Эрлангенская программа

Нелинейные преобразования <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 5)	>> Ковариантная электродинамика

---

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим $\textstyle n-m$ мерную поверхность в $\textstyle n$-мерном евклидовом пространстве. Размерность поверхности определяется числом уравнений $\textstyle m$ которые её задают. Например, плоская одномерная окружность единичного радиуса в 3-мерном пространстве может быть определена как линия пересечения плоскости и сферы: \parbox{7cm}{\includegraphics{pic/sphere_plane.eps}} \parbox{5cm}{

${\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\\z=0.\end{array}}$

} Уравнений два, пространство 3-мерно, следовательно размерность этой поверхности равна $\textstyle 3-2=1$ (это линия). В общем случае $\textstyle n-m$ мерная поверхность $\textstyle {\mathcal {M}}$ определяется при помощи $\textstyle m$ уравнений:

${\mathcal {M}}:\;\;\;\;\;\;F_{1}(\mathbf {x} )=0,\;\;\;\;\;F_{2}(\mathbf {x} )=0,\;\;\;\;...,\;\;\;\;F_{m}(\mathbf {x} )=0.$

(EQN)

Естественно предполагается, что эти уравнения совместны, т.е. поверхности $\textstyle F_{i}(\mathbf {x} )=0$ размерности $\textstyle n-1$ должны пересекаться.

Поверхность будет инвариантной относительно группы преобразований, если каждая точка поверхности в результате преобразования перемещается по этой поверхности. Другими словами, если $\textstyle \mathbf {x}$ решение системы (), то и $\textstyle \mathbf {x} '=\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {x} )$ также является её решением.

Система уравнений () инвариантна относительно группы с генераторами $\textstyle {\hat {X}}_{\alpha }$, когда выполняются уравнения:

${\hat {X}}_{\alpha }F_{k}(\mathbf {x} ){\Bigr |}_{\mathcal {M}}=0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k=1,...,m,\;\;\;\alpha =1,....,s.$

Черта с индексом $\textstyle {\mathcal {M}}$ обозначает, что эти уравнения необходимо брать на поверхности, т.е. подставлять в них решения системы ().

Понятно, что инвариантные уравнения поверхности () должны быть некоторыми функциями базовых инвариантов группы $\textstyle I_{i}(\mathbf {x} )$. Поэтому с их помощью можно дать описание всех поверхностей инвариантных относительно данной группы.

Например, уравнение параболоида вращения $\textstyle z=x^{2}+y^{2}$ может быть записано в виде:

${\frac {x^{2}}{z}}+{\frac {y^{2}}{z}}-1=0.$

Оно состоит из суммы двух инвариантов $\textstyle x^{2}/z$, $\textstyle y^{2}/z$ относительно группы неоднородных растяжений: $\textstyle x'=e^{a}x$, $\textstyle y'=e^{a}y$, $\textstyle z'=e^{2a}z$ с генератором $\textstyle {\hat {X}}=-(x\,\partial _{x}+y\,\partial _{y}+2z\,\partial _{z})$. Эти инварианты находятся из системы обыкновенных дифференциальных уравнений $\textstyle dx/x=dy/y=dz/2z$.

Та или иная поверхность обладает определенной геометрией. Например, для "плоскатиков", находящихся на евклидовой плоскости, геометрия пространства евклидова. Для них справедлива теорема Пифагора и другие привычные для нас геометрические законы. Для аналогичных плоскатиков, живущих на поверхности шара, геометрия пространства отличается от евклидовой. Однако их пространство, как и пространство плоскатиков, остаётся однородным и изотропным. Так, они могут перемещать и поворачивать произвольную геометрическую фигуру без её искажения. Это свойство связанно с трансляционной и вращательной симметрией и соответствующими группами.

Произвольно изогнутая поверхность может не обладать ни какими свойствами симметрии. Однако достаточно богатые геометрические свойства возникают, когда пространство обладает определенной симметрией. Идея о том, что различные геометрии можно классифицировать в соответствии с группами преобразований их симметрий принадлежит Феликсу Клейну (1872) и носит название "Эрлангенской программы". В рамках этой программы предлагается в первую очередь изучать геометрии обладающие той или иной группой симметрии. Именно такие геометрии оказываются "интересными".

Говоря о геометрии необходимо помнить, что речь идет не только об обычном физическом 2-мерном или 3-мерном пространстве. Природа рассматриваемых пространств, на самом деле, может быть достаточно разнообразной. Рассмотрим, например, пространство скоростей, каждая точка которого соответствует определенной скорости некоторого объекта. Два различных объекта, движущихся с одинаковой скоростью, в этом пространстве будут соответствовать одной и той-же точке. Понятно, что подобное пространство скоростей имеет три измерения. Его можно наделить геометрическими свойствами, задав расстояние между двумя точками и способ параллельного переноса.

В классической механике пространство скоростей обладает евклидовой геометрией, а преобразование Галилея (сложение трех векторов) связано с евклидовой теоремой Пифагора. В теории относительности пространство скоростей уже имеет геометрию Лобачевского (см.главу ). Соответственно их группы симметрий оказываются различными.

Как мы знаем, свойства тех или иных групп симметрий (линейных или нелинейных) определяются структурными константами. Эти константы начинают играть роль фундаментальных физических констант, когда та или иная группа находит свое место в наших математических моделях при описании физической реальности.

$\textstyle \bullet$ Как уже упоминалось (стр.\,\pageref{sym_non_lin_dif_x}), можно использовать различные способы параметризации группового преобразования. Другими словами, в рамках одной и той же группы можно перейти к новым параметрам $\textstyle \mathbf {a} '$, связанными некоторой зависимостью $\textstyle \mathbf {a} =\psi (\mathbf {a} ')\equiv \mathbf {a} (\mathbf {a} ')$ со старыми параметрами $\textstyle \mathbf {a}$. При таком преобразовании меняются операторы генераторов группы. Причем генераторы для новых параметров линейным образом выражаются через генераторы для старых. Действительно, пусть $\textstyle x'^{k}=f^{k}(\mathbf {a} (\mathbf {a'} ),\mathbf {x} )$, тогда:

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify»): {\displaystyle u'_{\alpha }^{k}(\mathbf {x} )={\frac {f^{k}(\mathbf {a} ,\mathbf {x} )}{\partial a^{\beta }}}\,{\frac {\partial a^{\beta }}{\partial a'^{\alpha }}}{\Bigr |}_{\mathbf {a} '=\mathbf {0} }=A_{\alpha }^{\beta }\,u_{\beta }^{k}(\mathbf {x} ),}

где предполагается, что в обоих параметризациях нулевые параметры соответствуют единичному преобразованию и введено обозначение для матрицы производных $\textstyle A_{\alpha }^{\beta }=\partial a^{\beta }/\partial a'^{\alpha }$, вычисленных в нуле. Теперь можно записать связь генераторов $\textstyle {\hat {X}}_{\alpha }=-u_{\alpha }^{k}(\mathbf {x} )\partial _{k}$ по параметрам $\textstyle \mathbf {a}$ и генераторов Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify»): {\displaystyle \textstyle {\hat {X}}'_{\alpha }=-u'_{\alpha }^{k}(\mathbf {x} )\partial _{k}} параметрам $\textstyle \mathbf {a} '$:

${\hat {X}}'_{\alpha }=A_{\alpha }^{\beta }{\hat {X}}_{\beta }.$

Оба набора генераторов удовлетворяют алгебрам Ли: $\textstyle [{\hat {X}}_{\alpha },{\hat {X}}_{\beta }]=c_{\alpha \beta }^{\gamma }{\hat {X}}_{\gamma },$ Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify»): {\displaystyle \textstyle [{\hat {X}}'_{\alpha },{\hat {X}}'_{\beta }]=c'_{\alpha \beta }^{\gamma }{\hat {X}}'_{\gamma }} . Подставляя линейное преобразование во вторую алгебру и вынося постоянные коэффициенты $\textstyle A_{\alpha }^{\beta }$ за коммутатор, имеем:

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify»): {\displaystyle [{\hat {X}}'_{\alpha },{\hat {X}}'_{\beta }]=A_{\alpha }^{\mu }A_{\beta }^{\nu }\,[{\hat {X}}_{\mu },{\hat {X}}_{\nu }]=A_{\alpha }^{\mu }A_{\beta }^{\nu }\,c_{\mu \nu }^{\sigma }{\hat {X}}_{\sigma }=c'_{\alpha \beta }^{\tau }{\hat {X}}'_{\tau }=A_{\tau }^{\sigma }\,c'_{\alpha \beta }^{\tau }{\hat {X}}_{\sigma }.}

Таким образом, структурные константы соответствующие различным параметризациям связаны следующим образом:

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify»): {\displaystyle A_{\alpha }^{\mu }A_{\beta }^{\nu }\,c_{\mu \nu }^{\sigma }=A_{\tau }^{\sigma }\,c'_{\alpha \beta }^{\tau }.}

Сворачивая обе части этого соотношения с обратной матрицей $\textstyle {\tilde {A}}_{\sigma }^{\gamma }$, для которой $\textstyle {\tilde {A}}_{\mu }^{\alpha }\,A_{\beta }^{\mu }=\delta _{\beta }^{\alpha }$, окончательно, получаем:

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify»): {\displaystyle c'_{\alpha \beta }^{\gamma }={\tilde {A}}_{\sigma }^{\gamma }A_{\alpha }^{\mu }A_{\beta }^{\nu }\,c_{\mu \nu }^{\sigma }.}

Это тензорное линейное преобразование структурных констант, в котором для нижних индексов используется матрица $\textstyle A_{\alpha }^{\mu }$, а для верхнего — обратная к ней $\textstyle {\tilde {A}}_{\sigma }^{\gamma }$. Две алгебры, для которых структурные константы связаны таким образом соответствуют одной и той же параметрической группе Ли $\textstyle \mathbf {x} '=\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {x} )$. Заметим, что обратная матрица $\textstyle {\tilde {A}}_{\beta }^{\alpha }$ всегда существует, так как определитель $\textstyle \det A_{\beta }^{\alpha }$ не равен нулю (это якобиан преобразования). Кроме этого, если $\textstyle A_{\beta }^{\alpha }=\partial a^{\alpha }/\partial a'^{\beta }$, то $\textstyle {\tilde {A}}_{\alpha }^{\gamma }=\partial a'^{\gamma }/\partial a^{\alpha }$.

$\textstyle \bullet$ Для двухпараметрических групп возможны две различные структурные константы $\textstyle c_{12}^{1}$ и $\textstyle c_{12}^{2}$. Соответственно алгебра Ли имеет вид:

$[{\hat {X}}_{1},{\hat {X}}_{2}]=c_{12}^{1}{\hat {X}}_{1}+c_{12}^{2}{\hat {X}}_{2}.$

С учетом неоднозначности, связанной с выбором параметризации, можно перейти к другим структурным константам. Для нижних индексов это приводит лишь к умножению констант на постоянный множитель:

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify»): {\displaystyle c'_{\alpha \beta }^{\gamma }={\tilde {A}}_{\sigma }^{\gamma }(A_{\alpha }^{1}A_{\beta }^{2}\,c_{12}^{\sigma }+A_{\alpha }^{2}A_{\beta }^{1}\,c_{21}^{\sigma })=(A_{\alpha }^{1}A_{\beta }^{2}-A_{\alpha }^{2}A_{\beta }^{1})\,{\tilde {A}}_{\sigma }^{\gamma }\,c_{12}^{\sigma },}

По верхним же индексам происходит перемешивание констант:

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify»): {\displaystyle c'_{12}^{1}=J\,({\tilde {A}}_{1}^{1}\,c_{12}^{1}+{\tilde {A}}_{2}^{1}\,c_{12}^{2}),}

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify»): {\displaystyle c'_{12}^{2}=J\,({\tilde {A}}_{1}^{2}\,c_{12}^{1}+{\tilde {A}}_{2}^{2}\,c_{12}^{2}),}

где $\textstyle J=\det A=\det(\partial a^{\alpha }/\partial a'^{\beta })$ — якобиан преобразования между различными способами параметризации. Путь константы $\textstyle \{c_{12}^{1},\,c_{12}^{2}\}$ являются компонентами некоторого вектора. Тогда перемешивание соответствует его вращению (возможно с изменением длины). Всегда можно выбрать такой поворот, при котором одна из компонент вектора будет равна нулю. Поэтому возможны две неэквивалентные группы с абелевой алгеброй:

$[{\hat {X}}_{1},{\hat {X}}_{2}]=0$

(EQN)

(когда обе структурные константы равны нулю) и с неабелевой:

$[{\hat {X}}_{1},{\hat {X}}_{2}]=q{\hat {X}}_{2},$

(EQN)

где константу $\textstyle q$ масштабным преобразованием можно сделать равной, например, единице. Этими двумя алгебрами исчерпываются все возможности для 2-х параметрических групп Ли.

Зная структурные константы, можно решить уравнения (), стр.\,\pageref{group_defeq4}. При этом, правда, потребуется определенная изобретательность, так как получаются 2 нетривиальных уравнения для 4-х неизвестных функций $\textstyle \mu _{\beta }^{\alpha }(\mathbf {a} )$. Разложением в ряд несложно убедиться, что приближенное линейное соотношение $\textstyle \mu _{\beta }^{\alpha }(\mathbf {a} )=\delta _{\beta }^{\alpha }+\phi _{\beta \gamma }^{\alpha }a^{\gamma }$ оказывается точным, и для алгебры (), имеем (индексы опущены вниз, $\textstyle q=1$):

$\mu _{1}^{1}=\mu _{2}^{2}=1,\;\;\;\;\;\mu _{2}^{1}=0,\;\;\;\;\;\mu _{1}^{2}=a_{2}.$

Уравнения (), стр.\,\pageref{group_defeq3} приводят к следующей системе

${\frac {\partial \phi _{1}}{\partial b_{1}}}+b_{2}\,{\frac {\partial \phi _{1}}{\partial b_{2}}}=1,\;\;\;\;\;{\frac {\partial \phi _{1}}{\partial b_{2}}}=0,\;\;\;\;\;{\frac {\partial \phi _{2}}{\partial b_{1}}}+b_{2}{\frac {\partial \phi _{2}}{\partial b_{2}}}=\phi _{2},\;\;\;\;\;{\frac {\partial \phi _{2}}{\partial b_{2}}}=1,$

которая легко интегрируется и дает $\textstyle \phi _{1}(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )=b_{1}+f_{1}(a_{1},a_{2})$ и $\textstyle \phi _{2}(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )=e^{b_{1}}f_{2}(a_{1},a_{2})+b_{2}$. После учета "начальных условий" $\textstyle \phi (\mathbf {0} ,\mathbf {a} )=\mathbf {a}$, получаются функции композиции ().

$\textstyle \bullet$ Построим теперь классификацию 3-х параметрических групп. В этом случае возможно 9 различных структурных констант $\textstyle c_{\alpha \beta }^{\gamma }$ (по нижним индексам антисимметричный тензор зависит от 3-х параметров, и так для каждого из 3-х значений верхнего индекса). Эти 9 величин можно выразить через произвольный тензор второго ранга $\textstyle C^{\alpha \beta }$, который также имеет 9 компонент:

$c_{\alpha \beta }^{\gamma }=\varepsilon _{\alpha \beta \nu }C^{\nu \gamma },$

(EQN)

где $\textstyle \varepsilon _{\alpha \beta \nu }$ — символ Леви-Чевиты, обеспечивающий антисимметричность структурных констант по нижним индексам. Сворачивая алгебру Ли $\textstyle [{\hat {X}}_{\alpha },{\hat {X}}_{\beta }]=c_{\alpha \beta }^{\gamma }{\hat {X}}_{\gamma }=\varepsilon _{\alpha \beta \nu }C^{\nu \gamma }{\hat {X}}_{\gamma }$ с символом $\textstyle \varepsilon ^{\mu \alpha \beta }$ по $\textstyle \alpha$ и $\textstyle \beta$, получаем:

$\varepsilon ^{\mu \alpha \beta }{\hat {X}}_{\alpha }{\hat {X}}_{\beta }=C^{\mu \nu }{\hat {X}}_{\nu }.$

(EQN)

Если тождество Якоби (), стр.\,\pageref{group_jacobi} для структурных констант

$c_{\mu \nu }^{\alpha }c_{\sigma \alpha }^{\lambda }+c_{\nu \sigma }^{\alpha }c_{\mu \alpha }^{\lambda }+c_{\sigma \mu }^{\alpha }c_{\nu \alpha }^{\lambda }=0,$

свернуть по трем индексам с $\textstyle \varepsilon ^{\mu \nu \sigma }$, получается следующее соотношение:

$\varepsilon _{\gamma \alpha \beta }C^{\alpha \beta }C^{\gamma \mu }=0.$

(EQN)

Произвольный тензор $\textstyle C^{\alpha \beta }$ можно разложить на сумму симметричного и антисимметричного тензора, которую мы запишем следующим образом:

$C^{\alpha \beta }=S^{\alpha \beta }+\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma }Q_{\gamma }.$

Симметричный тензор $\textstyle S^{\alpha \beta }=S^{\beta \alpha }$ определяется 6-ю параметрами, а вектор $\textstyle Q_{\gamma }$ — тремя, поэтому мы по-прежнему имеем 9 независимых параметров. В этом представлении структурных констант, тождество Якоби () принимает вид:

$S^{\alpha \beta }Q_{\beta }=0.$

(EQN)

При переходе к новой параметризации тензорные выражения $\textstyle S^{\alpha \beta }$ и $\textstyle Q_{\alpha }$ преобразуются аналогично $\textstyle c_{\alpha \beta }^{\gamma }$:

$S'^{\alpha \beta }={\tilde {A}}_{\mu }^{\alpha }{\tilde {A}}_{\nu }^{\beta }S^{\mu \nu },\;\;\;\;\;\;\;\;Q'_{\alpha }=A_{\alpha }^{\mu }Q_{\mu }$

(строго говоря, если матрицы $\textstyle A_{\beta }^{\alpha }=\partial a^{\alpha }/\partial a'^{\beta }$ не являются ортогональными, для тензорности введенных величин, символ Леви-Чевиты необходимо дополнительно умножить на якобиан $\textstyle J=\det A$ преобразования \cite{StepanovVec}, однако для дальнейшего это не существенно). Подобными преобразованиями симметричный тензор всегда можно сделать диагональным: $\textstyle S^{\alpha \beta }=\mathrm {diag} (s_{1},s_{2},s_{3})$. Поэтому в подходящей параметризации он будет определяться только 3-мя независимыми параметрами $\textstyle s_{\alpha }$. Соответственно, условие () принимает вид: $\textstyle s_{1}q_{1}=s_{2}q_{2}=s_{3}q_{3}=0$, где $\textstyle q_{\alpha }$ — компоненты вектора $\textstyle Q_{\alpha }$.

Полагая в () индекс $\textstyle \mu =3,2,1$ получаем выражения для трех коммутаторов, зависящие от 6-ти параметров:

${\begin{array}{ll}&[{\hat {X}}_{1},{\hat {X}}_{2}]=s_{3}{\hat {X}}_{3}+q_{2}{\hat {X}}_{1}-q_{1}{\hat {X}}_{2},\\&[{\hat {X}}_{3},{\hat {X}}_{1}]=s_{2}{\hat {X}}_{2}+q_{1}{\hat {X}}_{3}-q_{3}{\hat {X}}_{1},\\&[{\hat {X}}_{2},{\hat {X}}_{3}]=s_{1}{\hat {X}}_{1}+q_{3}{\hat {X}}_{2}-q_{2}{\hat {X}}_{3}.\\\end{array}}$

При этом, если все $\textstyle s_{i}$ отличны от нуля, то $\textstyle q_{i}$ должны быть нулевыми и т.д. для выполнения тождества Якоби: $\textstyle s_{1}q_{1}=s_{2}q_{2}=s_{3}q_{3}=0$. Кроме вращений, диагонализирующих $\textstyle S^{\alpha \beta }$ можно умножить операторы на произвольные ненулевые числа (масштабное преобразование параметров). Это позволяет сделать коэффициенты при генераторах в правой части равными $\textstyle \pm 1$. Наконец, нумерация параметров преобразования (и генераторов) произвольна. Принципиально различными являются случаи, когда все $\textstyle s_{i}$ — нулевые, только 2 из них нулевые, и т.д. При ненулевых значениях они могут быть равны как 1, так и -1. На основе подобных соображений строится классификация 3-х параметрических групп, проделанная Луиджи Бианки в 1918 г. Возможны различные способы классификации (см., например, \cite{Landau2_2003},\cite{Petrov1966}) Мы приведем вариант такой классификации, следуя \cite{Landau2_2003} ($\textstyle Q_{\alpha }=\{q,0,0\}$ и в первой колонке — классификационный индекс):

${\begin{array}{lrrrrcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;&\;s_{1}\;&\;s_{2}\;&\;s_{3}\;&\;\;\;\;\;\;q&\\\hline \mathrm {I} &0&0&0&0&\\\mathrm {V} &0&0&0&1&\\\mathrm {II} &1&0&0&0&\\\mathrm {IV} &0&0&1&1&\\\mathrm {VII} _{0}&1&1&0&0&\\\mathrm {VII} _{q}&0&1&1&q&\\\mathrm {VI} _{0}&1&-1&0&0&\\\mathrm {VI} _{q}&0&1&-1&q&\\\mathrm {III} &0&1&-1&1&\\\mathrm {IX} &1&1&1&0&\\\mathrm {VIII} &1&1&-1&0&\\\hline \end{array}}$

Тип I является абелевой группой трансляций в евклидовом пространстве. Тип IX также соответствует трансляциям, но уже в пространстве постоянной положительной кривизны (глава ), 2-мерным аналогом которого является сфера. Этот же тип имеет алгебру Ли линейных групп $\textstyle \mathbf {SO} (3)$ и $\textstyle \mathbf {SU} (2)$. Третье однородное и изотропное пространство постоянной отрицательной кривизны (пространство Лобачевского) связано с типом V. Как мы увидим в главе , это пространство описывает пространство скоростей теории относительности.

---

Нелинейные преобразования <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 5)	>> Ковариантная электродинамика

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии