Пластичность волатильности:Приложение:Автокорреляции

Приложение: Моделирование блуждания <<	Оглавление	>> Оглавление

---

Рассмотрим примеры автокорреляционных коэффициентов в условиях нестационарности () в некоторых частных случаях.

$\textstyle \bullet$ Для волатильности в виде ступеньки со значением $\textstyle \sigma _{1}$ длительностью $\textstyle f\cdot T$ и $\textstyle \sigma _{2}$ в течение $\textstyle (1-f)\cdot T$ для дисперсии имеем:

$\gamma _{0}(\sigma )=\sigma _{\theta }^{2}\cdot {\bigl [}f\,\sigma _{1}^{2}+(1-f)\,\sigma _{2}^{2}{\bigr ]}+f(1-f)\cdot (\sigma _{2}-\sigma _{1})^{2},$

(40)

где $\textstyle \sigma _{\theta }^{2}={\overline {(\theta -1)^{2}}}$ - дисперсия нормированной положительно определённой случайной величины с единичным средним. Ковариационный коэффициент $\textstyle \gamma _{s}(\sigma )=\left\langle \sigma _{t}\cdot \sigma _{t-s}\right\rangle -\left\langle \sigma _{t}\right\rangle ^{2}$ равен:

$\gamma _{s}(\sigma )=f(1-f)\cdot (\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}\;+\;{\bigl (}\sigma _{1}-\sigma _{2}{\bigr )}{\bigl (}\sigma _{2}f-\sigma _{1}(1-f){\bigr )}\cdot {\frac {s}{T-s}}$

(41)

При большом периоде усреднения $\textstyle T$ по сравнению со сдвигом $\textstyle s$ остаётся только первое слагаемое, которое мы получили в шестом разделе.

$\textstyle \bullet$ В случае линейного роста волатильности $\textstyle \sigma (t)=\sigma _{0}\cdot (1+\beta t/T)$, с постоянной скоростью $\textstyle \beta$ дисперсия $\textstyle \gamma _{0}$ равна:

${\frac {\gamma _{0}(\sigma )}{\sigma _{0}^{2}}}=\sigma _{\theta }^{2}\cdot \left(1+\beta +{\frac {\beta ^{2}}{3}}\right)+{\frac {\beta ^{2}}{12}}$

(42)

Автоковариационный коэффициент:

${\frac {\gamma _{s}(\sigma )}{\sigma _{0}^{2}}}={\frac {\beta ^{2}}{12}}\cdot \left(1-2\,{\frac {s}{T}}-2\,{\frac {s^{2}}{T^{2}}}\right)$

(43)

$\textstyle \bullet$ Если волатильность испытывает периодические колебания $\textstyle \sigma (t)=\sigma _{0}(1+\beta \sin(2\pi mt/T))$, где $\textstyle m=1,2,..$ - целые числа, то волатильность $\textstyle x$ в условиях такой нестационарности равна:

${\frac {\gamma _{0}(\sigma )}{\sigma _{0}^{2}}}=\sigma _{\theta }^{2}\cdot \left(1+{\frac {\beta ^{2}}{2}}\right)+{\frac {\beta ^{2}}{2}}$

(44)

Ковариационные коэффициенты становятся периодическими функциями сдвига $\textstyle s$:

${\frac {\gamma _{s}(\sigma )}{\sigma _{0}^{2}}}=\beta ^{2}\cdot \left\{{\frac {1}{2}}\,\cos {\bigl (}2m\pi {\frac {s}{T}}{\bigr )}+{\frac {T/4m\pi }{(T-s)}}\,\sin {\bigl (}2m\pi {\frac {s}{T}}{\bigr )}\right\}$

(45)

Ниже приведены эмпирические графики автокорреляционных коэффициентов всех этих трёх случаев вместе с теоретической кривой (тонкая линия):

Примчания

---

Приложение: Моделирование блуждания <<	Оглавление	>> Оглавление