Пластичность волатильности:Автокорреляция остатков

Выделение гладкой нестационарности <<	Оглавление	>> Назад к нормальному распределению

---

Воспользуемся HP-фильтром для выделения гладкой нестационарной составляющей волатильности и устранения её из данных. Нас будут интересовать остаточные после такого выделения значения волатильности и их автокорреляционные коэффициенты.

Рассмотрим ежедневные модифицированные амплитуды размаха цены $\textstyle v_{t}=a_{t}-|r_{t}|/2$ для курса EURUSD за период 1999-2008. С их помощью оценим ежедневную волатильность $\textstyle \sigma _{t}=v_{t}{\sqrt {2\pi }}/3$. \includegraphics{pic/eur_a_04_08.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Волатильность EURUSD по амплитудам размаха}

Выделим нестационарность при помощи HP-фильтра. Жирная линия на рисунке ниже представляет собой сглаженную волатильность с $\textstyle \lambda =1000000$ ($\textstyle \nu =6$). Двойная ошибка, в соответствии с формулой (), при значении волатильности 0.5 (среднее за 2004-2007 г.г.) равна $\textstyle \pm 0.026$. Фактически, это лишь немногим более толщины линии. Поэтому изгибы нестационарной волатильности $\textstyle \sigma (t)$ при $\textstyle \nu =6$ можно считать статистически значимыми: \includegraphics{pic/eur_a_04_08_aver.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Сглаживание волатильности HP-фильтром} Иная ситуация при сглаживании с параметром $\textstyle \nu =5$. Будем отталкиваться от кривой $\textstyle \sigma (t)$ для $\textstyle \nu =6$. Построим вокруг неё коридор двойной ошибки $\textstyle (1\pm 0.036)\cdot \sigma (t)$ (пунктирные линии) соответствующий значимости для сглаживания параметром $\textstyle \nu =5$. Видно, что сглаженная волатильность при $\textstyle \nu =5$ (тонкая линия) изгибается внутри этого коридора. Поэтому эти изгибы, по всей видимости, не являются статистически значимыми. Однако начало осеннего "перелома" 2008-го года $\textstyle \nu =5$, по-видимому, ухватывает заметно лучше.

Как понятно из предыдущего раздела, HP-фильтр выдерживает минимальную и примерно постоянную кривизну всей кривой. Поэтому он даёт хорошие результаты на относительно гладких участках и вносит определённые искажения на переломах.

Устраним теперь из данных гладкий тренд $\textstyle \sigma (t)$. Для этого мы будем не вычитать его, как принято при обработке временных рядов, а делить на него:

$\sigma _{t}\to {\frac {\sigma _{t}}{\sigma (t)}}.$

(EQN)

Смысл подобной процедуры понятен. Происходит переход к нормированной волатильности для всего ряда. В результате волатильности выравнивают не только своё среднее положение равное 1, но и дисперсию: \includegraphics{pic/eur_a_04_08_norm.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Амплитуды после нормировки}

Сравним автокорреляционные коэффициенты до процедуры нормализации () (первый рисунок), и после неё (второй и третий): \includegraphics{pic/eur_a_04_08_norm_cor.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Автокорреляции до и после нормировки}

Как мы видим, автокорреляции падают почти в 10 раз. Это же относится и к первому корреляционному коэффициенту, который в случае разностей амплитуд имел значение -0.50. Следовательно, его происхождение действительно было связано с эффектом перекрытия.

Заметим, что при процедуре нормализации мы делим все дневные амплитуды на сглаженную величину $\textstyle \sigma (t)$. Однако при её вычислении используется множество значений $\textstyle \sigma _{t}$ в окрестности текущего времени $\textstyle t$. В результате соседние значения $\textstyle \sigma (t)$ будут существенно скоррелированы. Это может приводить к возникновению небольших автокорреляций после нормирования. Тем не менее, $\textstyle \rho _{s}(v/v(t))$ очень малы.

Таким образом, как простой переход к разностям, так и устранение гладкой составляющей волатильности при помощи HP-фильтра делает корреляционные коэффициенты, фактически, статистически незначимыми. Простое объяснение причин появления автокорреляции в условиях нестационарности, в совокупности с этим, заставляет усомниться в стохастической природе волатильности. Однако причину её шумящей составляющей необходимо дополнительно исследовать. Мы вернёмся к этому вопросу в последнем разделе.

Примчания

---

Выделение гладкой нестационарности <<	Оглавление	>> Назад к нормальному распределению