Метод последовательных приближений

Единственность решений <<	Оглавление	>> Скоррелированные блуждания

---

При разложении средних величин в ряд по $\textstyle t^{n}$ (стр. \pageref{method_priblig}) мы упоминали метод последовательных приближений как один из итерационных способов построения решения. Рассмотрим его теперь подробнее, используя стохастическое интегральное уравнение со сносом и волатильностью, не зависящими от времени:

$x(t)=x_{0}+\int \limits _{0}^{t}a{\bigl (}x(\tau ){\bigr )}\,d\tau +\int \limits _{0}^{t}b{\bigl (}x(\tau ){\bigr )}\,\delta W_{\tau }.$

Идея метода состоит в выборе некоторого нулевого приближения случайной функции $\textstyle x_{0}(t)$, удовлетворяющего начальному условию $\textstyle x_{0}(0)=x_{0}$, и получении поправок к нему по следующей схеме:

$x_{k+1}(t)=x_{0}+\int \limits _{0}^{t}a{\bigl (}x_{k}(\tau ){\bigr )}\,d\tau +\int \limits _{0}^{t}b{\bigl (}x_{k}(\tau ){\bigr )}\,\delta W_{\tau }.$

В правой части стоит известная случайная функция $\textstyle x_{k}(t)$, найденная на предыдущей итерации. В результате интегрирований получается следующее приближение к решению. Заметим, что на каждой итерации текущее приближение удовлетворяет начальному условию $\textstyle x_{k}(0)=x_{0}$. Вообще говоря, требуется доказать, что подобная процедура при бесконечном её применении сходится к точному решению уравнения. Мы не будем этого делать, а рассмотрим пример её использования.

В качестве нулевого приближения выберем начальное условие $\textstyle x_{0}$. Тогда постоянные величины $\textstyle a_{0}=a(x_{0})$ и $\textstyle b_{0}=b(x_{0})$ выносятся за интеграл, и первая итерация имеет вид:

$x_{1}(t)=x_{0}+a_{0}\cdot t+b_{0}\cdot W_{t}.$

(5.31)

Так как $\textstyle W_{t}=\varepsilon {\sqrt {t}}$, при $\textstyle t\to 0$ мы фактически получили итерационную схему для стохастического дифференциального уравнения:

$x_{1}(t)=x_{0}+a_{0}\cdot t+b_{0}\cdot \varepsilon \,{\sqrt {t}},$

(5.32)

которая активно использовалась в предыдущих главах. Понятно, что она работает тем лучше, чем меньше прошло времени $\textstyle t$ от начального момента $\textstyle t_{0}=0$. При численном решении стохастических дифференциальных уравнений выражение (5.32) часто называется схемой Эйлера.

Разложим снос и волатильность в ряд Тейлора в окрестности $\textstyle x_{0}$:

$a(x)=a_{0}+a'_{0}\cdot (x-x_{0})+...,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b(x)=b_{0}+b'_{0}\cdot (x-x_{0})+...,$

где $\textstyle a'_{0}=a'(x_{0})$ и $\textstyle b'_{0}=b'(x_{0})$. Подставляя их и (5.31) в интегральное уравнение, для второй итерации имеем:

$x_{2}(t)=x_{1}(t)+a'_{0}a_{0}{\frac {t^{2}}{2}}+a'_{0}b_{0}\int \limits _{0}^{t}W_{\tau }\,d\tau +b'_{0}a_{0}\int \limits _{0}^{t}\tau \,\delta W_{\tau }+b'_{0}b_{0}\int \limits _{0}^{t}W_{\tau }\delta W_{\tau }.$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям (см. Справочник $\textstyle \mathbf {R} _{}$, стр. \pageref{ref_lemma_Ito_int}) и известным интегралом по $\textstyle \delta W$ от $\textstyle W$ (5.10):

$\int \limits _{0}^{t}\tau \,\delta W_{\tau }=t\,W_{t}-S_{t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int \limits _{0}^{t}W_{\tau }\,\delta W_{\tau }={\frac {1}{2}}\,{\bigl (}W_{t}^{2}-t{\bigr )}.$

С их помощью перепишем второе приближение к решению:

$x_{2}(t)=x_{1}(t)+{\frac {1}{2}}\,b'_{0}b_{0}(W_{t}^{2}-t)+b'_{0}a_{0}\,t\,W_{t}+a'_{0}a_{0}\,{\frac {t^{2}}{2}}+{\bigl (}a'_{0}b_{0}-a_{0}b'_{0}{\bigr )}\,S_{t}.$

Интеграл по времени $\textstyle S_{t}$ от винеровской переменной через $\textstyle W_{t}$ не выражается. Однако, если винеровский процесс выражен через гауссову переменную $\textstyle W_{t}=\varepsilon {\sqrt {t}}$, то такой интеграл выражается через две независимые гауссовы переменные $\textstyle \varepsilon$, $\textstyle \eta \;\sim N(0,1)$, см. (5.4):

$S_{t}=\int \limits _{0}^{t}W_{s}\,ds={\bigl (}{\sqrt {3}}\,\varepsilon +\eta {\bigr )}\,{\frac {t^{3/2}}{2{\sqrt {3}}}}.$

Поэтому для второго приближения к решению можно записать:

${\begin{array}{lll}x_{2}(t)&=&\displaystyle x_{0}+b_{0}\varepsilon {\sqrt {t}}+a_{0}t+{\frac {1}{2}}\,b'_{0}b_{0}\,(\varepsilon ^{2}-1)\,t\\&+&\displaystyle b'_{0}\,a_{0}\,\varepsilon t^{3/2}+{\bigl (}a'_{0}b_{0}-a_{0}b'_{0}{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {3}}\,\varepsilon +\eta {\bigr )}\,{\frac {t^{3/2}}{2{\sqrt {3}}}}+a'_{0}a_{0}\,{\frac {t^{2}}{2}}.\end{array}}$

(5.33)

Так же, как и схема Эйлера, это соотношение работает тем лучше, чем меньше $\textstyle t$. Однако этот ряд имеет второй порядок малости по $\textstyle t$ и является более точным. Первую строку в этом решении (точность порядка $\textstyle t$) называют схемой Милстейна. Мы воспользуемся ею и более точным выражением (5.33) в девятой главе для ускорения сходимости численного решения стохастических дифференциальных уравнений.

---

Единственность решений <<	Оглавление	>> Скоррелированные блуждания

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения