Вероятность достижения границы

Граничные условия <<	Оглавление	>> Разложение вероятности по базису

---

$\textstyle \bullet$ Найдём теперь вероятность достижения при блуждании границ интервала $\textstyle [\alpha ..\beta ]$. Пусть это будут поглощающие границы, и в начальный момент времени $\textstyle t_{0}=0$ частица находится в некоторой точке $\textstyle \alpha <x_{0}<\beta$. Вероятность $\textstyle p(x_{0},t)$ того, что в момент времени $\textstyle t$ она ещё ни разу не коснулась границ и находится внутри интервала $\textstyle [\alpha ..\beta ]$, равна:

$p(x_{0},t)=\int \limits _{\alpha }^{\beta }P(x_{0},0\Rightarrow x,t)\,dx=\int \limits _{\alpha }^{\beta }P(x_{0},-t\Rightarrow x,0)\,dx.$

(4.17)

Второе равенство записано для однородных систем, у которых снос и волатильность не зависят от времени. Именно их мы сейчас и рассмотрим. Для таких систем можно сдвинуть начало отсчёта времени, считая начальным $\textstyle t_{0}=-t$, а "конечным" — $\textstyle t=0$. Возьмём производную по $\textstyle t$ выражения (4.17) и воспользуемся первым уравнением Колмогорова (4.6). В результате уравнение для $\textstyle p=p(x_{0},t)$ имеет вид:

$a(x_{0})\,{\frac {\partial p}{\partial x_{0}}}+{\frac {b^{2}(x_{0})}{2}}\,{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x_{0}^{2}}}={\frac {\partial p}{\partial t}}.$

(4.18)

Для плотности вероятности справедливо начальное условие в виде функции Дирака $\textstyle P(x_{0},0\Rightarrow x,0)=\delta (x-x_{0})$. Поэтому из (4.17) следует начальное условие: $\textstyle p(x_{0},0)=1$ (частица гарантированно находится в $\textstyle \alpha <x_{0}<\beta$). Кроме этого, если $\textstyle x_{0}$ оказывается на границе, вероятность дальнейшего пребывания в интервале $\textstyle [\alpha ..\beta ]$ будет равной нулю, поэтому:

$p(\alpha ,t)=p(\beta ,t)=0.$

Обозначим через $\textstyle T$ время достижения одной из границ. Понятно, что $\textstyle T$-случайная величина и $\textstyle p(x_{0},t)$ — это интегральная вероятность того, что $\textstyle T\geqslant t$ ("всё ещё находится"). Вероятность, что $\textstyle T<t$, равна $\textstyle 1-p(x_{0},t)$. Её производная по $\textstyle t$ даст плотность вероятности того или иного времени пребывания в интервале $\textstyle [\alpha ..\beta ]$. Поэтому, например, среднее время пребывания равно:

$\left\langle T\right\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }t\,{\frac {\partial }{\partial t}}{\bigl (}1-p(x_{0},t){\bigr )}\,dt=\int \limits _{0}^{\infty }p(x_{0},t)\,dt.$

Мы считаем, что $\textstyle p(x_{0},\infty )=0$, т.к. частица в ограниченном пространстве $\textstyle [\alpha ..\beta ]$ рано или поздно достигает одной из границ. Для среднего $\textstyle n$-той степени от $\textstyle T$ введём следующее обозначение $\textstyle T_{n}(x_{0})=\left\langle T^{n}\right\rangle$ и найдём уравнение, которому удовлетворяет функция $\textstyle T_{n}(x_{0})$.

$\textstyle \bullet$ Проведя интегрирование по частям в определении $\textstyle \left\langle T^{n}\right\rangle$, получаем:

$T_{n}(x_{0})=\left\langle T^{n}\right\rangle =-\int \limits _{0}^{\infty }t^{n}{\frac {\partial p(x_{0},t)}{\partial t}}\,dt=n\int \limits _{0}^{\infty }t^{n-1}p(x_{0},t)\,dt.$

(4.19)

Умножим уравнение (4.18) на $\textstyle nt^{n-1}$ и проинтегрируем по $\textstyle dt$:

$a(x_{0})\,T'_{n}(x_{0})+{\frac {b^{2}(x_{0})}{2}}\,T''_{n}(x_{0})=-nT_{n-1}(x_{0}).$

Благодаря нормировочному условию $\textstyle \left\langle 1\right\rangle =1$ имеем $\textstyle T_{0}(x_{0})=1$. Поэтому мы получили последовательность уравнений с правой частью, определяемой на предыдущей итерации. В частности, для среднего времени $\textstyle T(x_{0})=T_{1}(x_{0})$:

$a(x_{0})\,T'(x_{0})+{\frac {b^{2}(x_{0})}{2}}\,T''(x_{0})=-1$

с граничными условиями $\textstyle T(\alpha )=T(\beta )=0$ (если частица в начальном положении $\textstyle x_{0}$ была на границе, то она сразу покинет пространство).

Например, при винеровском блуждании с нулевым сносом $\textstyle \mu =0$ и волатильностью $\textstyle \sigma$ имеем:

${\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,T''=-1\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,T=-{\frac {x_{0}^{2}}{2}}+Ax_{0}+B,$

где $\textstyle A$ и $\textstyle B$ — константы интегрирования. Пусть поглощающие границы находятся в точках $\textstyle x=0,\;L$. Тогда граничные условия $\textstyle T(0)=T(L)=0$ приводят к:

$\left\langle T\right\rangle =T(x_{0})={\frac {x_{0}\cdot (L-x_{0})}{\sigma ^{2}}}.$

Максимальное среднее время $\textstyle \left\langle T\right\rangle =L^{2}/4\sigma ^{2}$ достижения границ получается тогда, когда в начальный момент частица находится в центральной части интервала $\textstyle x_{0}=L/2$. В силу симметрии задачи (сноса нет) этот результат вполне ожидаем. Даже если $\textstyle x_{0}$ находится недалеко от $\textstyle x=0$, то при $\textstyle L\to \infty$ среднее время также стремится к бесконечности.

В качестве упражнения ($\textstyle \lessdot$ H) стоит решить эту же задачу при ненулевом сносе и рассмотреть предел "широкого" пространства $\textstyle L\to \infty$.

---

Граничные условия <<	Оглавление	>> Разложение вероятности по базису

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения