Несмотря на простой вид, стохастические уравнения () аналитически интегрировать не так и просто из-за винеровского члена
. Это явно видно в случае конечной численной реализации (). Каждое последовательное
в итерационной процедуре нелинейным образом зависит от всех предыдущих случайных чисел
(
C). Тем не менее, рассмотрим ситуации, в которых можно получить точные решения.
Пусть в процессе Ито функции сноса и волатильности зависят только от времени. Обозначим их через
и
:

Это уравнение легко интегрируется при помощи "дискретной" интерпретации стохастического члена
. Рассмотрим итерации, выполняемые по разностной схеме ():

где
и
. После
итераций итоговое значение будет равно:

Скобки в последнем слагаемом содержат сумму независимых гауссовых чисел, каждое из которых имеет волатильность
. В результате получается гауссово число с волатильностью
. Поэтому, переходя к непрерывному пределу, получаем (
H):
![{\displaystyle x(t)=x(t_{0})+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau )\,d\tau +\left[\int \limits _{t_{0}}^{t}s^{2}(\tau )\,d\tau \right]^{1/2}\cdot \;\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67311fbbfd4d6eebba48c1a63580cd4f172f88bb)
Решение () уравнения () говорит нам, что
является нормально распределённым случайным числом со средним и дисперсией, зависящими от времени. Если
— не константа, то будущая неопределённость в значении
может увеличиваться уже не как
, а по другому закону.
Соотношение () позволяет легко вычислить статистические свойства процесса, в частности, его среднее
и волатильность
.
Одномерное уравнение Ито для процесса, имеющего произвольный снос
и волатильность

заменой иногда можно свести к частному случаю (), для которого решение уже известно. Воспользуемся леммой Ито:

Подберем
таким образом, чтобы множители при
и
в () оказались функциями
и
, зависящими только от времени:
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}={\frac {s(t)}{b(x,t)}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial F}{\partial t}}+s(t)\cdot \left[{\frac {a(x,t)}{b(x,t)}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial b(x,t)}{\partial x}}\right]=f(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe67a6de2371e5cd9729f89a31e8587aab84d6b)
где вместо
в множитель при
подставлено первое уравнение () и его производная по
(
H). Возьмём частные производные первого уравнения () по
и второго по
. Вычитая их, мы придём к условию совместности:

Если при данных
и
можно подобрать такую функцию
, при которой уравнение () обратится в тождество, то мы получим решение стохастического уравнения () в следующей неявной форме:
![{\displaystyle F{\bigl (}x(t),t{\bigr )}=F{\bigl (}x(t_{0}),t_{0}{\bigr )}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau )\,d\tau +\left[\int \limits _{t_{0}}^{t}s^{2}(\tau )\,d\tau \right]^{1/2}\cdot \;\varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab0dd71d07fa78810b5c336080822628fd23869a)
где функция
определяется вторым соотношением (), а
находится из первого уравнения () (
C).
Решение () — это нестационарный гауссовый процесс для деформации
при помощи нелинейной функции
. Естественно, что разрешимость () позволяет интегрировать уравнение Ито только в ряде частных случаев. Однако, как мы увидим ниже, эти случаи охватывают достаточно широкий класс важных для практических приложений процессов.
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения