

что приводит к производной по начальному моменту времени $\textstyle t_{0}$.

Интегрирование по $\textstyle y$ во втором и третьем слагаемых даёт условные средние моментов первого и второго порядков:

${\frac {\partial P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)}{\partial t_{0}}}\;+\;{\frac {\partial P}{\partial x_{0}}}\cdot {\frac {\left\langle (x-x_{0})\right\rangle }{\Delta t}}\;+\;{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x_{0}^{2}}}\cdot {\frac {\left\langle (x-x_{0})^{2}\right\rangle }{\Delta t}}\;=\;0.$

Если бы мы продолжили разложение в ряд Тейлора, то в этом уравнении стояли бы также моменты более высоких порядков $\textstyle \left\langle (x-x_{0})^{3}\right\rangle$, и т.д. Однако для диффузных процессов они по определению в пределе $\textstyle \Delta t\to 0$ равны нулю (см. стр. \pageref{def_a_b}).

Средние значения, как обычно, вычисляются при помощи условной плотности вероятности ($\textstyle \Delta t\to 0$):

$\left\langle \,(x-x_{0})^{m}\right\rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{m}\;P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t_{0}+\Delta t)\,dx.$

При вычислении предела $\textstyle \Delta t\to 0$ сначала необходимо проинтегрировать, вычислив среднее, затем полученную функцию от $\textstyle \Delta t$ разделить на $\textstyle \Delta t$, и только после этого устремить к нулю $\textstyle \Delta t\to 0$.

Мы видим, что снос и диффузия естественным образом появляются как в уравнениях для плотности вероятности случайного процесса, так и в стохастических дифференциальных уравнениях при записи их через разности.

В результате, вводя коэффициенты сноса и диффузии, получаем "первое уравнение Колмогорова":

${\;\;\;{\frac {\partial P}{\partial t_{0}}}+a(x_{0},t_{0})\cdot {\frac {\partial P}{\partial x_{0}}}+{\frac {1}{2}}\;b^{2}(x_{0},t_{0})\cdot {\frac {\partial ^{2}P}{\partial x_{0}^{2}}}\;=0\;\;\;},$

(EQN)

где $\textstyle P=P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$. Заметим, что производные в этом уравнении берутся не по будущим аргументам $\textstyle x$ и $\textstyle t$, а по начальным $\textstyle x_{0}$ и $\textstyle t_{0}$.

Если значение $\textstyle x_{0}=x(t_{0})$ задано точно, то первое уравнение Колмогорова необходимо решать с "начальными" условиями в виде дельта-функции Дирака:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t) = \delta (x-x_0)\;\;\;\;\;при\;\;\; t\to t_0. }

(EQN)

Естественно, кроме этого предполагается наличие тех или иных граничных условий. В простейшем случае требуют достаточно быстрого убывания плотности вероятности при увеличении разности $\textstyle x-x_{0}$ в любой момент времени $\textstyle t>t_{0}$.

---

Марковские плотности вероятности <<	Оглавление	>> Решение уравнения Фоккера-Планка

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения