Немного комплексных чисел

Дипольное излучение <<	Оглавление (Глава 5)	>> Произвольно движущийся заряд

---

$\textstyle \bullet$ Работая с напряжённостями электромагнитных волн, удобно использовать комплексные обозначения ($\textstyle \imath ^{2}=-1$). Так как на самом деле напряжённости действительны, в конечном выражении берётся действительная часть. Промежуточные же вычисления проводятся с комплексными величинами. Это часто упрощает выкладки.

Рассмотрим, например, эллиптически поляризованную волну (стр.\pageref{polarization_def}), распространяющуюся вдоль оси $\textstyle z$. Её можно записать в следующем компактном виде:

$\mathbf {E} =(\mathbf {n} _{x}\,a+\imath \,\mathbf {n} _{y}\,b)e^{-\imath (\omega t-kz)},$

(EQN)

где $\textstyle \mathbf {n} _{x}$, $\textstyle \mathbf {n} _{y}$ — единичные ортогональные векторы вдоль декартовых осей, и $\textstyle a$, $\textstyle b$ — константы, определяющие амплитуду волны. Учитывая формулу Эйлера $\textstyle e^{\imath \phi }=\cos \phi +\imath \sin \phi$, действительную часть этого выражения можно переписать следующим образом:

${\mathfrak {Re}}\,(\mathbf {E} )=\mathbf {n} _{x}\,a\cos(\omega t-kz)+\mathbf {n} _{y}\,b\sin(\omega t-kz).$

Это и есть действительная напряжённость электрического поля волны с эллиптической поляризацией.

Мнимая единица в эйлеровском представлении равна $\textstyle \imath =e^{\imath \pi /2}$. Поэтому умножение напряжённости поля в комплексной записи () на $\textstyle \imath$ приводит к сдвигу фазы волны на $\textstyle \pi /2$. В частности, эллиптически поляризованную волну можно рассматривать, как суперпозицию (сумму) двух линейно поляризованных волн в перпендикулярных направлениях. При этом одна из этих волн должна быть сдвинута по фазе на $\textstyle \pi /2$.

Рассмотрим в комплексных обозначениях эффект модуляции, когда происходит сложение двух волн с одинаковыми амплитудами и близкими частотами $\textstyle \omega _{1}$ и $\textstyle \omega _{2}$. Определим среднюю частоту $\textstyle \omega _{a}=(\omega _{1}+\omega _{2})/2$ и т.н. частоту модуляции $\textstyle \omega _{m}=(\omega _{2}-\omega _{1})/2$. Опуская для компактности зависимость от $\textstyle z$, запишем суперпозицию (сложение) волн:

$ae^{-\imath \omega _{1}t}+ae^{-\imath \omega _{2}t}=ae^{-\imath (\omega _{a}-\omega _{m})t}+ae^{-\imath (\omega _{a}+\omega _{m})t}=a\,\left(e^{\imath \omega _{m}t}+e^{-\imath \omega _{m}t}\right)\,e^{-\imath \omega _{a}t}.$

Выражение в круглых скобках, в силу теоремы Эйлера, равно удвоенному косинусу. Поэтому результат суперпозиции имеет вид:

$2a\cos(\omega _{m}t)\,e^{-\imath \omega _{a}t}.$

Если исходные частоты близки $\textstyle (\omega _{1}\approx \omega _{2})$, то средняя частота $\textstyle \omega _{a}$ будет существенно больше частоты модулирования $\textstyle \omega _{m}$. Поэтому результирующее колебание выглядит, как волна с частотой $\textstyle \omega _{a}$ и медленно изменяющейся амплитудой $\textstyle 2a\cos(\omega _{m}t)$. Именно эти колебания амплитуды называются модуляцией.

$\textstyle \bullet$ Часто интерес представляет усреднение во времени некоторых выражений за период $\textstyle T=2\pi /\omega$ колебания волны. Среднее значение от произвольной функции $\textstyle f(t)$ вычисляется по следующей формуле:

${\overline {f}}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}f(t)\,dt.$

Среднее значение от напряжённости плоской волны с любой поляризацией равно нулю. Действительно, т.к. $\textstyle e^{\pm 2\pi \imath }=1$, имеем:

${\overline {e^{-\imath \omega t}}}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}e^{-\imath \omega t}dt=-{\frac {1}{\imath \omega T}}\,e^{-\imath \omega t}{\Bigr |}_{0}^{2\pi /\omega }=0.$

Однако среднее значение от произведения (скалярного или векторного) напряжённостей может быть отлично от нуля. Пусть $\textstyle \mathbf {A} =\mathbf {A} _{0}\,e^{-\imath \omega t}$ и $\textstyle \mathbf {B} =\mathbf {B} _{0}\,e^{-\imath \omega t}$, где $\textstyle \mathbf {A} _{0}$ и $\textstyle \mathbf {B} _{0}$ — комплексные величины, не зависящие от времени. Тогда для средних справедливо следующее соотношение:

${\overline {{\mathfrak {Re}}(\mathbf {A} )\,{\mathfrak {Re}}(\mathbf {B} )}}={\frac {1}{2}}\,{\mathfrak {Re}}\,(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{*})={\frac {1}{2}}\,{\mathfrak {Re}}\,(\mathbf {A} ^{*}\mathbf {B} ).$

Действительно:

${\mathfrak {Re}}(\mathbf {A} )\,{\mathfrak {Re}}(\mathbf {B} )={\frac {\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{*}}{2}}\,{\frac {\mathbf {B} +\mathbf {B} ^{*}}{2}}={\frac {1}{4}}\,(\mathbf {A} _{0}e^{-\imath \omega t}+\mathbf {A} _{0}^{*}e^{\imath \omega t})\,(\mathbf {B} _{0}e^{-\imath \omega t}+\mathbf {B} _{0}^{*}e^{\imath \omega t}).$

Перемножая скобки и проводя усреднение (отбросив равные нулю средние от $\textstyle e^{\pm 2\imath \omega t}$), получаем:

${\overline {{\mathfrak {Re}}(\mathbf {A} )\,{\mathfrak {Re}}(\mathbf {B} )}}={\frac {1}{4}}\,(\mathbf {A} _{0}\mathbf {B} _{0}^{*}+\mathbf {A} _{0}^{*}\mathbf {B} _{0})={\frac {1}{2}}\,{\mathfrak {Re}}(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{*}),$

где в последнем равенстве учтено, что при разложении комплексного числа на действительную и мнимую части (ниже индексы 1 и 2) имеем:

${\mathfrak {Re}}(\mathbf {A} \,\mathbf {B} ^{*})={\mathfrak {Re}}{\bigl (}(\mathbf {A} _{1}+\imath \mathbf {A} _{2})(\mathbf {B} _{1}-\imath \mathbf {B} _{2}){\bigr )}=\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} _{1}+\mathbf {A} _{2}\mathbf {B} _{2}={\mathfrak {Re}}(\mathbf {A} ^{*}\,\mathbf {B} ).$

Аналогично расписывается $\textstyle \mathbf {A} _{0}\mathbf {B} _{0}^{*}+\mathbf {A} _{0}^{*}\mathbf {B} _{0}$ для $\textstyle \mathbf {A} =\mathbf {A} _{0_{1}}+\imath \mathbf {A} _{0_{2}}$ и для $\textstyle \mathbf {B}$.

Найдём, например, среднее от квадрата напряжённости электрического поля эллиптически поляризованной волны:

${\overline {\mathbf {E} ^{2}}}={\frac {1}{2}}\,{\mathfrak {Re}}(\mathbf {E} \mathbf {E} ^{*})={\frac {1}{2}}\,(\mathbf {n} _{x}\,a+\imath \,\mathbf {n} _{y}\,b)(\mathbf {n} _{x}\,a-\imath \,\mathbf {n} _{y}\,b)={\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}.$

Естественно, это же значение можно получить и прямым усреднением выражения $\textstyle E_{x}^{2}+E_{y}^{2}=a^{2}\cos ^{2}(\omega t-kz)+b^{2}\sin ^{2}(\omega t-kz)$, записанного в действительных обозначениях.

$\textstyle \bullet$ Для построения общего решения волнового уравнения удобно использовать фурье-преобразование. Любую функцию координат можно представить в виде интеграла:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\int \mathbf {E} (\mathbf {k} ,t)\,e^{\imath \mathbf {k} \mathbf {r} }\,d^{3}\mathbf {k} ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {E} (\mathbf {k} ,t)=\int \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\,e^{-\imath \mathbf {k} \mathbf {r} }\,{\frac {d^{3}\mathbf {r} }{(2\pi )^{3}}},$

где записаны прямое и обратное фурье-преобразования. Хотя мы обозначаем $\textstyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)$ и $\textstyle \mathbf {E} (\mathbf {k} ,t)$ одинаковыми буквами, это, естественно, различные функции, которые мы будем отличать переменной в аргументе. Подынтегральная функция $\textstyle \mathbf {E} (\mathbf {k} ,t)$ является комплексной. Чтобы напряжённость электрического поля $\textstyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)$ была действительной, необходимо, чтобы при её комплексном сопряжении менялся знак при векторе $\textstyle \mathbf {k}$ в аргументе ($\textstyle \lessdot$ H):

$\mathbf {E} ^{*}(\mathbf {k} ,t)=\mathbf {E} (-\mathbf {k} ,t).$

(EQN)

Подставим фурье-разложение в волновое уравнение (), стр.\pageref{wave_equation}:

${\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\Delta \mathbf {E} =0.$

Под интегралом лапласиан действует только на $\textstyle e^{\imath \mathbf {k} \mathbf {r} }$ и даёт множитель $\textstyle (\imath \mathbf {k} )^{2}=-\mathbf {k} ^{2}$. В результате волновое уравнение выполняется тождественно, если справедливо ($\textstyle \lessdot$ H) следующее уравнение для фурье-образа напряжённости поля:

${\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} (\mathbf {k} ,t)}{\partial t^{2}}}+\omega ^{2}\mathbf {E} (\mathbf {k} ,t)=0,$

где $\textstyle \omega ^{2}=\mathbf {k} ^{2}$. Это уравнение для гармонического осциллятора со следующим решением: $\textstyle \mathbf {E} (\mathbf {k} ,t)=\mathbf {E} _{1}(\mathbf {k} )\,e^{-\imath \omega t}+\mathbf {E} _{2}(\mathbf {k} )\,e^{\imath \omega t}.$ Поэтому:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\int \left[\mathbf {E} _{1}(\mathbf {k} )\,e^{\imath (\mathbf {k} \mathbf {r} -\omega t)}+\mathbf {E} _{2}(\mathbf {k} )\,e^{\imath (\mathbf {k} \mathbf {r} +\omega t)}\right]\,d^{3}\mathbf {k} .$

Разобьём интеграл на два и во втором сделаем замену $\textstyle \mathbf {k} \mapsto -\mathbf {k}$ ($\textstyle \lessdot$ H). В результате получим общее решение волнового уравнения:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\int \left[\mathbf {E} (\mathbf {k} )\,e^{\imath (\mathbf {k} \mathbf {r} -\omega t)}+\mathbf {E} ^{*}(\mathbf {k} )\,e^{-\imath (\mathbf {k} \mathbf {r} -\omega t)}\right]\,d^{3}\mathbf {k} ,$

(EQN)

которое явным образом действительно, хотя и зависит от комплексной функции $\textstyle \mathbf {E} (\mathbf {k} )$. Она связана с "константами" решения уравнения осциллятора следующим образом: $\textstyle \mathbf {E} (\mathbf {k} )=\mathbf {E} _{1}(\mathbf {k} )$, $\textstyle \mathbf {E} ^{*}(\mathbf {k} )=\mathbf {E} _{2}(-\mathbf {k} )$, т.е. условие действительности электрического поля $\textstyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)$ приводит к тому, что решение определяется одной комплексной функцией $\textstyle \mathbf {E} (\mathbf {k} )$. Различный её выбор будет приводить к различным вариантам решения волнового уравнения.

Чтобы полностью определить решение, необходимо задать начальное значение поля и значение его производной по времени, например, в момент времени $\textstyle t=0$:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,0)=\int \left[\mathbf {E} (\mathbf {k} )\,e^{\imath \mathbf {k} \mathbf {r} }+\mathbf {E} ^{*}(\mathbf {k} )\,e^{-\imath \mathbf {k} \mathbf {r} }\right]\,d^{3}\mathbf {k} ,\;$

${\frac {\partial \mathbf {E} (\mathbf {r} ,0)}{\partial t}}=\int \left[\mathbf {E} (\mathbf {k} )\,e^{\imath \mathbf {k} \mathbf {r} }-\mathbf {E} ^{*}(\mathbf {k} )\,e^{-\imath \mathbf {k} \mathbf {r} }\right]\,{\frac {\omega }{\imath }}\,d^{3}\mathbf {k} .$

Если поле и его производная заданы, то можно при помощи обратного фурье-интегрирования найти действительную и мнимую части функции $\textstyle \mathbf {E} (\mathbf {k} )$. Подставив их в общее решение (), мы получим зависимость электрического поля от времени.

Абсолютно аналогично проводятся вычисления для магнитного поля:

$\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\int \left[\mathbf {B} (\mathbf {k} )\,e^{\imath (\mathbf {k} \mathbf {r} -\omega t)}+\mathbf {B} ^{*}(\mathbf {k} )\,e^{-\imath (\mathbf {k} \mathbf {r} -\omega t)}\right]\,d^{3}\mathbf {k} .$

(EQN)

Необходимо помнить, что, решая волновое уравнение, мы "теряем связь" между электрическим и магнитным полем. Чтобы её найти, подставим общие решения (),() в исходные уравнения Максвелла в вакууме для роторов (стр.\pageref{wave_equation}). В результате появляется следующая связь между фурье-образами напряжённостей поля:

$\omega \,\mathbf {B} (\mathbf {k} )=\mathbf {k} \times \mathbf {E} (\mathbf {k} ),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\omega \,\mathbf {E} (\mathbf {k} )=-\mathbf {k} \times \mathbf {B} (\mathbf {k} ).$

(EQN)

Поэтому функции $\textstyle \mathbf {E} (\mathbf {k} )$ и $\textstyle \mathbf {B} (\mathbf {k} )$ должны быть перпендикулярны друг другу и вектору $\textstyle \mathbf {k}$. Напомним также, что $\textstyle \omega =|\mathbf {k} |$.

Решения (), () имеют смысл суммы плоских монохроматических волн с различной частотой $\textstyle \omega$ и волновым вектором $\textstyle \mathbf {k}$. Коэффициенты при этих волнах $\textstyle \mathbf {E} (\mathbf {k} )$ и $\textstyle \mathbf {B} (\mathbf {k} )$ являются их амплитудами. Для каждого волнового вектора должны выполняться условия ортогональности ().

При помощи формулы Эйлера $\textstyle e^{\imath \phi }=\cos \phi +\imath \sin \phi$ и разложения амплитуд на действительную и мнимую части $\textstyle \mathbf {E} (\mathbf {k} )=\mathbf {E} _{R}(\mathbf {k} )+\imath \mathbf {E} _{I}(\mathbf {k} )$ решение можно переписать через косинусы и синусы:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=2\int \left[\,\mathbf {E} _{R}(\mathbf {k} )\cos(\omega t-\mathbf {k} \mathbf {r} )+\mathbf {E} _{I}(\mathbf {k} )\sin(\omega t-\mathbf {k} \mathbf {r} )\,\right]\,d^{3}\mathbf {k} .$

Выражение для плоской волны получается, если функция $\textstyle \mathbf {E} (\mathbf {k} )$ пропорциональна дельта-функции Дирака. Например, при распространении вдоль оси $\textstyle z$ можно выбрать $\textstyle \mathbf {E} (k_{x},k_{y},k_{z})=\mathbf {E} _{0}\delta (k_{x})\delta (k_{y})\delta (k_{z}-k)$.

$\textstyle \bullet$ В качестве примера работы с комплексными обозначениями рассмотрим напряжённость ограниченной электромагнитной волны (световой пучок), распространяющейся вдоль оси $\textstyle z$. Пусть в плоскости $\textstyle x,y$ амплитуда напряженностей поля примерно постоянна в окрестности оси $\textstyle z$, а при удалении от неё постепенно уменьшается, падая на больших радиальных расстояниях до нуля. Приближенное выражение для напряжённостей подобной волны может быть записано следующим образом \cite{Jackson_1965}:

$\mathbf {E} ={\bigl \{}(\mathbf {n} _{x}\pm \imath \mathbf {n} _{y})F+{\frac {\mathbf {n} _{z}}{k}}(\imath \partial _{x}F\mp \partial _{y}F){\bigr \}}e^{\imath (kz-\omega t)},\;\;\;\;\;\;\mathbf {B} =\mp \imath \mathbf {E} ,$

(EQN)

где функция $\textstyle F=F(x,y)$ задаёт профиль амплитуды волны в плоскости $\textstyle x,y$, $\textstyle \partial _{x}F=\partial F/\partial x$ и $\textstyle \mathbf {n} _{x}$,$\textstyle \mathbf {n} _{y}$,$\textstyle \mathbf {n} _{z}$ — единичные ортогональные базисные векторы. Два знака ($\textstyle \pm$) в () соответствуют правой и левой круговой поляризации. Если $\textstyle F=const$, получается ().

Несложно проверить, что $\textstyle \nabla \mathbf {E} =0$ и $\textstyle \nabla \mathbf {B} =0$. Уравнения для роторов выполняются, если считать, что вторые производные от функции $\textstyle F$ много меньше первых производных и самой функции $\textstyle F$ (плавное изменение амплитуды). Для простоты положим, что $\textstyle F=F(\rho )$, где $\textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ — расстояние от оси $\textstyle z$. Гладкость функции $\textstyle F(\rho )$ означает:

${\frac {F''}{k^{2}}}\ll {\frac {F'}{k}}\ll F.$

(EQN)

Запишем среднее значение плотности энергии:

$W={\frac {1}{2}}{\frac {\mathbf {E} \mathbf {E} ^{*}+\mathbf {B} \mathbf {B} ^{*}}{8\pi }}={\frac {F^{2}(\rho )}{4\pi }}+{\frac {F'^{2}(\rho )}{8\pi k^{2}}}\approx {\frac {F^{2}(\rho )}{4\pi }},$

где в приближенном равенстве учтено условие малости (). Это означает, что в выражении $\textstyle F^{2}+F'^{2}/k^{2}=F^{2}\,(1+(F'/kF)^{2})\approx F^{2}$ мы пренебрегаем вторым порядком малости по $\textstyle F'/kF$ (аналогично пренебрежению вторыми производными). Плотность импульса ограниченной плоской волны равна:

$\mathbf {P} ={\frac {1}{2}}{\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {B} ^{*}}{4\pi }}={\frac {F^{2}(\rho )}{4\pi }}\,\mathbf {n} _{z}\pm {\frac {F(\rho )F'(\rho )}{4\pi k\rho }}\,(y\mathbf {n} _{x}-x\mathbf {n} _{y}),$

где также проведено усреднение по времени. При интегрировании по объёму цилиндра плотности импульса последнее слагаемое равно нулю, а первое даёт суммарный импульс:

$\int \mathbf {P} \,dV={\frac {\mathbf {n} _{z}}{4\pi }}\int \limits _{0}^{R}\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{L}F^{2}(\rho )\,\rho d\rho \,d\phi \,dz={\frac {\mathbf {n} _{z}\,L}{2}}\int \limits _{0}^{R}F^{2}(\rho )\,\rho d\rho =\mathbf {n} _{z}\int WdV,$

где $\textstyle L$ — длина цилиндра по оси $\textstyle z$, а $\textstyle R$ — радиус основания цилиндра.

Найдём теперь плотность момента импульса (стр. \pageref{conserv_mom_mom_em}):

$\mathbf {r} \times \mathbf {P} ={\frac {F^{2}}{4\pi }}\,(y\mathbf {n} _{x}-x\mathbf {n} _{y})\pm {\frac {FF'}{4\pi k}}\,(z\mathbf {n} _{\rho }-\rho \mathbf {n} _{z}),$

где $\textstyle \mathbf {n} _{\rho }=(x\mathbf {n} _{x}+y\mathbf {n} _{y})/\rho$ — единичный вектор в радиальном к оси $\textstyle z$ направлении. При интегрировании этого выражения по объёму цилиндра равны нулю все слагаемые, за исключением последнего:

$\int [\mathbf {r} \times \mathbf {P} ]\,dV=\mp \mathbf {n} _{z}\,{\frac {L}{2k}}\int \limits _{0}^{R}FF'\,\rho ^{2}d\rho =\mp {\frac {\mathbf {n} _{z}\,L}{2k}}\,{\Bigl \{}{\frac {F^{2}(\rho )\rho ^{2}}{2}}{\Bigr |}_{0}^{R}\;-\;\int \limits _{0}^{R}F^{2}(\rho )\,\rho d\rho {\Bigr \}},$

где выполнено интегрирование по частям. Так как мы рассматриваем ограниченную плоскую волну с конечной энергией на единицу длины $\textstyle L$, то функция $\textstyle F(\rho )$ при больших $\textstyle \rho$ должна убывать по крайней мере, как $\textstyle 1/\rho ^{1+\epsilon }$, $\textstyle \epsilon >0$. Поэтому поверхностный член при интегрировании по частям при больших радиусах цилиндра $\textstyle R$ стремится к нулю. В результате суммарный момент прямо пропорционален энергии волны и обратно пропорционален её частоте:

$\int [\mathbf {r} \times \mathbf {P} ]\,dV=\pm {\frac {\mathbf {n} _{z}}{\omega }}\,\int WdV.$

(EQN)

Подобное соотношение выполняется и в квантовой теории для фотона со спином $\textstyle \pm \mathbf {\hbar }$ и энергией $\textstyle \hbar \omega$.

Таким образом, если пластинка поглощает падающую волну и имеет размер больший, чем характерная ширина светового пучка, то она постоянно получает момент импульса волны (ниже левый рисунок).

Чуть иначе расчёт выглядит, если пластина находится в зоне плоской волны. Чтобы найти момент импульса пластины, необходимо найти момент импульса финального распределения напряжённости в поле волны (правый рисунок выше). Для этого надо окружить пластинку и поле цилиндром достаточно большого радиуса так, чтобы его боковая поверхность находилась в зоне плоской волны с постоянной амплитудой ($\textstyle F=const$). Слева от пластинки интегральный момент импульса равен нулю. Справа он вычисляется аналогично моменту светового пучка, однако при этом падение амплитуды волны происходит не при удалении от оси $\textstyle z$, а при приближении к ней (тень от пластинки). В итоге снова получается ().

---

Дипольное излучение <<	Оглавление (Глава 5)	>> Произвольно движущийся заряд

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии