Разложение вероятности по базису

Вероятность достижения границы <<	Оглавление	>> Уравнение для x

---

Рассмотрим уравнение Фоккера-Планка с не зависящими от времени сносом $\textstyle a(x)$ и диффузией $\textstyle D(x)=b^{2}(x)$:

${\frac {\partial P}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\;{\bigl [}a(x)\cdot P{\bigr ]}-{\frac {1}{2}}\;{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{}^{2}}}\;{\bigl [}D(x)\cdot P{\bigr ]}=0.$

Будем искать его решение в виде $\textstyle P=u_{\lambda }(x)\,e^{-\lambda t}$. Функция $\textstyle u(x)$ удовлетворяет уравнению (штрих - производная по $\textstyle x$):

${\bigl [}a(x)u_{\lambda }(x){\bigr ]}'-{\frac {1}{2}}{\bigl [}D(x)u_{\lambda }(x){\bigr ]}''=\lambda u_{\lambda }(x).$

(EQN)

При наличии граничных условий (стр. \pageref{border_df_probab_saves}) в интервале $\textstyle [\alpha ...\beta ]$ это уравнение может приводить к дискретному набору разрешённых значений: $\textstyle \lambda _{1},\lambda _{2},...$ (собственные значения) и соответствующим им собственным функциям $\textstyle u_{\lambda }(x)$. Используя их, можно записать общее решение уравнение Фоккера-Планка.

$\textstyle \bullet$ Для примера рассмотрим винеровское блуждание с нулевым сносом $\textstyle a(x)=0$ и диффузией $\textstyle D=\sigma ^{2}$. Уравнение () имеет вид:

$u''_{\lambda }(x)+\omega ^{2}u_{\lambda }(x)=0,$

где $\textstyle w={\sqrt {2\lambda }}/\sigma$. Его общее решение хорошо известно:

$u_{\lambda }(x)=A\sin(\omega x)+B\cos(\omega x).$

Пусть граничные условия $\textstyle [0..L]$ являются поглощающими. В точках $\textstyle x=0$ и $\textstyle x=L$ плотность вероятности должна обращаться в нуль: $\textstyle u_{\lambda }(0)=u_{\lambda }(L)=0.$ Подстановка решения в эти граничные условия приводит к следующим собственным функциям:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle u_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin(\omega_n x),\;\;\;\;\;\;\;где\;\;\omega_n = \frac{n\pi}{L}}

и $\textstyle n=1,2,...$ — целые числа, нумерующие собственные значения $\textstyle \lambda _{n}=\sigma ^{2}\omega _{n}^{2}/2$. Множитель $\textstyle {\sqrt {2/L}}$ при собственной функции выбран таким образом, чтобы выполнялось условие ортогональности:

$\int \limits _{0}^{L}u_{n}(x)u_{m}(x)dx={\frac {2}{L}}\int \limits _{0}^{L}\sin(\omega _{n}x)\sin(\omega _{m}x)dx=\delta _{nm},$

(EQN)

где $\textstyle \delta _{nm}$ — символ Кронекера, равный единице при $\textstyle n=m$ и нулю, если $\textstyle m\neq n$. Теперь можно разложить общее решение уравнения в бесконечный ряд по собственным функциям.

Действительно, представим плотность вероятности в виде следующей суммы:

$P(x_{0},0\Rightarrow x,t)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}\,u_{n}(x)\,e^{-\lambda _{n}t}.$

Благодаря ортогональности собственных функций $\textstyle u_{n}(x)$ мы всегда можем восстановить коэффициенты этого разложения. Используя начальное условие $\textstyle P(x_{0},0\Rightarrow x,0)=\delta (x-x_{0})$ и (), имеем:

$A_{n}=\int \limits _{0}^{L}P(x_{0},0\Rightarrow x,0)\cdot u_{n}(x)dx=\int \limits _{0}^{L}\delta (x-x_{0})\cdot u_{n}(x)dx=u_{n}(x_{0}).$

Поэтому окончательно:

$P(x_{0},0\Rightarrow x,t)={\frac {2}{L}}\,\sum _{n=0}^{\infty }\sin(\omega _{n}x_{0})\sin(\omega _{n}x)e^{-\lambda _{n}t}.$

С течением времени общая вероятность нахождения частицы в диапазоне $\textstyle [0..L]$ уменьшается, так как частица рано или поздно будет захвачена одной из границ.

$\textstyle \bullet$ Так же находится решение для отражающих границ. В этом случае на границах $\textstyle x=0$ и $\textstyle x=L$ ток (), стр. \pageref{border_df_probab_saves}:

$J(x,t)=-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\;{\frac {\partial P(x,t)}{\partial x}}=-{\frac {\sigma ^{2}e^{-\lambda t}}{2}}\,u'_{\lambda }(x)$

должен быть нулевым, а, следовательно, равна нулю производная собственной функции: $\textstyle u'_{\lambda }(0)=u'_{\lambda }(L)=0.$ В результате:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle u_0(x)=\frac{1}{\sqrt{L}},\;\;\;\;\;u_n=\sqrt{\frac{2}{L}}\,\cos(\omega_n x),\;\;\;где\;\;\omega_n = \frac{n\pi}{L},}

и $\textstyle n=1,2,..$. Несложно проверить, что эти функции также ортогональны. Поэтому окончательно:

$P(x_{0},0\Rightarrow x,t)={\frac {1}{L}}+{\frac {2}{L}}\sum _{n=0}^{\infty }\cos(\omega _{n}x_{0})\cos(\omega _{n}x)e^{-\lambda _{n}t}.$

При $\textstyle t\to \infty$ решение стремится к $\textstyle P(x_{0},0\Rightarrow x,t)\to 1/L$, и частицу можно равновероятно встретить в любой точке интервала шириной $\textstyle L$.

Рассмотрим теперь общую теорию для задачи на собственные функции и значения для уравнения Фоккера-Планка.

$\textstyle \bullet$ Предположим, что $\textstyle {\hat {A}}$ — линейный дифференциальный оператор (например, $\textstyle {\hat {A}}=d^{2}/dx^{2}$), и справедливо уравнение следующего вида:

${\hat {A}}u(x)=\lambda \,\rho (x)\,u(x),$

(EQN)

где $\textstyle \rho (x)$ — действительная положительная функция. Если для произвольных функций $\textstyle \psi (x)$ и $\textstyle \phi (x)$ выполняется соотношение:

$\int \limits _{\alpha }^{\beta }\psi (x){\hat {A}}\phi (x)\,dx=\int \limits _{\alpha }^{\beta }\phi (x){\hat {A}}^{*}\psi (x)\,dx,$

(EQN)

то оператор $\textstyle {\hat {A}}$ называется самосопряжённым. Звёздочка (комплексное сопряжение) может быть опущена для действительных операторов.

Рассмотрим решения $\textstyle u_{n}(x)$, $\textstyle u_{m}(x)$ уравнения (), соответствующие различным собственным значениям $\textstyle \lambda _{n}$ и $\textstyle \lambda _{m}$. Используя (), запишем:

$\int \limits _{\alpha }^{\beta }u_{m}^{*}(x){\hat {A}}u_{n}(x)\,dx=\lambda _{n}\int \limits _{\alpha }^{\beta }u_{m}^{*}(x)u_{n}(x)\rho (x)\,dx,$

$\int \limits _{\alpha }^{\beta }u_{n}(x){\hat {A}}^{*}u_{m}^{*}(x)\,dx=\lambda _{m}^{*}\int \limits _{\alpha }^{\beta }u_{m}^{*}(x)u_{n}(x)\rho (x)\,dx,$

где во втором соотношении взято комплексное сопряжение () и учтена действительность функции $\textstyle \rho (x)$.

Если оператор $\textstyle {\hat {A}}$ самосопряжённый, то левые части этих равенств должны быть одинаковыми ($\textstyle \psi =u_{m}^{*}$, $\textstyle \phi =u_{n}$). Приравняем их:

$(\lambda _{n}-\lambda _{m}^{*})\int \limits _{\alpha }^{\beta }\,u_{m}^{*}(x)u_{n}(x)\cdot \rho (x)\,dx=0.$

Если $\textstyle n=m$, то подынтегральная функция положительна, и, следовательно, собственные значения — действительны ($\textstyle \lambda _{n}^{*}=\lambda _{n}$). При $\textstyle n\neq m$ нулю равен интеграл, поэтому собственные функции ортогональны с весом $\textstyle \rho (x)$. Оператор $\textstyle {\hat {A}}$ — линейный, следовательно, собственная функция определена с точностью до постоянного множителя. Его удобно выбрать таким образом, чтобы выполнялось условие ортогональности

$\int \limits _{\alpha }^{\beta }\,u_{m}^{*}(x)u_{n}(x)\cdot \rho (x)\,dx=\delta _{nm}$

с весовой функцией $\textstyle \rho (x)$.

Теперь можно записать разложение общего решения по базису:

$F(x)=\sum f_{n}u_{n}(x),\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_{n}=\int \limits _{\alpha }^{\beta }F(x)u_{n}^{*}(x)\cdot \rho (x)\,dx,$

где для коэффициентов $\textstyle f_{n}$ использовано условие ортогональности.

Оператор $\textstyle {\hat {A}}$ уравнения () не является самосопряжённым. Умножим обе части () на функцию $\textstyle \rho =\rho (x)$ и подберём её таким образом, чтобы выполнялось условие (). Проведём интегрирование по частям:

$\int \limits _{\alpha }^{\beta }\left\{\psi \rho \cdot {\bigl (}a\phi {\bigr )}'-{\frac {1}{2}}\psi \rho \cdot {\bigl (}D\phi {\bigr )}''\right\}dx=\int \limits _{\alpha }^{\beta }\left\{-{\bigl (}\psi \rho )'a\phi -{\frac {1}{2}}{\bigl (}\psi \rho {\bigr )}''D\phi \right\}dx+I,$

где $\textstyle I$ — значения подынтегральной функции на границах $\textstyle \alpha$ и $\textstyle \beta$:

$I=\psi \,\rho \,a\,\phi \,{\Bigr |}_{\alpha }^{\beta }-{\frac {1}{2}}\,\psi \,\rho \,(D\,\phi )'\,{\Bigr |}_{\alpha }^{\beta }+{\frac {1}{2}}\,(\psi \,\rho )'\,D\,\phi \,{\Bigr |}_{\alpha }^{\beta }.$

(EQN)

Раскроем производные в обоих интегралах. Оператор будет самосопряжённым, если при перестановке $\textstyle \psi$ и $\textstyle \phi$ местами вокруг него получается тот же результат (действительный случай). Это происходит, если:

$2\rho a=\rho D'-D\rho '\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\rho (x)=\exp \int {\frac {D'(x)-2a(x)}{D(x)}}\,dx.$

(EQN)

Кроме этого, естественно, должны исчезать граничные члены ($\textstyle I=0$). Введём в соответствии с () плотности тока вероятности:

$J_{\phi }=a\phi -{\frac {1}{2}}\,(D\,\phi )',\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_{\psi }=a\psi -{\frac {1}{2}}\,(D\,\psi )'.$

При помощи этих определений и уравнения () для функции $\textstyle \rho (x)$, граничный член () можно переписать в следующем виде:

$I=\rho (x)(\psi (x)J_{\phi }(x)-\phi (x)J_{\psi }(x)){\Bigr |}_{\alpha }^{\beta }=0.$

Несложно проверить, что все три типа граничных условий, рассмотренных в разделе $\textstyle \S$, стр. \pageref{sec_border_cond} приводят к нулевому значению $\textstyle I$. Таким образом, мы показали, что оператор уравнения (), умноженный на функцию $\textstyle \rho (x)$ (), оказывается самосопряженным. Поэтому общее решение уравнения Фоккера-Планка можно записать в следующем виде:

$P(x,t)=\sum _{n}a_{n}u_{n}(x)e^{-\lambda _{n}t},\;\;\;\;\;\;\;a_{n}=\int \limits _{\alpha }^{\beta }P(x,0)\,u_{n}^{*}(x)\cdot \rho (x)\,dx,$

где для определения $\textstyle a_{n}$ используются начальные условия $\textstyle P(x,0)$.

---

Вероятность достижения границы <<	Оглавление	>> Уравнение для x

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения