Ковариантная электродинамика

Эрлангенская программа <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 7)	>> Лагранжев подход

---

Электродинамике, рассмотренной в четвертой главе, можно придать элегантный вид при помощи ковариантных обозначений. Напомним, что 4-вектор потенциала $\textstyle A^{\alpha }$ определён таким образом, что его нулевая компонента является скалярным потенциалом $\textstyle \varphi$, а пространственные — компонентами векторного потенциала $\textstyle \mathbf {A}$ (стр.\,\pageref{transf_poten}). Кроме этого мы определили 4-вектор тока $\textstyle j^{\alpha }$:

$A^{\alpha }=\{\varphi ,\mathbf {A} \},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;j^{\alpha }=\{\rho ,\;\mathbf {j} \},$

где $\textstyle \rho$ — плотность заряда, а $\textstyle \mathbf {j} =\rho \,\mathbf {v}$ — плотность тока зарядов, движущихся со скоростью $\textstyle \mathbf {v}$. Пространственные компоненты 4-ковектора имеют обратный знак по сравнению с 4-вектором: $\textstyle A_{\alpha }=\{\varphi ,-\mathbf {A} \}$. Событие в пространстве-времени также является 4-вектором $\textstyle x^{\alpha }=\{t,\mathbf {r} \}$. Для операции взятия частной производной по $\textstyle x^{\alpha }$ было введено обозначение:

$\partial _{\alpha }={\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}=\left\{{\frac {\partial }{\partial t}},\;\nabla \right\}.$

Определим антисимметричный тензор второго ранга:

$F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }.$

(EQN)

Компоненты этого тензора выражаются через напряжённости электрического ($\textstyle \mathbf {E} =-\partial \mathbf {A} /\partial t-\nabla \varphi$) и магнитного ($\textstyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$) полей. Так:

$F_{01}=\partial _{0}A_{1}-\partial _{1}A_{0}={\frac {\partial A_{1}}{\partial x^{0}}}-{\frac {\partial A_{0}}{\partial x^{1}}}=-{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}=E_{x},$

где минус появился, так как $\textstyle A_{1}=-A^{1}=-A_{x}$. Напомним, что когда пишется проекция 3-вектора не с индексом ($\textstyle A_{1}$), а с именем оси $\textstyle (A_{x})$, подразумевается, что это контравариантная компонента 4-вектора ($\textstyle A^{1}$). Аналогично находятся $\textstyle F_{02}=E_{y}$, $\textstyle F_{03}=E_{z}$ или $\textstyle \mathbf {E} =\{F_{01},\;F_{02},\;F_{03}\}$. Остальные компоненты связаны с магнитным полем:

$F_{32}=\partial _{3}A_{2}-\partial _{2}A_{3}=-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}=[\nabla \times \mathbf {A} ]_{x}=B_{x}.$

В результате $\textstyle \mathbf {B} =\{F_{32},\;F_{13},\;F_{21}\}$. Подъём индексов осуществляется при помощи метрического тензора. Для компонент с нулевым индексом происходит смена знака (по повторяющимся индексам сумма от 0 до 3):

$F^{01}=g^{0\alpha }g^{1\beta }F_{\alpha \beta }=g^{00}g^{11}F_{01}=-F_{01}.$

Компоненты без нулевого индекса знак не меняют:

$F^{12}=g^{1\alpha }g^{2\beta }F_{\alpha \beta }=g^{11}g^{22}F_{12}=F_{12}.$

Напомним, что $\textstyle g_{\mu \nu }=g^{\mu \nu }=\mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)$, см. стр.\pageref{metr_tens_g}.

Таким образом, с учётом антисимметричности $\textstyle F_{\alpha \beta }=-F_{\beta \alpha }$, получаем:

$F_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&\;E_{x}&\;E_{y}&\;E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&\;B_{y}\\-E_{y}&\;B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&\;B_{x}&0\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-B_{z}&\;B_{y}\\E_{y}&\;B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}&-B_{y}&\;B_{x}&0\end{pmatrix}}.$

В 4-мерном пространстве любой антисимметричный тензор имеет 6 независимых компонент, которые можно представить в виде проекций двух 3-мерных векторов. Условно это записывается так (см. стр.\,\pageref{anti_sym_ten_sec}):

$F_{\alpha \beta }=(-\mathbf {E} ,-\mathbf {B} ),\;\;\;\;\;\;\;F^{\alpha \beta }=(\mathbf {E} ,-\mathbf {B} ).$

При помощи антисимметричного тензора Леви-Чевиты $\textstyle \varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }$ (стр.\,\pageref{Levi_Chev}), определим ещё один антисимметричный тензор второго ранга, который будем помечать звёздочкой (это не комплексное сопряжение!):

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,^*F_{\mu\nu} = \frac{1}{2}\,\varepsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\,F^{\alpha\beta}. }

(EQN)

Расписывая сумму по $\textstyle \alpha$ и $\textstyle \beta$ несложно ($\textstyle \lessdot$\,H) найти его компоненты:

$^{*}F_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&-E_{z}&\;E_{y}\\B_{y}&\;E_{z}&0&-E_{x}\\B_{z}&-E_{y}&\;E_{x}&0\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;^{*}F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z}\\-B_{x}&0&-E_{z}&\;E_{y}\\-B_{y}&\;E_{z}&0&-E_{x}\\-B_{z}&-E_{y}&\;E_{x}&0\end{pmatrix}}.$

Аналогично тензорам $\textstyle F_{\alpha \beta }$ и $\textstyle F^{\alpha \beta }$ можно записать:

$\,^{*}F_{\alpha \beta }=(\mathbf {B} ,-\mathbf {E} ),\;\;\;\;\;\;\;\,^{*}F^{\alpha \beta }=(-\mathbf {B} ,-\mathbf {E} ).$

Поля поменялись местами, поэтому $\textstyle ^{*}F_{\mu \nu }$ называют дуальным к $\textstyle F^{\mu \nu }$.

Введём единичный ($\textstyle U^{\alpha }U_{\alpha }=1$) 4-вектор. Пусть в данной системе отсчёта $\textstyle S$ он имеет компоненты $\textstyle U^{\alpha }=\{1,\,\mathbf {0} \}$. При помощи преобразований Лоренца можно найти его компоненты в произвольной инерциальной системе отсчета (они будут зависеть от скорости этой системы относительно $\textstyle S$). Вектор $\textstyle U^{\alpha }$ и тензоры напряженности $\textstyle F^{\alpha \beta }$, $\textstyle \,^{*}F^{\alpha \beta }$ позволяют определить 4-векторы напряженности электрического и магнитного поля:

$E^{\mu }=F^{\mu \nu }U_{\nu },\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;B^{\mu }=U_{\nu }\,^{*}F_{\nu \mu }.$

Они ортогональны вектору $\textstyle U^{\mu }$, т.е. $\textstyle U_{\mu }E^{\mu }=U_{\mu }B^{\mu }=0$, а в системе $\textstyle S$ их компоненты равны $\textstyle E^{\mu }=\{0,\,\mathbf {E} \}$ и $\textstyle B^{\mu }=\{0,\,\mathbf {B} \}$. При помощи этих 4-векторов можно, в свою очередь, выразить тензор напряженности:

$F_{\mu \nu }=E_{\mu }U_{\nu }-E_{\nu }U_{\mu }+\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\,B^{\alpha }U^{\beta },$

что проверяется расписыванием его компонент в системе $\textstyle S$. В электродинамике сплошных сред вектор $\textstyle U^{\alpha }$ имеет смысл макроскопической скорости среды. Подробнее мы рассмотрим это в главе .

$\textstyle \bullet$ При помощи введенных обозначений 4 уравнения Максвелла можно записать в виде двух явно ковариантных уравнений (имеющих одинаковый вид во всех инерциальных системах):

$\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=4\pi j^{\beta },\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\partial _{\alpha }^{\;*}F^{\alpha \beta }=0.$

(EQN)

Распишем в первом уравнении сумму по индексу $\textstyle \alpha$, положив $\textstyle \beta =0$:

$\partial _{0}F^{00}+\partial _{1}F^{10}+\partial _{2}F^{20}+\partial _{3}F^{30}=\partial _{x}E_{x}+\partial _{y}E_{y}+\partial _{z}E_{z}=\nabla \mathbf {E} =4\pi j^{0}=4\pi \rho .$

Также ($\textstyle \lessdot$\,H) записываем для $\textstyle \beta =1$ и т.д. В результате, получается пара уравнений Максвелла с источниками:

$\nabla \mathbf {E} =4\pi \rho ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.$

Аналогично ($\textstyle \lessdot$\,H) второе ковариантное уравнение (), приводит к уравнениям Максвелла без источников:

$\nabla \mathbf {B} =0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.$

Естественно, уравнения Максвелла в векторной форме также являются ковариантными. В них можно подставить преобразования для напряженностей полей, плотностей зарядов-токов и преобразования Лоренца для времени и координат. В результате, в произвольной ("штрихованной") инерциальной системе, двигающейся относительно исходной со скоростью $\textstyle \mathbf {v}$, получатся такие же уравнения, но со штрихами. Тем не менее, уравнения Максвелла () нагляднее демонстрируют такую ковариантность, так как в силу своего тензорного характера, по определению, имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчёта.

$\textstyle \bullet$ Из первого ковариантного уравнения Максвелла следует уравнение непрерывности для зарядов. Действительно, возьмём от него производную по $\textstyle x^{\beta }$:

$\partial _{\beta }\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=4\pi \,\partial _{\beta }j^{\beta }=0.$

Это соотношение равно нулю, так как вторая производная симметрична (перестановочна) $\textstyle \partial _{\alpha }\partial _{\beta }=\partial _{\beta }\partial _{\alpha }$, а тензор антисимметричен $\textstyle F^{\alpha \beta }=-F^{\beta \alpha }$, поэтому их свёртка равна нулю (см. стр.\,\pageref{m_antisym_sym}):

$\partial _{\beta }j^{\beta }=\partial _{0}j^{0}+\partial _{i}j^{i}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \mathbf {j} =0.$

Таким образом, "самостоятельный" закон сохранения заряда "заложен" в уравнения Максвелла и непосредственно связан с их линейностью и антисимметричностью тензора $\textstyle F_{\alpha \beta }$.

$\textstyle \bullet$ Второе ковариантное уравнение Максвелла () без источников может быть переписано в эквивалентном виде для тензора электромагнитного поля без звёздочки:

$\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }=0.$

(EQN)

Заметим, что индексы слагаемых в этом уравнении циклически переставляются: $\textstyle \alpha \beta \gamma \mapsto \beta \gamma \alpha \mapsto \gamma \alpha \beta$. Уравнение () несложно получить ($\textstyle \lessdot$\,H) непосредственно из определения тензора $\textstyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }$. Чтобы получить () из $\textstyle \partial _{\mu }^{\;*}F^{\mu \lambda }=0$ необходимо ($\textstyle \lessdot$\,H) последнее свернуть с $\textstyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \lambda }$ и воспользоваться тождеством (см. стр.\,\pageref{math_varepsilon_0123}):

$\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \lambda }\varepsilon ^{\lambda \mu \nu \sigma }=\delta _{\alpha }^{\mu }\,\varepsilon _{\beta \gamma }^{\nu \sigma }+\delta _{\gamma }^{\mu }\,\varepsilon _{\alpha \beta }^{\nu \sigma }+\delta _{\beta }^{\mu }\,\varepsilon _{\gamma \alpha }^{\nu \sigma }$

(EQN)

где $\textstyle \varepsilon _{\beta \gamma }^{\nu \sigma }=\delta _{\beta }^{\nu }\delta _{\gamma }^{\sigma }-\delta _{\gamma }^{\nu }\delta _{\beta }^{\sigma }$ — антисимметричный по парам индексов тензор.

$\textstyle \bullet$ Уравнению движения пробного заряда во внешнем электромагнитном поле также можно придать явно ковариантный вид:

$m{\frac {du^{\alpha }}{ds}}=qF^{\alpha \beta }\,u_{\beta },$

(EQN)

где $\textstyle u^{\alpha }=dx^{\alpha }/ds=\{1/{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}},\;\mathbf {v} /{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}\}$ — 4-вектор скорости. Действительно, вдоль траектории частицы интервал равен $\textstyle ds=dt{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}$. Поэтому для $\textstyle \alpha =0$ уравнение () имеет вид:

${\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}}{\frac {d}{dt}}\,{\frac {m}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}}=qF^{0i}\,u_{i}={\frac {q\,\mathbf {E} \,\mathbf {v} }{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}},$

так как для 4-ковектора $\textstyle u_{\alpha }$ компоненты равны $\textstyle \{u^{0},-u^{i}\}$, а $\textstyle F^{0i}=-\mathbf {E} _{i}$. Полученное уравнение является производной кинетической энергии по времени. Эта производная равна скалярному произведению силы Лоренца на скорость частицы: $\textstyle d\mathbb {E} /dt=\mathbf {F} \mathbf {v} .$

Аналогично, если $\textstyle \alpha =1$, то $\textstyle qF^{1\beta }u_{\beta }=qF^{10}\,u_{0}+qF^{1i}\,u_{i}$, поэтому:

${\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}}{\frac {d}{dt}}\,{\frac {m\,v_{x}}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}}={\frac {qE_{x}+B_{z}\,v_{y}-B_{y}\,v_{z}}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}}={\frac {q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )_{x}}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}},$

и т.д., что приводит к силе Лоренца (стр.\pageref{E_B_main}). В четвертой главе мы получили силу Лоренца при помощи преобразований Лоренца для силы. Понятно, что она будет иметь одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчёта, что явным образом и демонстрирует ковариантное уравнение (). В качестве упражнения ($\textstyle \lessdot$\,H) предлагается решить уравнения движения заряда в постоянном электрическом поле $\textstyle \mathbf {E}$ для 4-скорости $\textstyle u^{\mu }$, как функции собственного времени заряда (интервала $\textstyle s$).

$\textstyle \bullet$ Опишем в ковариантных обозначениях заряд, который равномерно движется со скоростью $\textstyle \mathbf {v}$. Потенциал поля такого заряда можно записать в следующем виде (см. стр. \pageref{poten_Lien_Vih}):

$A^{\alpha }(t,\mathbf {r} )=Q\,{\frac {\{\gamma ,\;\gamma \mathbf {v} \}}{\sqrt {(\mathbf {r} -\mathbf {v} t)^{2}+\gamma ^{2}((\mathbf {r} -\mathbf {v} t)\mathbf {v} )^{2}+a^{2}}}},$

(EQN)

где сделана подстановка $\textstyle \mathbf {r} \mapsto \mathbf {r} -\mathbf {v} t$ так как в общем случае начало координат не совпадает с положением заряда (см. стр.\,\pageref{sec_macswell_eqs}). Кроме этого введен параметр $\textstyle a$ для регуляризации сингулярности, возникающей при обращении знаменателя в ноль при $\textstyle \mathbf {r} =\mathbf {v} t$.

Выражение для потенциала можно существенно упростить, если ввести следующий 4-вектор:

$\eta ^{\alpha }=x^{\alpha }-(\mathrm {x} \cdot \mathrm {u} )\,u^{\alpha }$

(EQN)

или в безиндексной форме:

$\eta =\mathrm {x} -(\mathrm {x} \cdot \mathrm {u} )\,\mathrm {u} ,$

где $\textstyle \mathrm {x} \equiv x^{\alpha }=\{t,\,\mathbf {r} \}$ и $\textstyle \mathrm {u} \equiv u^{\alpha }=\{\gamma ,\,\gamma \mathbf {v} \}$ (не путаем 3-скорость $\textstyle \mathbf {v} =d\mathbf {r} /dt$ и пространственные компоненты 4-скорости $\textstyle u^{\alpha }=dx^{\alpha }/ds$). Так как $\textstyle \mathrm {u} ^{2}=1$, несложно видеть, что этот вектор ортогонален 4-скорости:

$\eta \cdot \mathrm {u} =0,$

а его квадрат равен:

$\eta ^{2}=\mathrm {x} ^{2}-(\mathrm {x} \cdot \mathrm {u} )^{2}.$

Перепишем теперь выражение в знаменателе 4-потенциала следующим образом:

$(\mathbf {r} -\mathbf {v} t)^{2}+\gamma ^{2}((\mathbf {r} -\mathbf {v} t)\mathbf {v} )^{2}=\gamma ^{2}(t-\mathbf {r} \mathbf {v} )^{2}-(t^{2}-\mathbf {r} ^{2}).$

Это равенство проверяется прямым раскрытием квадратов в левой и правой частях. Заметим, что $\textstyle \gamma (t-\mathbf {r} \mathbf {v} )=\mathrm {x} \cdot \mathrm {u}$ и $\textstyle t^{2}-\mathbf {r} ^{2}=\mathrm {x} ^{2}$, поэтому это выражение равно $\textstyle -\eta ^{2}$. Таким образом 4-потенциал точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью равен:

$A^{\alpha }={\frac {\;Q\,u^{\alpha }}{\sqrt {a^{2}-\eta ^{2}}}}.$

(EQN)

Проделанное выше преобразование знаменателя явным образом демонстрирует, что квадрат $\textstyle \eta$ всегда отрицателен, поэтому выражение под корнем остаётся положительным и в пределе $\textstyle a\to 0$.

Найдём теперь тензор напряженности электромагнитного поля точечного заряда. Для этого возьмём частную производную по $\textstyle x^{\alpha }$ от $\textstyle \eta ^{2}$:

$\partial _{\alpha }\eta ^{2}=\partial _{\alpha }{\bigl (}\mathrm {x} ^{2}-(\mathrm {x} \cdot \mathrm {u} )^{2}{\bigr )}=2x_{\alpha }-2(\mathrm {x} \cdot \mathrm {u} )\,u_{\alpha }$

или

$\partial _{\alpha }\eta ^{2}=2\eta _{\alpha }.$

(EQN)

При помощи этого соотношения не составляет труда найти производную 4-потенциала ():

$\partial _{\alpha }A_{\beta }=Q\,{\frac {\eta _{\alpha }\,u_{\beta }}{(a^{2}-\eta ^{2})^{3/2}}}.$

Обратим внимание, что 4-потенциал удовлетворяет калибровке Лоренца $\textstyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0$. Это и понятно. В системе отсчёта где заряд покоится, потенциал $\textstyle \varphi$ не зависит от времени, а $\textstyle \mathbf {A} =0$ (закон Кулона). Поэтому калибровка Лоренца выполняется автоматически. В силу своей ковариантности она будет иметь одинаковое значение (ноль) и в любой другой инерциальной системе отсчёта. Соответственно, по определению тензора электромагнитного поля $\textstyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }$, имеем:

$F_{\alpha \beta }=Q\,{\frac {\eta _{\alpha }\,u_{\beta }-\eta _{\beta }\,u_{\alpha }}{(a^{2}-\eta ^{2})^{3/2}}}.$

(EQN)

Найдём также регуляризованную плотность 4-тока для точечного заряда. Используя

$\partial _{\alpha }\eta ^{\beta }=\delta _{\alpha }^{\beta }-u_{\alpha }u^{\beta },\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\delta _{\alpha }^{\alpha }=4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\partial _{\alpha }\eta ^{\alpha }=3$

(EQN)

и первое ковариантное уравнение Максвелла ():

$j^{\beta }={\frac {1}{4\pi }}\,\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta },$

после несложных вычислений ($\textstyle \lessdot$\,H), имеем:

$j^{\beta }={\frac {3}{4\pi }}\,Q\,u^{\beta }\,{\frac {a^{2}}{(a^{2}-\eta ^{2})^{5/2}}}.$

(EQN)

В силу () и ортогональности $\textstyle \eta \cdot \mathrm {u} =0$, автоматически выполняется уравнение непрерывности $\textstyle \partial _{\alpha }j^{\alpha }=0$. При стремлении параметра $\textstyle a$ к нулю, плотность тока становится пропорциональной сингулярной $\textstyle \delta$-функции Дирака:

$j^{\beta }=\,Q\,u^{\beta }\,\delta (-\eta ^{2})$

(см. аналогичный предельный переход при обсуждении неподвижного точечного заряда на стр.\pageref{em_delta_function_Dirac}).

$\textstyle \bullet$ После того, как основные величины определены как 4-векторы или тензоры, несложно записать их преобразования при смене системы отсчёта. Так, 4-потенциал $\textstyle A^{\alpha }=\{\varphi ,\,\mathbf {A} \}$ и 4-ток $\textstyle j^{\alpha }=\{\rho ,\,\mathbf {j} \}$ являются 4-векторами, поэтому они преобразуются так же, как и компоненты 4-вектора $\textstyle x^{\alpha }=\{t,\,\mathbf {r} \}$. Например, для потенциалов имеем:

$\varphi '=\gamma \,(\varphi -\mathbf {v} \mathbf {A} ),\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathbf {A} }'={\mathbf {A} }-\gamma {\mathbf {v} }\varphi +\Gamma \,{\mathbf {v} }\,({\mathbf {v} }{\mathbf {A} }),$

где $\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}$ и $\textstyle \Gamma =(\gamma -1)/v^{2}=\gamma ^{2}/(1+\gamma )$. Обратим внимание, что в правой и левой части преобразований стоят функции координат и времени, которые соответствуют "своей" системе отсчёта: $\textstyle \varphi '=\varphi '(t',\mathbf {r} ')$, $\textstyle \varphi =\varphi (t,\mathbf {r} )$, и аналогично для функций $\textstyle \mathbf {A} '$ и $\textstyle \mathbf {A}$.

Преобразование для плотности заряда запишем в виде одного соотношения, так как между временной и пространственной частями 4-тока существует связь: $\textstyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {u}$, где $\textstyle \mathbf {u}$ — скорость зарядов в точке, где измеряется их плотность $\textstyle \rho$:

$\rho '=\gamma \,(1-\mathbf {v} \mathbf {u} )\rho .$

Не стоит забывать, что скорость $\textstyle \mathbf {u}$, как и плотность $\textstyle \rho$, является функцией координат $\textstyle \mathbf {r}$ и времени $\textstyle t$.

$\textstyle \bullet$ Ковариантное выражение без индексов является инвариантом. Оно имеет одинаковое значение во всех системах отсчёта. Построение соответствующих выражений позволяет легко получать различные инварианты физических величин. Так, вычислим свертку тензоров электромагнитного поля:

$F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }=F_{01}F^{01}+F_{02}F^{02}+F_{03}F^{03}+F_{12}F^{12}+F_{13}F^{13}+F_{23}F^{23}+...,$

где многоточием обозначены такие же слагаемые с переставленными индексами. Так как $\textstyle F_{\alpha \beta }$ и $\textstyle F^{\alpha \beta }$ — антисимметричны, одновременная перестановка индексов ничего не изменит. Подставляя значения компонент, имеем:

$F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }=2(\mathbf {B} ^{2}-\mathbf {E} ^{2}).$

(EQN)

В безиндексном виде этот инвариант можно записать следующим образом: $\textstyle -\mathrm {Tr} \,\mathrm {F} ^{2}$, где $\textstyle (\mathrm {F} ^{2})_{\;\,\nu }^{\mu }=F^{\mu \alpha }F_{\alpha \nu }=-F^{\mu \alpha }F_{\nu \alpha }$, а $\textstyle \mathrm {Tr}$ обозначает суммирование диагональных элементов (след матрицы). Аналогично получается ещё один инвариант при свёртке тензора $\textstyle F^{\alpha \beta }$ с дуальным к нему тензором $\textstyle ^{*}F_{\alpha \beta }$:

$^{*}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\;=\;4\mathbf {E} \mathbf {B} .$

(EQN)

Эти два инварианта были уже найдены ранее (стр.\,\pageref{vB_transf}).

$\textstyle \bullet$ Получим ещё раз преобразования для напряжённостей электромагнитного поля. Величина $\textstyle F^{\alpha \beta }$ преобразуется как тензор:

$F'^{\mu \nu }=\Lambda _{\;\alpha }^{\mu }\Lambda _{\;\beta }^{\nu }\,F^{\alpha \beta }=\Lambda _{\;\alpha }^{\mu }F^{\alpha \beta }\Lambda _{\beta }^{T\;\nu },$

где во второй матрице преобразования $\textstyle \mathbf {\Lambda }$ переставлены индексы по горизонтали и поставлен знак транспонирования. В результате этих действий порядок индексов становится соответствующим правилу перемножения матриц. Поэтому, опуская индексы, запишем преобразование тензора напряженности электромагнитного поля в матричном виде:

$\mathbf {F} '=\mathbf {\Lambda } \cdot \mathbf {F} \cdot \mathbf {\Lambda } ^{T}.$

В случае когда оси $\textstyle x$ и $\textstyle x'$ выбраны в направлении относительной скорости, матрица преобразований Лоренца $\textstyle \Lambda _{\;\alpha }^{\mu }$ выглядит достаточно просто (см. стр.\,\pageref{matrix_Lambda_alpha_beta}):

$\Lambda _{\;\alpha }^{\mu }={\begin{pmatrix}\gamma &-v\gamma &0&0\\-v\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.$

Поэтому в явном матричном виде преобразование для тензора $\textstyle F^{\mu \nu }$ можно записать следующим образом:

$\mathbf {F} '={\begin{pmatrix}\gamma &-v\gamma &0&0\\-v\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-B_{z}&\;B_{y}\\E_{y}&\;B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}&-B_{y}&\;B_{x}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma &-v\gamma &0&0\\-v\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.$

Перемножая матрицы, получаем:

${\begin{array}{l}E'_{x}=E_{x},\;\;\;\;\;E'_{y}=\gamma \,(E_{y}-vB_{z}),\;\;\;\;\;E'_{z}=\gamma \,(E_{z}+vB_{y}),\\B'_{x}=B_{x},\;\;\;\;\;B'_{y}=\gamma \,(B_{y}+vE_{z}),\;\;\;\;\;B'_{z}=\gamma \,(B_{z}-vE_{y}).\end{array}}$

Если относительная скорость двух систем отсчёта направлена не вдоль оси $\textstyle x$, а в произвольным направлении, то преобразования имеют вид (см. стр.\,\pageref{E_to_Ep}):

$\mathbf {E} '=\gamma \,(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )-\Gamma \,\mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {E} ),$

$\mathbf {B} '=\gamma \,(\mathbf {B} -\mathbf {v} \times \mathbf {E} )-\Gamma \,\mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {B} ),$

где $\textstyle \gamma$ и $\textstyle \Gamma$ определены точно также, как и в преобразованиях Лоренца. Эти преобразования можно получить при помощи тензора $\textstyle F_{\alpha \beta }$, если записать общий вид матрицы преобразования $\textstyle \Lambda _{\;\alpha }^{\mu }$ при произвольном направлении скорости (стр.\,\pageref{matrix_Lambda_alpha_beta}). Можно также воспользоваться преобразованием для двух 4-векторов $\textstyle \partial ^{\alpha }$, $\textstyle A^{\alpha }$ и определением $\textstyle F^{\alpha \beta }=\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha }$.

---

Эрлангенская программа <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 7)	>> Лагранжев подход

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии