Прецессия ускоренного стрежня

Ускоренное движение <<	Оглавление (Глава 2)	>> Четырёхмерное пространство-время

---

В 1926 г. Люэлин Хиллет Томас \cite{Thomas1926} для объяснения расщепления линий в спектрах атомов рассмотрел движение по криволинейной траектории вращающегося шарика. Такой шарик представлял собой классическую модель электрона. Томас учёл релятивистский кинематический эффект поворота системы координат, возникающий при композиции лоренцевских преобразований, и получил правильные коэффициенты в гамильтониане взаимодействия электрона с электромагнитным полем. Математику такого поворота мы рассмотрим в 5-й главе.

В настоящее время классическая модель электрона имеет только историческое значение, а правильный гамильтониан получается в квантовой теории из уравнения Дирака. Тем не менее, релятивистский эффект поворота ускоренного движущегося стержня или собственного момента вращения гироскопа представляет определённый интерес. В этом разделе мы рассмотрим движение по произвольной траектории стержня, а вопросы, связанные с гироскопом, отложим до следующей главы. Стоит отметить, что уравнения, которые мы выведем, отличаются от томасовских, так как в последних было учтено вращение системы отсчёта, но проигнорировано лоренцевское сокращение длины \cite{Stepsnov_Thomas}.

Пусть стержень движется с небольшим ускорением (но, возможно, с большой скоростью) так, что его условно можно считать жёстким. Если на такой стержень действует сила (но не момент силы), то с точки зрения классической механики он должен перемещаться в пространстве, не меняя своей ориентации. В теории относительности это не так.

Рассмотрим неподвижный относительно системы отсчёта $\textstyle S'$ стержень, один конец которого находится в начале системы (точка $\textstyle A$ далее на рисунке). Пусть другой, "точно такой же" стержень движется относительно него с небольшой постоянной скоростью $\textstyle \mathbf {u} '$ так, что в момент времени $\textstyle t'=0$ оба стержня совпадают. Можно считать, что существует один стержень, все точки которого в момент времени $\textstyle t'=0$ одновременно приобретают одинаковую скорость $\textstyle \mathbf {u} '$. Такой стержень ускоряется, перемещаясь параллельно относительно своего предыдущего положения.

Относительно системы $\textstyle S$ в момент времени $\textstyle t=0$ концы стержней в точке $\textstyle A$ и начала систем отсчёта совпадают. Однако, в силу относительности одновременности, вторые концы стержней совпадать не будут. Для неподвижных наблюдателей они оказываются повёрнутыми вокруг точки $\textstyle A$. Точно так же будет выглядеть изменение стержня, который приобретает дополнительную скорость $\textstyle \mathbf {u} '$, сдвигаясь параллельно себе (с собственной точки зрения).

Найдём величину изменения радиус-вектора, связанного со стержнем.

Траектории точки, движущейся с постоянной скоростью в системах $\textstyle S'$ и $\textstyle S$, имеют вид:

$\mathbf {r} '=\mathbf {r} _{0}'+\mathbf {u} 't',\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {u} t.$

Подставим их в обратные преобразования Лоренца (), стр.\pageref{lorenz_vec0}:

$t=\gamma \,(t'+\mathbf {v} \mathbf {r} '_{0}+(\mathbf {v} \mathbf {u} ')t')$

(EQN)

$\mathbf {r} _{0}+\mathbf {u} t=\mathbf {r} _{0}'+\mathbf {u} 't'+\mathbf {v} \gamma t'+\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {r} _{0}')+\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {u} ')t'.$

(EQN)

В левую часть уравнения () подставим время $\textstyle t$ из () и сгруппируем слагаемые при $\textstyle t'$:

$\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{0}'+\gamma \mathbf {u} \,(\mathbf {v} \mathbf {r} '_{0})-\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {r} _{0}')={\bigl [}\mathbf {u} '+\gamma \mathbf {v} +\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {u} ')-\gamma \mathbf {u} \,(1+\mathbf {v} \mathbf {u} '){\bigr ]}t'.$

Это соотношение выполняется при любом $\textstyle t'$, если его левая и правая части равны нулю. В результате получается связь скоростей (), стр.\pageref{transf_u_vec0}, и начальных положений:

$\mathbf {r} _{0}=\mathbf {r} '_{0}-\gamma \mathbf {u} (\mathbf {v} \mathbf {r} _{0}')+\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {r} '_{0}).$

(EQN)

В момент времени $\textstyle t=t'=0$ точки $\textstyle A$ первого и второго стержня совпадают и находятся в началах систем отсчёта ($\textstyle \mathbf {r} _{0}=\mathbf {r} '_{0}=0$). Точка $\textstyle B$ первого стержня имеет скорость $\textstyle \mathbf {u} =\mathbf {v}$ и $\textstyle \mathbf {u} '=0$. Поэтому из () следует, что в момент времени $\textstyle t=0$ в системе $\textstyle S$ она имеет координаты:

$\mathbf {r} _{0_{1}}=\mathbf {r} '_{0}-{\frac {\gamma }{\gamma +1}}\,\mathbf {v} \,(\mathbf {v} \mathbf {r} _{0}'),$

(EQN)

Это соотношение совпадает с (), стр.\pageref{shape_coord_sys}, при $\textstyle t=0$.

Точка $\textstyle B$ второго стержня имеет скорости $\textstyle \mathbf {u} =\mathbf {v} +d\mathbf {v}$ и $\textstyle \mathbf {u} '=d\mathbf {v} '$. Из () получаем её положение в момент $\textstyle t=0$ в системе $\textstyle S$:

$\mathbf {r} _{0_{2}}=\mathbf {r} '_{0}-{\frac {\gamma }{\gamma +1}}\,\mathbf {v} \,(\mathbf {v} \mathbf {r} _{0}')-\gamma (\mathbf {v} \mathbf {r} _{0}')d\mathbf {v} .$

(EQN)

Вычитая из () уравнение (), мы получим изменение положения точки $\textstyle B$ относительно точки $\textstyle A$ (смещение конца $\textstyle B$ второго стержня относительно первого) для наблюдателей в системе $\textstyle S$.

Введём вектор $\textstyle \mathbf {s}$, соединяющий концы стержня $\textstyle A$ и $\textstyle B$. Так как радиус-вектор точки $\textstyle A$ нулевой, имеем $\textstyle \mathbf {s} =\mathbf {r} _{0_{1}}$. После изменения стержнем скорости в () $\textstyle \mathbf {r} _{0_{2}}=\mathbf {s} +d\mathbf {s}$. Поэтому:

$d\mathbf {s} =-\gamma (\mathbf {v} \mathbf {s} ')d\mathbf {v} =-\gamma ^{2}\,(\mathbf {v} \mathbf {s} )\,d\mathbf {v} ,$

(EQN)

где $\textstyle \mathbf {s} '=\mathbf {r} '_{0_{1}}=\mathbf {r} '_{0_{2}}$ — положение точки $\textstyle B$ стержней в системе $\textstyle S'$. Во втором равенстве, c учётом (), стр. \pageref{shape_coord_sys1}, подставлено $\textstyle \mathbf {v} \mathbf {s} '=\gamma (\mathbf {v} \mathbf {s} )$. Вводя вектор 3-мерного ускорения $\textstyle \mathbf {a} =d\mathbf {v} /dt$, окончательно приходим к уравнению: \parbox{7.5cm}{

} \parbox{8cm}{

${\frac {d\mathbf {s} }{dt}}=-\gamma ^{2}\,(\mathbf {v} \mathbf {s} )\,\mathbf {a} .$

(EQN)

}

Так как точки $\textstyle A$ обоих стержней совпадали, в уравнении () производная по времени от $\textstyle \mathbf {s}$ имеет смысл скорости изменения ориентации и длины стержня (изменение положения точки $\textstyle B$ относительно $\textstyle A$). Сама же точка $\textstyle A$ независимо движется с переменной скоростью $\textstyle \mathbf {v} (t)$. Предлагается самостоятельно ($\textstyle \lessdot$ H) восстановить в () константу "$\textstyle c$".

Рассмотрим несколько частных случаев ускоренного движения. Ниже на рисунке представлены различные ориентации стержня, скорости и ускорения. В первых двух случаях поворота стержня не происходит.

Например, если стержень перпендикулярен скорости ($\textstyle \mathbf {v} \mathbf {s} =0$), то при изменении её величины (но не направления) стержень не изменит ни ориентации, ни длины. Так и должно быть. В этом случае все точки стержня одновременно изменяют свою скорость как в системе $\textstyle S$, так и в системе $\textstyle S'$, а поперечные к скорости расстояния неизменны. Поэтому, если в $\textstyle S'$ начинают сдвигать (ускорять) вертикальный стержень в горизонтальном направлении, то он поворачиваться не будет. Аналогично, если в движущейся в горизонтальном направлении системе отсчёта вверх поднимают вертикальный стержень, то он также не должен повернуться (оба его конца имеют совпадающие координаты $\textstyle x$). Однако, если в системе $\textstyle S'$ оба конца горизонтального стержня поднимают вверх, то в системе $\textstyle S$ концы поднимутся неодновременно и возникнет поворот (). Его угол можно ($\textstyle \lessdot$ H) также получить из соображений относительности одновременности.

Полученное уравнение () справедливо только при небольшом ускорении стержня, когда его можно считать жёстким. В этом случае в каждый момент времени со стержнем связывается "мгновенно инерциальная" (сопутствующая) система отсчёта. В рамках такого предположения и получено уравнение (). Рассмотрим равноускоренное движение стержня, когда скорость и ускорение направлены вдоль стержня. Пусть один из концов стержня движется со следующими скоростью и ускорением:

$v={\frac {wt}{\sqrt {1+(wt)^{2}}}},\;\;\;\;\;\;\;\gamma ={\sqrt {1+(wt)^{2}}},\;\;\;\;\;\;\;\;a={\frac {w}{\gamma ^{3}}},$

где $\textstyle w$ — некоторая константа (собственное ускорение). Длина стержня $\textstyle l={\sqrt {\mathbf {s} ^{2}}}$ удовлетворяет уравнению:

${\frac {dl}{dt}}={\frac {\mathbf {s} (d\mathbf {s} /dt)}{l}}=-\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {s} \mathbf {v} )(\mathbf {s} \mathbf {a} )}{l}}=-\gamma ^{2}v(t)a(t)l(t)=-{\frac {w^{2}t}{1+(wt)^{2}}}.$

Интегрируя его с начальным условием $\textstyle l(0)=l_{0}$, получаем:

$l(t)={\frac {l_{0}}{\sqrt {1+(wt)^{2}}}}=l_{0}{\sqrt {1-v^{2}(t)}}.$

(EQN)

Это выражение совпадает с мгновенным лоренцевским сокращением движущегося со скоростью $\textstyle v(t)$ стержня.

Как мы увидим в шестой главе, посвящённой неинерциальным системам отсчёта, физика в ускоренной системе выглядит "хитрее", чем физика в последовательности сопутствующих к ней инерциальных систем. В частности, если ускоренно движущиеся наблюдатели "выдерживают" одинаковое расстояние друг между другом, время у них будет идти по-разному. Стержень, связанный с такой системой, относительно неподвижных наблюдателей изменяет свою длину следующим образом:

$l(t)={\frac {{\sqrt {\gamma ^{2}+2wl_{0}+(wl_{0})^{2}}}-\gamma }{w}}\approx {\frac {l_{0}}{\gamma }}\,{\Bigl (}1+{\frac {v^{2}}{2}}\,wl_{0}+...{\Bigr )},$

где приближенное равенство записано для малых $\textstyle w$. Видно, что это соотношение стремится к мгновенному лоренцевскому сжатию () только при $\textstyle v^{2}wl_{0}=v^{2}\gamma ^{3}al_{0}\ll 1$. Это приближение будет справедливым при относительно небольшом ускорении (точнее, при $\textstyle a\ll a_{0}=c^{4}/(v^{2}\gamma ^{3}l_{0})$, где восстановлена скорость света $\textstyle c$). Именно эта комбинация длины стержня, скорости и ускорения должна быть мала, чтобы можно было не учитывать "эффекты неинерциальности" и пользоваться уравнением (). Впрочем, для метрового стержня, движущегося со скоростью $\textstyle v=0.8\,c$, имеем достаточно большое значение Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle a_0=3\cdot10^{16}\;м/с^2} .

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим теперь движение начала системы отсчёта $\textstyle S'$ по окружности радиуса $\textstyle R$ с постоянной по модулю скоростью $\textstyle v$. При периоде обращения $\textstyle T$ скорость равна $\textstyle v=2\pi R/T=\omega R$, где $\textstyle \omega$ — круговая частота. Модуль ускорения равен $\textstyle a=v^{2}/R=\omega v$.

Вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости $\textstyle \mathbf {a} \mathbf {v} =0$. Если $\textstyle \mathbf {n}$ — постоянный единичный вектор, нормальный к плоскости орбиты, то справедливы следующие соотношения:

$\mathbf {a} =\omega \,[\mathbf {n} \times \mathbf {v} ],\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {d\mathbf {a} }{dt}}=\omega \,[\mathbf {n} \times \mathbf {a} ]=-\omega ^{2}\,\mathbf {v} .$

(EQN)

Запишем уравнение () и умножим его на $\textstyle \mathbf {v}$:

${\frac {d\mathbf {s} }{dt}}=-\gamma ^{2}\,(\mathbf {v} \mathbf {s} )\,\mathbf {a} \;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {d(\mathbf {v} \mathbf {s} )}{dt}}=\mathbf {a} \mathbf {s} .$

(EQN)

Дифференцируя это уравнение по времени:

${\frac {d^{2}(\mathbf {v} \mathbf {s} )}{dt^{2}}}=\mathbf {a} {\frac {d\mathbf {s} }{dt}}+\mathbf {s} {\frac {d\mathbf {a} }{dt}}=-(\gamma ^{2}a^{2}+\omega ^{2})\,(\mathbf {v} \mathbf {s} )$

и подставляя $\textstyle a=\omega v$, получаем осцилляторное уравнение:

${\frac {d^{2}(\mathbf {v} \mathbf {s} )}{dt^{2}}}+\omega ^{2}\gamma ^{2}\,(\mathbf {v} \mathbf {s} )=0$

со следующим решением:

$\mathbf {v} \mathbf {s} =(\mathbf {v} \mathbf {s} )_{0}\,\cos(\omega \gamma t)+{\frac {(\mathbf {a} \mathbf {s} )_{0}}{\omega \gamma }}\,\sin(\omega \gamma t),$

(EQN)

где нулевой индекс помечает начальное значение скалярного произведения в момент времени $\textstyle t=0$, а значение $\textstyle d(\mathbf {v} \mathbf {s} )/dt$ при $\textstyle t=0$ записано при помощи уравнения ().

Умножая теперь () на ускорение $\textstyle \mathbf {a}$ и учитывая (), получаем:

${\frac {d(\mathbf {a} \mathbf {s} )}{dt}}=\mathbf {s} {\frac {d\mathbf {a} }{dt}}-\gamma ^{2}a^{2}\,(\mathbf {v} \mathbf {s} )=-\omega ^{2}\gamma ^{2}(\mathbf {v} \mathbf {s} ).$

Правая часть известна (), поэтому уравнение легко интегрируется:

$\mathbf {a} \mathbf {s} =(\mathbf {a} \mathbf {s} )_{0}\,\cos(\omega \gamma t)-(\mathbf {v} \mathbf {s} )_{0}\,\omega \gamma \,\sin(\omega \gamma t).$

(EQN)

Таким образом, относительно подвижного базиса, построенного на векторах $\textstyle \mathbf {v}$, $\textstyle \mathbf {a}$, конец стержня вращается с угловой скоростью $\textstyle \omega \gamma$.

Найдём зависимость координат конца стержня $\textstyle \mathbf {s} =\{s_{x},s_{y}\}$ относительно его начала в неподвижной системе отсчёта. Пусть стержень движется по окружности против часовой стрелки $\textstyle \mathbf {r} (t)=R\{\cos(\omega t),\;\sin(\omega t)\}$. Тогда компоненты скорости и ускорения равны:

$\mathbf {v} =R\omega \,\{-\sin(\omega t),\;\cos(\omega t)\},\;\;\;\;\;\;\mathbf {a} =-R\omega ^{2}\,\{\cos(\omega t),\;\sin(\omega t)\}.$

В момент времени $\textstyle t=0$ имеем $\textstyle \mathbf {v} =R\omega \,\{0,1\}$, $\textstyle \mathbf {a} =-R\omega ^{2}\,\{1,0\}$, поэтому $\textstyle (\mathbf {v} \mathbf {s} )_{0}=R\omega s_{y0}$, $\textstyle (\mathbf {a} \mathbf {s} )_{0}=-R\omega ^{2}s_{x0}$ и решения (), () приводят к системе:

$\left\{{\begin{array}{l}s_{x}\cos(\omega t)+s_{y}\sin(\omega t)=s_{x0}\cos(\omega \gamma t)+\;\;s_{y0}\,\gamma \;\sin(\omega \gamma t)\\-s_{x}\sin(\omega t)+s_{y}\cos(\omega t)=s_{y0}\cos(\omega \gamma t)-(s_{x0}/\gamma )\sin(\omega \gamma t).\\\end{array}}\right.$

Из этого решения следует, что длина стержня восстанавливается в моменты времени $\textstyle \omega t=\pi k/\gamma$, где $\textstyle k=1,2,....$ ($\textstyle \lessdot$ H). Если $\textstyle \gamma$ — рациональное число, то конец стержня будет описывать правильный $\textstyle n$-угольник. При этом $\textstyle (\gamma -1)/\gamma$ равно несократимой дроби $\textstyle 2k/n$. При малых скоростях после каждого оборота по окружности стержень поворачивается на малый угол $\textstyle \pi v^{2}$ \cite{Stepsnov_Thomas}.

Ниже изображены траектории конца стержня относительно его начала при различной скорости движения по окружности и начальной ориентации. В собственной системе отсчёта стержень имеет единичную длину. Левая картинка соответствует одному обороту по окружности, и 24 точки идут с равным шагом по времени. Правая картинка — это результат 10 оборотов по окружности. Движение начала стержня начинается из положения часовой стрелки на 3 часа. Вращение стержня всегда происходит в противоположную сторону от направления вращения по окружности. \includegraphics{pic/thomas_cicle.eps}

---

Ускоренное движение <<	Оглавление (Глава 2)	>> Четырёхмерное пространство-время

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии