Обсуждение:Прецессия ускоренного стрежня

Здравствуйте! Есть два вопроса по поводу написанного.

1. "...Относительно системы $\ \textstyle S$ в момент времени $\ \textstyle t=0$ концы стержней в точке $\ \textstyle A$ и начала систем отсчёта совпадают. Однако, в силу относительности одновременности, вторые концы стержней совпадать не будут. Для неподвижных наблюдателей они оказываются повёрнутыми вокруг точки $\ \textstyle A$..."

Можете, пожалуйста, объяснить это более наглядно?

Стоит прочитать стр.94 (в pdf-ке). Там поднимается вверх летящий горизонтальный стержень. Относительно неподвижных наблюдателей он поворачивается. Тут тот же эффект, но стержень, в общем случае, не горизонтальный.

2. "...Рассмотрим равноускоренное движение стержня, когда скорость и ускорение направлены вдоль стержня. Пусть один из концов стержня движется со следующими скоростью и ускорением:..".

На основании чего подобраны нижеследующие выражения?

См. (2.27), стр.111 с нулевой начальной скоростью (надо поставить ссылку, спасибо).

С уважением, Maxim 13:16, 19 августа 2012 (UTC) .

А где, кстати, находится раздел "Помощь" к этой главе? Maxim 09:00, 21 августа 2012 (UTC) .

Перезалил pdf-файл второй главы с "Помощью" (возможно потребуется релоад нажать, если старая версия в кеше браузера висит). Сергей Степанов 21:07, 21 августа 2012 (UTC)

---

А как получить величину угла поворота стержня, исходя из уравнения

$\ d\mathbf {s} =-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {s} )d\mathbf {u}$?

Я записал это уравнение в проекции на вектор $\ d\mathbf {u}$ при условии инвариантности длины стержня и получил, что

$\ d\mathbf {s} _{d\mathbf {u} }=d(scos(\varphi ))=-ssin(\varphi )d\varphi =-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {s} )d\mathbf {u} \Rightarrow tg(\varphi )d\varphi ={\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}udu$.

Видимо, где-то есть ошибка. Подскажете, где?

Длина не является инвариантом. В силу лоренцевского эффекта сокращения длины, она меняется при изменении скорости. Поэтому происходит изменение как длины стержня, так и его ориентации. Можно разделить эти два эффекта. Вводя длину стержня $l={\sqrt {\mathbf {s} ^{2}}}$ и единичный вектор в его направлении $\mathbf {n} =\mathbf {s} /l$, из уравнения несложно получить:

${\frac {d\ln l}{dt}}=-\gamma ^{2}(\mathbf {v} \mathbf {n} )(\mathbf {a} \mathbf {n} ).$

Аналогично для единичного вектора $\mathbf {n}$:

${\frac {d\mathbf {n} }{dt}}=\gamma ^{2}(\mathbf {v} \mathbf {n} )[\mathbf {a} \times \mathbf {n} ]\times \mathbf {n} .$

Из этого уравнения следует, что угловая скорость поворота зависит от ориентации стержня $\mathbf {n}$. Действительно, перепишем его в виде

${\frac {d\mathbf {n} }{dt}}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {n} ,$

где угловая скорость вращения вектора $\mathbf {n}$ равна:

$\mathbf {\Omega } =\gamma ^{2}(\mathbf {v} \mathbf {n} )[\mathbf {a} \times \mathbf {n} ].$

Угловая скорость пропорциональна углу поворота. Она зависит от ориентации стержня относительно скорости и ускорения. Последнее соотношение позволяет проанализировать картинки с различной ориентацией.

Если эта тема заинтересовала, почитайте более подробную статью. Она недавно была опубликована в ЭЧАЯ. Сергей Степанов 21:44, 22 августа 2012 (UTC)

А как было получено уравнение для производной единичного вектора по времени? У меня выходит, что

$\ {\frac {d\mathbf {s} }{dt}}{\frac {1}{l}}={\frac {d\mathbf {n} }{dt}}=-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {a} ={\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} )[[\mathbf {a} \times \mathbf {n} ]\times \mathbf {n} ]+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} )$,

и это выражение, по всей видимости, не совпадает с приведенным Вами. Подскажете, пожалуйста, в чем ошибка?

${\frac {d\mathbf {n} }{dt}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {s} }{(\mathbf {s} ^{2})^{1/2}}}\right)={\frac {1}{l}}{\frac {d\mathbf {s} }{dt}}-{\mathbf {s} }{\frac {1}{2l^{3}}}{\frac {d\mathbf {s} ^{2}}{dt}}={\frac {1}{l}}{\frac {d\mathbf {s} }{dt}}-{\frac {\mathbf {s} }{l^{3}}}\left(\mathbf {s} {\frac {d\mathbf {s} }{dt}}\right)$