Решение уравнения Фоккера-Планка

Уравнение для плотности вероятности <<	Оглавление	>> Граничные условия

---

$\textstyle \bullet$ В качестве примера решения уравнения Фоккера-Планка рассмотрим случай винеровского блуждания с $\textstyle a(x,t)=0$ и $\textstyle b(x,t)=\sigma$:

${\frac {\partial P}{\partial t}}={\frac {\sigma ^{2}}{2}}\;{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}.$

(4.12)

Это уравнение теплопроводности с коэффициентом диффузии $\textstyle \sigma ^{2}$. Именно оно дало название диффузным процессам. Представим $\textstyle P(x,t)$ (аргументы начальных условий опускаем) в виде фурье-интеграла (см. Приложение М, стр. \pageref{math_cont_fourie}):

$P(x,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\phi (k,t)\,e^{-ikx}\;{\frac {dk}{2\pi }}.$

(4.13)

Подставляя его в (4.12), получаем для $\textstyle \phi (s,t)$ следующее уравнение:

${\frac {\partial \phi }{\partial t}}=-{\frac {\sigma ^{2}k^{2}}{2}}\;\phi .$

(4.14)

При его решении возникает произвольная константа, для определения которой необходимо воспользоваться начальным условием:

$P(x,t_{0})=P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t_{0})=\delta (x-x_{0})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-i(x-x_{0})k}\;{\frac {dk}{2\pi }}.$

Поэтому фурье-образ плотности вероятности при $\textstyle t=t_{0}$ должен быть равен $\textstyle \phi (k,t_{0})=e^{ix_{0}k}$. В результате решение (4.14) имеет вид:

$\phi (k,t)=e^{-\sigma ^{2}k^{2}(t-t_{0})/2+ix_{0}k}.$

Выполняя интегрирование (4.13) при помощи интеграла (), стр. \pageref{gauss_int_gen}, приходим к гауссовой плотности условной вероятности:

$P=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma ^{2}k^{2}(t-t_{0})/2-ik\cdot (x-x_{0})}\;{\frac {dk}{2\pi }}\;=\;{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi (t-t_{0})}}}}\,\exp \left\{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\,{\frac {(x-x_{0})^{2}}{(t-t_{0})}}\right\}.$

Видно, что волатильность в гауссиане увеличивается с течением времени, как $\textstyle \sigma \cdot {\sqrt {t-t_{0}}}$. Среднее значение равно начальному $\textstyle x_{0}$. Плотность вероятности вокруг $\textstyle x_{0}$ симметрична и постепенно "расплывается", увеличивая свою ширину. Таким образом, лучшим прогнозом будущего $\textstyle x$ будет его начальное значение $\textstyle x_{0}$.

Аналогично можно решить уравнение Фоккера-Планка, соответствующее процессу: $\textstyle dx=f(t)dt+s(t)\delta W$ ($\textstyle \lessdot$ H), и несколько длиннее, при помощи метода характеристик (стр. \pageref{characteristics_method}), - для процесса Орнштейна-Уленбека: $\textstyle dx=-\beta \cdot (x-\alpha )\,dt+\sigma \delta W$ ($\textstyle \lessdot$ H).

$\textstyle \bullet$ Мы уже обсуждали в конце раздела $\textstyle \S$, стр. \pageref{sect_autocor_fun2}, что начальные условия могут быть заданы с некоторой вероятностью. Например, это происходит, когда учитывают неизбежные измерительные ошибки при определении $\textstyle x_{0}=x(t_{0})$. Возможны и более экзотические ситуации начальной неопределённости.

С точки зрения решения уравнения Фоккера-Планка это означает, что начальное условие для плотности вероятности равно не дельта - функции Дирака, а некоторой задаваемой функции $\textstyle P_{0}(x_{0})$. Для неё тоже можно записать фурье - преобразование:

$P_{0}(x_{0})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\phi _{0}(k)\,e^{-ikx_{0}}\;{\frac {dk}{2\pi }}.$

При решении уравнения для винеровского блуждания с учётом этого начального условия мы имеем:

$\phi (k,t)=\phi _{0}(k)\,e^{-\sigma ^{2}k^{2}(t-t_{0})/2}.$

Чтобы получить вероятность будущих значений $\textstyle x$, необходимо вычислить интеграл (4.13). Рассмотрим случай, когда начальные условия имеют гауссову форму:

$P_{0}(x_{0})={\frac {1}{b{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-(x_{0}-a)^{2}/2b^{2}}\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\phi _{0}(k)=e^{iak-b^{2}k^{2}/2},$

где $\textstyle a$ - среднее значение, а $\textstyle b$ - волатильность (ошибка измерения $\textstyle x_{0}$). В этом случае снова получится гауссова плотность $\textstyle P(x,t)$, зависящая от времени, но волатильность в ней будет заменена следующим образом:

$\sigma ^{2}\cdot (t-t_{0})\to b^{2}+\sigma ^{2}\cdot (t-t_{0}).$

Другими словами, неопределённость в будущем значении $\textstyle x$ определяется начальной неопределённостью $\textstyle b$ и "привнесённой" случайным блужданием $\textstyle \sigma ^{2}\cdot (t-t_{0})$. Этот результат для волатильностей справедлив и в случае произвольного распределения $\textstyle P_{0}(x_{0})$. Действительно, полагая $\textstyle t_{0}=0$, при помощи гауссовой случайной величины $\textstyle \varepsilon \sim N(0,1)$ запишем решение винеровского процесса:

$x=x_{0}+\sigma \cdot {\sqrt {t}}\,\varepsilon .$

Считая $\textstyle x_{0}$ случайной величиной, получаем:

$\sigma _{x}^{2}=\left\langle (x-{\bar {x}})^{2}\right\rangle =\left\langle {\bigl (}x_{0}-{\bar {x}}_{0}-\sigma {\sqrt {t}}\,\varepsilon {\bigr )}^{2}\right\rangle =\left\langle (x_{0}-{\bar {x}}_{0})^{2}\right\rangle +\sigma ^{2}\,t,$

где мы воспользовались независимостью будущего блуждания и начальных условий $\textstyle \left\langle x_{0}\varepsilon \right\rangle =\left\langle x_{0}\right\rangle \left\langle \varepsilon \right\rangle =0$.

---

Уравнение для плотности вероятности <<	Оглавление	>> Граничные условия

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения