Уравнение для плотности вероятности

Марковские плотности вероятности <<	Оглавление	>> Решение уравнения Фоккера-Планка

---

$\textstyle \bullet$ Найдём уравнение относительно переменных начального значения $\textstyle x_{0}$, $\textstyle t_{0}$. Для этого воспользуемся уравнением Чепмена-Колмогорова. Чтобы возникла производная по времени $\textstyle t_{0}$, необходимо рассмотреть $\textstyle t_{0}$ и бесконечно близкое к нему время $\textstyle t_{0}+\Delta t$. Поэтому для трёх последовательных моментов времени в интегральном уравнении возьмём два соседних $\textstyle t_{1}=t_{0}$, $\textstyle t_{2}=t_{0}+\Delta t$ и одно "будущее" $\textstyle t_{3}=t$:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t) = \int\limits^\infty_{-\infty} P(x_0,t_0 \Rightarrow y,t_0+\Delta t)\cdot \underbrace{P(y,t_0+\Delta t \Rightarrow x,t)}_{раскладываем\;по\;(y-x_0)} \;dy.}

Интервал $\textstyle \Delta t$ мал и, следовательно, величина $\textstyle y$, соответствующая моменту времени $\textstyle t_{0}+\Delta t$, должна быть близка к $\textstyle x_{0}$ в момент времени $\textstyle t_{0}$. Поэтому разложим в ряд Тейлора по $\textstyle y-x_{0}$, в окрестности точки $\textstyle y=x_{0}$, второй множитель под интегралом:

$P(y,t_{0}+\Delta t\Rightarrow x,t)=P+{\frac {\partial P}{\partial x_{0}}}\cdot (y-x_{0})+{\frac {1}{2}}\;{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x_{0}^{2}}}\cdot (y-x_{0})^{2}+...,$

где $\textstyle P=P(x_{0},t_{0}+\Delta t\Rightarrow x,t)$. Вынесем множители, не зависящие от $\textstyle y$, за знак интеграла. Опуская пределы интегрирования, запишем:

${\begin{array}{lcl}P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)&=&P(x_{0},t_{0}+\Delta t\Rightarrow x,t)\cdot \int P(x_{0},t_{0}\Rightarrow y,t_{0}+\Delta t)dy\\&+&{\frac {\partial P}{\partial x_{0}}}\cdot \int (y-x_{0})\cdot P(x_{0},t_{0}\Rightarrow y,t_{0}+\Delta t)dy\\&+&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x_{0}^{2}}}\cdot \int (y-x_{0})^{2}\cdot P(x_{0},t_{0}\Rightarrow y,t_{0}+\Delta t)dy\\&+&...\end{array}}$

Первое слагаемое соответствует условию нормировки (переход "хоть куда-нибудь"), и интеграл равен единице. В результате получается просто $\textstyle P$.

Перенесём направо $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$ и разделим обе части на $\textstyle \Delta t$. По определению, при $\textstyle \Delta t\to 0$ мы можем записать:

${\frac {P(x_{0},t_{0}+\Delta t\Rightarrow x,t)-P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)}{\Delta t}}\;\;\to \;\;{\frac {\partial P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)}{\partial t_{0}}},$

что приводит к производной по начальному моменту времени $\textstyle t_{0}$.

Интегрирование по $\textstyle y$ во втором и третьем слагаемых даёт условные средние моментов первого и второго порядков:

${\frac {\partial P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)}{\partial t_{0}}}\;+\;{\frac {\partial P}{\partial x_{0}}}\cdot {\frac {\left\langle (x-x_{0})\right\rangle }{\Delta t}}\;+\;{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x_{0}^{2}}}\cdot {\frac {\left\langle (x-x_{0})^{2}\right\rangle }{\Delta t}}\;=\;0.$

Если бы мы продолжили разложение в ряд Тейлора, то в этом уравнении стояли бы также моменты более высоких порядков $\textstyle \left\langle (x-x_{0})^{3}\right\rangle$, и т.д. Однако для диффузных процессов они по определению в пределе $\textstyle \Delta t\to 0$ равны нулю (см. стр. \pageref{def_a_b}).

Средние значения, как обычно, вычисляются при помощи условной плотности вероятности ($\textstyle \Delta t\to 0$):

$\left\langle \,(x-x_{0})^{m}\right\rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{m}\;P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t_{0}+\Delta t)\,dx.$

При вычислении предела $\textstyle \Delta t\to 0$ сначала необходимо проинтегрировать, вычислив среднее, затем полученную функцию от $\textstyle \Delta t$ разделить на $\textstyle \Delta t$, и только после этого устремить к нулю $\textstyle \Delta t\to 0$.

Мы видим, что снос и диффузия естественным образом появляются как в уравнениях для плотности вероятности случайного процесса, так и в стохастических дифференциальных уравнениях при записи их через разности.

В результате, вводя коэффициенты сноса и диффузии, получаем "первое уравнение Колмогорова":

${\;\;\;{\frac {\partial P}{\partial t_{0}}}+a(x_{0},t_{0})\cdot {\frac {\partial P}{\partial x_{0}}}+{\frac {1}{2}}\;b^{2}(x_{0},t_{0})\cdot {\frac {\partial ^{2}P}{\partial x_{0}^{2}}}\;=0\;\;\;},$

(4.6)

где $\textstyle P=P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$. Заметим, что производные в этом уравнении берутся не по будущим аргументам $\textstyle x$ и $\textstyle t$, а по начальным $\textstyle x_{0}$ и $\textstyle t_{0}$.

Если значение $\textstyle x_{0}=x(t_{0})$ задано точно, то первое уравнение Колмогорова необходимо решать с "начальными" условиями в виде дельта-функции Дирака:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t) = \delta (x-x_0)\;\;\;\;\;при\;\;\; t\to t_0. }

(4.7)

Естественно, кроме этого предполагается наличие тех или иных граничных условий. В простейшем случае требуют достаточно быстрого убывания плотности вероятности при увеличении разности $\textstyle x-x_{0}$ в любой момент времени $\textstyle t>t_{0}$.

---

$\textstyle \bullet$ Выведем теперь второе дифференциальное уравнение для функции $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$ по "будущим" аргументам $\textstyle x,t$. Пусть процесс Ито в момент времени $\textstyle t-\Delta t$ имеет значение $\textstyle x$. Спустя малый интервал времени $\textstyle \Delta t$ он будет иметь значение $\textstyle y$:

$y=x+a\,\Delta t+b\,\varepsilon {\sqrt {\Delta t}},$

(4.8)

где $\textstyle a=a(x,t-\Delta t)$, $\textstyle b=b(x,t-\Delta t)$. Величина $\textstyle x$ является случайной с плотностью распределения $\textstyle P(x,t-\Delta t)=P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t-\Delta t)$. Случайной и независимой от неё будет и $\textstyle \varepsilon$ c гауссовой плотностью $\textstyle P(\varepsilon )$. В результате $\textstyle y$ в момент $\textstyle t$ также будет случайной величиной.

Чтобы найти распределение $\textstyle P(y,t)=P(x_{0},t_{0}\Rightarrow y,t)$, необходимо вычислить среднее от произвольной функции (см. стр. \pageref{aver_fun_def}):

$\left\langle F(y)\right\rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }\overbrace {F(x+a\Delta t+b\varepsilon {\sqrt {\Delta t}})} ^{F(y)}\cdot \overbrace {P(x,t-\Delta t)P(\varepsilon )} ^{P(x,\varepsilon )}\,dx\,d\varepsilon$

(4.9)

и преобразовать его таким образом, чтобы получился однократный интеграл c $\textstyle F(y)$ в момент времени $\textstyle t$. Обратим внимание, что, если в (4.8) $\textstyle x$, $\textstyle y$ и $\textstyle \varepsilon$ — это случайные величины, потенциально принимающие любые значения, то в (4.9) они же выступают в виде обычных вещественных переменных интегрирования.

Так как $\textstyle \Delta t$ малo, разложим $\textstyle F(..)$ в ряд, оставляя члены порядка не более $\textstyle \Delta t$:

$F(x+a\Delta t+b\varepsilon {\sqrt {\Delta t}})=F(x)+{\frac {\partial F}{\partial x}}\,{\bigl (}a\,\Delta t+b\,\varepsilon \,{\sqrt {\Delta t}}{\bigr )}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\,b^{2}\,\varepsilon ^{2}\,\Delta t+...$

Все функции справа вычислены в точке $\textstyle x$ и в момент времени $\textstyle t$. Заметим, что в (4.8) функции вычислялись в момент времени $\textstyle t-\Delta t$. На самом деле их тоже необходимо разложить по $\textstyle \Delta t$. Однако эти ряды будут умножаться на $\textstyle \Delta t$, $\textstyle {\sqrt {\Delta t}}$ и окажутся малыми более высокого порядка. Поэтому можно взять ведущее приближение разложения и считать в дальнейшем, что $\textstyle a=a(x,t)$, $\textstyle b=b(x,t)$.

Аналогично раскладывается плотность вероятности по $\textstyle \Delta t$:

$P(x,t-\Delta t)=P(x,t)-{\frac {\partial P(x,t)}{\partial t}}\,\Delta t+...$

Этим соотношением мы связываем плотности вероятности в два бесконечно близких момента времени, в результате чего в конечном уравнении появится частная производная по времени.

Подставим последние два разложения в (4.9), выдерживая порядок малости по $\textstyle \Delta t$. Интегрирование по $\textstyle \varepsilon$ сводится к $\textstyle \left\langle \varepsilon \right\rangle =0$, $\textstyle \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle =1$, и в результате:

$\left\langle F(y)\right\rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(x)P(x,t)dx-\Delta t\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left[F\,{\frac {\partial P}{\partial t}}-{\frac {\partial F}{\partial x}}\;aP-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\;b^{2}P\right]dx.$

Во втором интеграле $\textstyle F=F(x)$, $\textstyle P=P(x,t)$. Первый интеграл представляет определение искомого среднего в момент времени $\textstyle t$ (переменная интегрирования $\textstyle x$ может быть переобозначена в $\textstyle y$). Поэтому второй интеграл должен быть равен нулю. Интегрируя по частям один раз второе слагаемое в квадратных скобках и два раза третье ($\textstyle \lessdot$ C), получим $\textstyle F(x)$, умноженную на выражение:

${\;{\frac {\partial P}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\;{\bigl [}a(x,t)\cdot P{\bigr ]}-{\frac {1}{2}}\;{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{}^{2}}}\;{\bigl [}b^{2}(x,t)\cdot P{\bigr ]}=0\;},$

(4.10)

которое должно быть равно нулю (в силу произвольности $\textstyle F(x)$). Это уравнение Фоккера - Планка, или второе уравнение Колмогорова для плотности условной вероятности $\textstyle P=P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$.

Решение уравнения Фоккера-Планка позволяет найти плотность вероятности условного перехода. Имея её, мы фактически знаем о марковском случайном процессе всё. Можем вычислять его среднее, волатильность, автокорреляционную функцию и отвечать на другие вопросы.

Естественно, кроме начального условия (4.7), предполагается наличие граничных условий для плотности вероятности. Так как мы знаем, что в момент времени $\textstyle t_{0}$ значение $\textstyle x$ было равно $\textstyle x_{0}$, то спустя конечный интервал времени цена или броуновская частица не могут "заблуждать" бесконечно далеко. Поэтому мы считаем, что плотность вероятности на бесконечности равна нулю. Это же требование возникает в силу условия нормировки:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)\,dx=1,$

(4.11)

имеющего смысл вероятности перехода "куда угодно".

Так как дифференциальное уравнение (4.10) линейно относительно функции $\textstyle P$, то решение не изменяется при умножении $\textstyle P$ на произвольную константу. Её значение должно фиксироваться при помощи условия нормировки (4.11).

---

Марковские плотности вероятности <<	Оглавление	>> Решение уравнения Фоккера-Планка

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения