Произвольно движущийся заряд

Немного комплексных чисел <<	Оглавление (Глава 5)	>> Ковариантная электродинамика

---

Пусть заряд движется с переменной скоростью $\textstyle \mathbf {v} =\mathbf {v} (t)$. Найдём электромагнитное поле, создаваемое зарядом в момент времени $\textstyle t$ в точке пространства $\textstyle \mathbf {x} =\{x,y,z\}$. Рассмотрим момент времени $\textstyle T=t-R$ в прошлом, когда заряд находился на расстоянии $\textstyle R$ от точки наблюдения и имел скорость $\textstyle \mathbf {V} =\mathbf {v} (T)$. Выделенность этого момента состоит в том, что информация об изменении скорости заряда, распространяясь с фундаментальной единичной скоростью, к текущему моменту времени как раз проходит расстояние $\textstyle R=t-T$. Все величины, относящиеся к прошлому, будем обозначать заглавными буквами. Так, $\textstyle \mathbf {N} =\mathbf {R} /R$ — единичный вектор от заряда в точку наблюдения в момент времени $\textstyle T$.

Из решения уравнений для потенциалов (), () следует, что их значения в момент времени $\textstyle t$ определяются положением заряда и его скоростью в момент времени $\textstyle T$ и не зависят от ускорения заряда. Поэтому заряд, движущийся с переменной скоростью $\textstyle \mathbf {v} (t)$ в момент времени $\textstyle t$, неотличим от совпадающего с ним в прошлом (время $\textstyle T$) заряда, движущегося далее равномерно и прямолинейно со скоростью $\textstyle \mathbf {V} =\mathbf {v} (T)$. Такое движение будем называть "фантомным". Ниже на рисунке оно представлено в виде пунктирной прямой линии. Сам заряд движется по, вообще говоря, искривлённой траектории с переменной скоростью. Однако, так как от ускорения заряда в момент времени $\textstyle T$ потенциалы не зависят, удобно считать, что в этот момент от заряда "отрывается" его двойник-фантом, который движется равномерно и прямолинейно, проходя за время $\textstyle R=t-T$ расстояние $\textstyle \mathbf {V} R$. Основные соотношения, следующие из геометрии введенных величин, приведены справа от рисунка:

\begin{flushright} \parbox{6.5cm}{

} \parbox{9cm}{

$t=T+{\sqrt {(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(T))^{2}}},$

(EQN)

$\mathbf {r} =\mathbf {R} -\mathbf {V} R,\;\;\;\;\;$

${\sqrt {r^{2}+\gamma ^{2}(\mathbf {V} \mathbf {r} )^{2}}}=\gamma \,(R-\mathbf {V} \mathbf {R} ),$

(EQN)

} \end{flushright} где $\textstyle \mathbf {n} =\mathbf {r} /r$. Последняя формула проверяется возведением в квадрат и подстановкой $\textstyle \mathbf {R} -\mathbf {V} R$ вместо $\textstyle \mathbf {r}$.

Заметим, что $\textstyle T=T(\mathbf {x} ,t)$ является функцией текущего времени и точки наблюдения. Её вид определяется траекторией $\textstyle \mathbf {x} _{0}(t)$ заряда и получается из решения уравнения (). При этом $\textstyle R=R(\mathbf {x} ,t)=t-T(\mathbf {x} ,t)$.

Свяжем с фантомным зарядом в момент времени $\textstyle t$ инерциальную систему отсчёта $\textstyle S'$. Так как в ней он покоится, для потенциалов поля справедливы кулоновские выражения:

$\varphi '={\frac {Q}{r'}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {A} '=0.$

Подставим их в обратные преобразования Лоренца для потенциалов [(), стр.\pageref{transf_poten}] переставим местами штрихованные и нештрихованные величины и сделаем замену $\textstyle \mathbf {v} \mapsto -\mathbf {v}$]:

$\varphi =\gamma \,{\frac {Q}{r'}}={\frac {Q\,\gamma }{\sqrt {r^{2}+\gamma ^{2}(\mathbf {V} \mathbf {r} )^{2}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {A} =\gamma \mathbf {V} \varphi '=\mathbf {V} \varphi ,$

(EQN)

где для расстояния от фантомного заряда в момент времени $\textstyle t=0$ до точки наблюдения использовано преобразование для модуля радиус-вектора (см. стр. \pageref{force_transf_electro}). При помощи () потенциалы можно также переписать следующим образом:

$\varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {Q}{R-\mathbf {V} \mathbf {R} }},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {Q\,\mathbf {V} }{R-\mathbf {V} \mathbf {R} }}.$

(EQN)

Эти потенциалы для произвольно движущегося заряда называют потенциалами Лиенара-Вихерта. В качестве полезного упражнения по работе с дельта-функцией стоит вывести эти же соотношения непосредственно из общего решения (), (). Например, для плотности заряда необходимо записать выражение $\textstyle \rho (\mathbf {x} ,t)=Q\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(t))$.

Отметим один любопытный момент. Уравнения Максвелла были получены для системы равномерно движущихся зарядов. Затем постулировалось, что они справедливы и для ускоренного движения зарядов. Хотя уравнения Максвелла явно не зависят от ускорений, это не означает, что от ускорений не зависят напряжённости поля. Дело в том, что уравнения Максвелла в исходной записи являются системой дифференциальных уравнений первого порядка. Из этой системы можно исключить, например, магнитное поле, получив для электрического поля уравнение второго порядка:

${\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\Delta \mathbf {E} =-4\pi \,{\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}-4\pi \,\nabla \rho .$

Оно имеет форму уравнения Д'Аламбера, однако источники, стоящие в правой части, содержат производную по времени от тока. Именно это и приводит к тому, что напряжённости окажутся зависящими от ускорения заряда (в то время как потенциалы - нет).

$\textstyle \bullet$ Найдём напряженности электрического и магнитного полей

$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .$

Производные потенциалов берутся по координатам фиксированной точки пространства $\textstyle \mathbf {x} =\{x,y,z\}$ и по текущему моменту времени $\textstyle t$, а выражения для потенциалов () зависят (в правых частях) от величин в момент времени $\textstyle T$. Поэтому потребуются определённые математические хитрости. Возьмём дифференциал от условия запаздывания: $\textstyle t=T+R=T+{\sqrt {(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(T))^{2}}}.$

$dt=dT+{\frac {\mathbf {R} \,d\mathbf {x} -\mathbf {V} \mathbf {R} \,dT}{R}}\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;dT={\frac {Rdt}{R-\mathbf {V} \mathbf {R} }}-{\frac {\mathbf {R} d\mathbf {x} }{R-\mathbf {V} \mathbf {R} }},$

где $\textstyle \mathbf {V} =d\mathbf {x} _{0}(T)/dT$ — скорость в момент времени $\textstyle T$, а $\textstyle \mathbf {R} =\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(T)$. По определению дифференциала функции $\textstyle T=T(t,\mathbf {x} )$ имеем:

${\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {R}{R-\mathbf {V} \mathbf {R} }},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {x} }}=-{\frac {\mathbf {R} }{R-\mathbf {V} \mathbf {R} }}.$

Потенциалы зависят от $\textstyle \mathbf {x}$ явно и неявно через $\textstyle T=T(t,\mathbf {x} )$. Например, скалярный потенциал () имеет вид:

$\varphi ={\frac {Q}{{\sqrt {\{\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(T)\}^{2}}}-\mathbf {V} \,\{\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(T)\}}}.$

Поэтому градиент и производная по $\textstyle t$ равны:

$\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {x} }}+{\frac {\partial \varphi }{\partial T}}\,{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {x} }},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial T}}\,{\frac {\partial T}{\partial t}}.$

Для получения ротора векторного потенциала

$\nabla \times \mathbf {A} =\nabla \times (\mathbf {V} \varphi )=\varphi \,\nabla \times \mathbf {V} -\mathbf {V} \times \nabla \phi$

необходимо найти также ротор от скорости

$\nabla \times \mathbf {V} ={\frac {\partial T}{\partial \mathbf {x} }}{\frac {\partial }{\partial T}}\times \mathbf {V} =-{\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {W} }{R-\mathbf {V} \mathbf {R} }},$

где $\textstyle \mathbf {W} =d\mathbf {V} /dT$ — ускорение частицы в момент времени $\textstyle T$. Вычисляя все производные и проводя несложные алгебраические преобразования ($\textstyle \lessdot$ H), получим:

$\mathbf {E} ={\frac {Q}{R^{2}}}\,{\frac {(1-V^{2})(\mathbf {N} -\mathbf {V} )}{(1-\mathbf {V} \mathbf {N} )^{3}}}+{\frac {Q}{R}}\,{\frac {\mathbf {N} \times [(\mathbf {N} -\mathbf {V} )\times \mathbf {W} ]}{(1-\mathbf {V} \mathbf {N} )^{3}}},$

(EQN)

$\mathbf {B} =\mathbf {N} \times \mathbf {E} ,$

(EQN)

где $\textstyle \mathbf {N} =\mathbf {R} /R$. Магнитное поле оказывается перпендикулярным электрическому и радиус-вектору $\textstyle \mathbf {R}$ от заряда в момент времени $\textstyle T=T(\mathbf {x} ,t)$.

При помощи радиус-вектора $\textstyle \mathbf {r}$ от фантомного заряда к точке наблюдения электрическое поле можно записать в следующем виде:

$\mathbf {E} =Q\,{\frac {\gamma \mathbf {r} }{(r^{2}+\gamma ^{2}(\mathbf {V} \mathbf {r} )^{2})^{3/2}}}+Q\,{\frac {\gamma ^{3}[\mathbf {R} \times [\mathbf {r} \times \mathbf {W} ]]}{(r^{2}+\gamma ^{2}(\mathbf {V} \mathbf {r} )^{2})^{3/2}}}.$

Первое слагаемое является напряжённостью электрического поля равномерно движущегося со скоростью $\textstyle \mathbf {V}$ фантомного заряда. Если бы заряд не менял свою скорость, он совпадал бы с этим фантомом.

Напряжённость электрического поля можно также переписать в следующем изящном виде, найденном Ричардом Фейнманом ($\textstyle \lessdot$ H):

$\mathbf {E} =Q\,{\frac {\mathbf {N} }{R^{2}}}+QR{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {N} }{R^{2}}}\right)+Q{\frac {d^{2}\mathbf {N} }{dt^{2}}}.$

Обратим внимание, что все производные вычисляются по текущему времени $\textstyle t=T+R(T)$, а не по $\textstyle T$, к которому относятся величины $\textstyle R$ и $\textstyle \mathbf {N}$.

Если скорость заряда мала, то напряжённость электрического поля можно приближённо записать следующим образом:

$\mathbf {E} \approx {\frac {Q}{R^{2}}}\,\mathbf {N} \;+\;{\frac {Q}{R}}\;[\mathbf {N} \times [\mathbf {N} \times \mathbf {W} ]].$

Второе слагаемое убывает, как $\textstyle 1/R$. Первый же ("кулоновский") член убывает, как $\textstyle 1/R^{2}$, т.е. существенно быстрее. Пренебрегая на больших расстояниях первым слагаемым, найдём импульс электромагнитной волны. Так как второе слагаемое перпендикулярно $\textstyle \mathbf {R}$, т.е. $\textstyle \mathbf {E} \mathbf {R} =0$, имеем:

$\mathbf {P} ={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {B} }{4\pi }}={\frac {\mathbf {E} \times [\mathbf {R} \times {\mathbf {E} }]}{4\pi R}}={\frac {\mathbf {E} ^{2}}{4\pi }}\,\mathbf {N} \approx {\frac {Q}{4\pi }}\,{\frac {\mathbf {W} ^{2}-(\mathbf {W} \mathbf {N} )^{2}}{R^{2}}}\,\mathbf {N} .$

Интенсивность излучения $\textstyle dI$ в направлении телесного угла $\textstyle d\Omega$ определяется, как поток энергии, проходящий в единицу времени через элемент поверхности $\textstyle dS=R^{2}d\Omega$ сферы радиуса $\textstyle R$ (см. стр.\pageref{intens_dipol_rad}).

${\frac {dI}{d\Omega }}=R^{2}\,(\mathbf {N} \mathbf {P} )\approx {\frac {Q^{2}}{4\pi }}\,W^{2}\,\sin ^{2}\theta ,$

где $\textstyle \theta$ — угол между ускорением и направлением в точку наблюдения из запаздывающего положения заряда $\textstyle \mathbf {N}$. Интеграл по всему телесному углу $\textstyle d\Omega =d\phi \,\sin \theta d\theta$ даёт полное излучение заряда (формула Лармора):

$I\approx {\frac {2}{3}}\,Q^{2}\,\mathbf {W} ^{2}.$

Его можно сравнить с излучением в дипольном приближении (стр.\pageref{intens_dipol_rad}). Для одиночного заряда $\textstyle \mathbf {d} (T)=Q\mathbf {x} _{0}(T)$ и, соответственно, $\textstyle {\ddot {\mathbf {d} }}=Q\mathbf {W}$.

$\textstyle \bullet$ Изучим теперь излучение заряда, не считая его скорость маленькой. На больших расстояниях от заряда напряжённости поля равны:

$\mathbf {E} ={\frac {Q}{R}}\,{\frac {\mathbf {N} \times [(\mathbf {N} -\mathbf {V} )\times \mathbf {W} ]}{(1-\mathbf {V} \mathbf {N} )^{3}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {B} =\mathbf {N} \times \mathbf {E} .$

Пусть скорость $\textstyle \mathbf {V}$ и ускорение $\textstyle \mathbf {W}$ параллельны, так что $\textstyle \mathbf {V} \times \mathbf {W} =0$. В этом случае интенсивность излучения равна:

${\frac {dI}{d\Omega }}=R^{2}{\frac {\mathbf {E} ^{2}}{4\pi }}={\frac {Q^{2}W^{2}}{4\pi }}\,{\frac {\sin ^{2}\theta }{(1-V\cos \theta )^{6}}}.$

Для медленного заряда излучение максимально в направлении, перпендикулярном ускорению. Чем ближе скорость заряда к скорости света, тем сильнее максимум излучения смещается в направлении движения (см. ниже первые два рисунка). Похожим свойством обладает движущийся изотропный (в собственной системе отсчёта) источник света в результате аберрации (стр.\pageref{aberr_isotr_source}).

Найдём суммарную интенсивность излучения. Интеграл по $\textstyle \phi$ даст $\textstyle 2\pi$, а для интегрирования по $\textstyle \theta$ сделаем замену $\textstyle z=\cos \theta$:

$I={\frac {Q^{2}W^{2}}{2}}\int \limits _{-1}^{1}{\frac {1-z^{2}}{(1-Vz)^{6}}}\,dz={\frac {2Q^{2}W^{2}}{15}}\,{\frac {5+V^{2}}{(1-V^{2})^{4}}}.$

(EQN)

Интеграл по $\textstyle z$ находится при помощи дифференцирования определённого интеграла по параметру. Эти вычисления несложны, но сравнительно громоздки ($\textstyle \lessdot$ H).

Найдём энергию, теряемую зарядом при излучении за единицу времени. Её величина для движущегося заряда отличается от $\textstyle I$. Действительно, проследим за излучённой в прошлом энергией между моментами времени $\textstyle T$ и $\textstyle T+dT$. Если бы заряд был неподвижен, к текущему моменту эта энергия была бы сконцентрирована между двумя сферами с радиусами $\textstyle R$ и $\textstyle R-dT$ и совпадающими центрами. При движении заряда за время $\textstyle dT$ центр внутренней сферы смещается на $\textstyle \mathbf {V} dT$, а её поверхность прижимается к внешней сфере в направлении движения (3-й рисунок).

В результате толщина зазора между сферами в направлении $\textstyle \mathbf {N}$ уменьшается на $\textstyle \mathbf {N} \mathbf {V} dT$. Если $\textstyle \mathbf {V} =0$, то толщина зазора равна $\textstyle dT$. При $\textstyle \mathbf {V} \neq 0$ она равна $\textstyle dT\,(1-\mathbf {V} \mathbf {N} )$. Соответственно, в $\textstyle (1-\mathbf {V} \mathbf {N} )$ раз изменяется элемент объёма сферического слоя в направлении $\textstyle \mathbf {N}$ (хотя суммарный объём между сферами, конечно, не меняется). Энергия, расположенная между слоями в телесном углу $\textstyle d\Omega$, равна:

$d{\mathcal {E}}={\frac {\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2}}{8\pi }}\,R^{2}d\Omega dT\,(1-\mathbf {V} \mathbf {N} )\;\;\;\;=>\;\;\;\;{\frac {d{\tilde {I}}}{d\Omega }}={\frac {d{\mathcal {E}}}{dTd\Omega }}=R^{2}\,{\frac {\mathbf {E} ^{2}}{4\pi }}\,(1-\mathbf {V} \mathbf {N} ).$

Поэтому интенсивность теряемой энергии $\textstyle {\tilde {I}}$ отличается от $\textstyle I$ множителем $\textstyle 1-\mathbf {V} \mathbf {N}$. Интегрирование по всем телесным углам даёт ($\textstyle \lessdot$ H):

${\tilde {I}}={\frac {Q^{2}W^{2}}{2}}\int \limits _{-1}^{1}{\frac {1-z^{2}}{(1-Vz)^{5}}}\,dz={\frac {2}{3}}\,{\frac {Q^{2}W^{2}}{(1-V^{2})^{3}}}.$

Кроме линейного торможения (например, рентгеновское излучение при ударе электрона об электрод) существует ещё одна важная разновидность излучения. В магнитном поле заряд движется по окружности (или спирали). В этом случае скорость и ускорение перпендикулярны. При малой скорости заряда излучение направлено перпендикулярно плоскости орбиты и называется циклотронным. Если же скорость заряда ультрарелятивистская, то максимум излучения сконцентрирован в направлении текущего (с учётом запаздывания) мгновенного вектора скорости. Подобное излучение (касательное к окружности или спирали) называют синхротронным. Оно возникает в круговых ускорителях частиц (отсюда и происходит название). Его же регулярно наблюдают астрономы в окрестности самых разнообразных космических объектов.

Для произвольной ориентации скорости и ускорения теряемая в единицу времени энергия даётся формулой Льенара (1898 г.):

${\tilde {I}}={\frac {2}{3}}\,Q^{2}\,{\frac {\mathbf {W} ^{2}-[\mathbf {V} \times \mathbf {W} ]^{2}}{(1-V^{2})^{3}}}.$

(EQN)

Вывести её предлагается самостоятельно ($\textstyle \lessdot$ H). Стоит также проверить, что формула Льенара может быть записана в следующем инвариантном виде:

${\tilde {I}}={\frac {2}{3}}\,{\frac {e^{2}}{m^{2}}}\,\left({\frac {d\mathrm {p} }{d\tau }}\right)^{2},$

где $\textstyle \mathrm {p}$ — 4-импульс частицы с компонентами $\textstyle p^{\nu }=\{\mathbb {E} ,\mathbf {p} \}$, а $\textstyle d\tau =dT{\sqrt {1-\mathbf {V} ^{2}}}$ — её собственное время с учётом эффекта запаздывания.

---

Немного комплексных чисел <<	Оглавление (Глава 5)	>> Ковариантная электродинамика

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии