Просмотр исходного текста страницы Ускоренное движение гироскопа

{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Момент импульса и спин]] << 
 ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf Глава 3])
 | width="40%" align="right"| >> [[Нелокальность законов сохранения]]
|}
----

Во второй главе (стр. \pageref{prec_line_sec}) мы рассмотрели ускоренное движение стержня, который при изменении своей скорости перемещается параллельно своему предыдущему положению с точки зрения наблюдателей в мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчёта. В релятивистской теории такой стержень при движении поворачивается относительно наблюдателей в неподвижной (лабораторной) системе отсчёта.

Аналогичный эффект возникает и со спином вращающейся системы. Пусть на гироскоп действует сила, изменяющая его скорость, но при этом отсутствует момент силы. В классической механике собственный момент вращения при этом должен остаться без изменения (хотя, возможно, изменится полный момент за счёт "орбитального движения"). В теории относительности в таких условиях собственный момент вращения (спин) в общем случае изменяется (прецессирует).

Введём три системы отсчёта <math>\textstyle K</math>, <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math>. Пусть скорость системы <math>\textstyle K'</math> относительно <math>\textstyle K</math> равна <math>\textstyle \mathbf{v}</math>, а скорость системы <math>\textstyle K''</math> относительно <math>\textstyle K'</math> равна <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math>. Соответственно, скорость <math>\textstyle K''</math> относительно <math>\textstyle K</math> равна <math>\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>. Эти скорости связаны при помощи закона сложения скоростей (), стр.\pageref{transf_u_vec0}:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{v}' = \frac{({\mathbf v} + d\mathbf{v}) - \gamma{\mathbf v} + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}({\mathbf v} + d\mathbf{v}))} {\gamma\, (1-{\mathbf v}({\mathbf v} + d\mathbf{v}))} \approx \gamma d\mathbf{v} + \frac{\gamma^3 \mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v})}{\gamma+1}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

где приближённое равенство записано с точностью до первого порядка малости по <math>\textstyle d\mathbf{v}</math>.



<center>[[File:2gyro.png]]</center>

Последующие рассуждения будут справедливы для любого 4-вектора <math>\textstyle S^\alpha</math>, ортогонального в 4-пространстве к 4-скорости <math>\textstyle U^\alpha=\{\gamma_u,\,\mathbf{u}\gamma_u\}</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathrm{U}\cdot \mathrm{S} = U^0 S^0 - \mathbf{U}\mathbf{S} = 0. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Из этого соотношения следует, что <math>\textstyle S^0=\mathbf{u}\mathbf{S}</math>. Запишем преобразования для 3-вектора спина (заменяя в () <math>\textstyle t\mapsto \mathbf{u}\mathbf{S}</math> и <math>\textstyle \mathbf{r}\mapsto \mathbf{S}</math>):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S}' = \mathbf{S} - \gamma \mathbf{v}(\mathbf{u}\mathbf{S}) + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Обратное преобразование получается заменой скорости <math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto-\mathbf{v}</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \mathbf{S}' + \gamma \mathbf{v}(\mathbf{u}'\mathbf{S}') + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'), </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

так как в любой системе отсчёта <math>\textstyle S^0=\mathbf{u}\mathbf{S}</math>.

Если гироскоп неподвижен (<math>\textstyle \mathbf{u}'=0</math>) относительно системы <math>\textstyle K'</math>, то:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \mathbf{S}' + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Обратное преобразование получается из соотношения () после подстановки <math>\textstyle \mathbf{u}=\mathbf{v}</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S}' = \mathbf{S} - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Применим преобразование () между системами <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math>. Пусть в системе <math>\textstyle K''</math> находится неподвижный (но вращающийся) гироскоп со спином <math>\textstyle \mathbf{S}''</math>. В этом случае в преобразовании () необходимо добавить всем величинам штрих и заменить <math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto d\mathbf{v}'</math>. В результате в первом приближении по <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> спин остаётся в системе <math>\textstyle K'</math> без изменений: <math>\textstyle \mathbf{S}' = \mathbf{S}''.</math>

Рассмотрим теперь "точно такой же" гироскоп, неподвижный в системе <math>\textstyle K'</math> со спином <math>\textstyle \mathbf{S}'</math> (см. выше рисунок). Когда начала систем <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math> совпадают, аналогично стержням (стр. \pageref{prec_line_sec}) "совпадают" и гироскопы. Поэтому будем считать, что гироскоп системы <math>\textstyle K''</math> получается при изменении на <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> скорости гироскопа системы <math>\textstyle K'</math>. Спин гироскопа <math>\textstyle K''</math> в соответствии с () относительно <math>\textstyle K</math> равен:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \mathbf{S}' + \gamma \mathbf{v}(\mathbf{S}'d\mathbf{v}') + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Это выражение даёт значение спина гироскопа в момент времени <math>\textstyle t+dt</math> после изменения им скорости на <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> относительно системы <math>\textstyle K'</math>. Вычитая из него значение спина () в момент времени <math>\textstyle t</math>, получаем:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{S} = \gamma \mathbf{v}(\mathbf{S}'d\mathbf{v}') = \gamma^2 \mathbf{v}(\mathbf{S}d\mathbf{v}), </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

где во втором равенстве <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> выражено через <math>\textstyle d\mathbf{v}</math> при помощи (), а вместо <math>\textstyle \mathbf{S}'</math> подставлено выражение ().

Вводя вектор 3-мерного ускорения <math>\textstyle \mathbf{a}=d\mathbf{v}/dt</math>, окончательно получаем:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{S}}{dt} = \gamma^2 \mathbf{v}\,(\mathbf{a}\mathbf{S}). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Если ускорение <math>\textstyle \mathbf{a}</math> остаётся перпендикулярным вектору спина (<math>\textstyle \mathbf{a}\mathbf{S}=0</math>), то спин при таком движении не изменяется. В остальных случаях при ускоренном движении происходит изменение спина. Это изменение приводит как к повороту спина (прецессии), так и к изменению модуля вектора <math>\textstyle \mathbf{S}</math>.

Обратим внимание на то, что уравнение () отличается от уравнения (), стр.\pageref{main}, описывающего поворот "жёсткого" стержня при криволинейном движении. Поэтому повороты стержня и спина различны.

<math>\textstyle \bullet</math> Уравнению () можно придать ковариантную форму:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{dS^\alpha}{d\tau} = -V^\alpha A^\beta S_\beta, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle V^\alpha=\{\gamma, \mathbf{v}\gamma\}</math> &mdash; 4-скорость, а <math>\textstyle A^\alpha</math> &mdash; 4-ускорение (стр. \pageref{acsel_4vec}):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> A^\alpha =\frac{dV^\alpha}{d\tau} = \gamma\,\frac{d}{dt} \{\gamma,\;\mathbf{v}\gamma\} = \{\gamma^4\,(\mathbf{v}\mathbf{a}),\;\gamma^2\,\mathbf{a}+ \gamma^4\,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{a})\} </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

и <math>\textstyle d\tau=\sqrt{1-\mathbf{v}^2}\,dt</math> &mdash; собственное время системы <math>\textstyle K'</math>. Действительно, свёртка 4-ускорения и 4-спина равна:

:<center><math>A^\beta S_\beta = A^0 S^0 - \mathbf{A}\mathbf{S} = \gamma^4\,(\mathbf{v}\mathbf{a})\, (\mathbf{v}\mathbf{S}) -\gamma^2\,(\mathbf{a}\mathbf{S}) - \gamma^4\,(\mathbf{v}\mathbf{S})\,(\mathbf{v}\mathbf{a}) = -\gamma^2\,(\mathbf{a}\mathbf{S}).</math></center>

Дифференциальное уравнение () называется ''уравнением переноса Ферми''. Оно может быть получено из следующих соображений. Пусть изменение спина в ковариантной форме может зависеть только от 4-скорости, 4-ускорения и 4-спина. Тогда из соображений ковариантности:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathrm{S}}{d\tau} = \lambda\, \mathrm{V}+\sigma\,\mathrm{A} + \kappa\,\mathrm{S}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle \lambda</math>, <math>\textstyle \sigma</math> <math>\textstyle \kappa</math>, &mdash; некоторые коэффициенты. Будем считать, что в мгновенно сопутствующей инерциальной системе, в которой частица покоится (<math>\textstyle \mathrm{V}=\{1,\mathbf{0}\}</math>, <math>\textstyle \mathrm{A}=\{0,\mathbf{a}\}</math>, <math>\textstyle \mathrm{S}=\{0,\mathbf{S}\}</math>) изменение спина нулевое <math>\textstyle (d\mathbf{S}/dt=0)</math>, т.е. спин переносится параллельно своему предыдущему положению. В этом случае несложно видеть, что <math>\textstyle \sigma=\kappa=0</math>. Продифференцируем теперь условие ортогональности 4-спина и 4-скорости <math>\textstyle \mathrm{S\cdot V}=0</math>:

:<center><math>\frac{d(\mathrm{S\cdot V})}{d\tau} =\frac{d\mathrm{S}}{d\tau} \cdot \mathrm{V} + \mathrm{S}\cdot\frac{d\mathrm{V}}{d\tau} = \lambda + \mathrm{S}\cdot\frac{d\mathrm{V}}{d\tau} = 0,</math></center>

где учтено, что квадрат 4-скорости равен единицы (<math>\textstyle \mathrm{V}^2=1</math>). Находя из этого уравнения <math>\textstyle \lambda</math> и подставляя в (), мы приходим к уравнению ().

При переносе Ферми, в cилу <math>\textstyle \mathrm{V}\cdot \mathrm{S}=0</math>, остаётся без изменений квадрат 4-вектора спина: <math>\textstyle \mathrm{S}^2=const</math>, хотя квадрат 3-вектора спина <math>\textstyle \mathbf{S}^2</math> изменяется, если спин не ортогонален скорости или ускорению.

Отметим также уравнение, описывающее изменение ''модифицированного спина'' <math>\textstyle \tilde{\mathbf{S}}=\mathbf{S} M/\mathcal{E}=\mathbf{S}/\gamma</math> относительно лабораторной системы отсчёта.

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\tilde{\mathbf{S}}}{dt} = \gamma^2 \,[\mathbf{a}\times[\mathbf{v}\times\tilde{\mathbf{S}}]. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Модифицированный спин равен чистой разности полного момента импулься и момента импульса центра энергии: <math>\textstyle \tilde{\mathbf{S}}=\mathbf{L}-\mathbf{R}\times\mathbf{P}</math>.

При равноускоренном движении (стр. \pageref{lorenz_v}) из состояния покоя интегрирование уравнения прецессии () приводит к следующей зависимости продольной к скорости компоненты спина от времени:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> S_x(t) = \frac{S_{x0}}{\sqrt{1-v^2(t)}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;S_y(t)=S_{y0}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle S_{x0}=S_x(0)</math> &mdash; начальное значение спина в системе, в которой его суммарный импульс был равен нулю. Это же соотношение следует также из преобразования (). Таким образом, продольная компонента спина увеличивается при ускорении гироскопа, а поперечная компонента остаётся без изменений. На самом деле зависимость () получается не только при равноускоренном движении, но и при любом движении вдоль прямой, для которого уравнение () имеет вид:

:<center><math>\frac{dS_x}{S_x} = \frac{va\,dt}{1-v^2(t)} = -\frac{1}{2} \,d \bigl[\ln (1-v^2(t))\bigr].</math></center>

Его интегрирование приводит к ().

Можно рассмотреть равномерное движение центра энергии гироскопа по окружности. В этом случае поворот стержня и прецессия спина ведут себя схожим образом. При малых скоростях <math>\textstyle v</math> при каждом обороте по окружности спин, как и стержень, поворачивается на небольшой угол, равный <math>\textstyle \pi v^2</math> \cite{Stepsnov_Thomas}.

Аналогично спину получается уравнение, описывающее изменение полного момента импульса <math>\textstyle \mathbf{L}</math> гироскопа, записанное относительно неподвижной (лабораторной) системы отсчёта. Так как проекции вектора <math>\textstyle \mathbf{L}</math> являются компонентами 4-тензора, его трансформационные свойства отличаются от свойств спина. Поэтому результирующее уравнение также отличается от () и имеет вид:

:<center><math>\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\gamma^2 \,\mathbf{v}\times [\mathbf{L}\times \mathbf{a}].</math></center>

Если ускоренное движение происходит вдоль прямой (векторы <math>\textstyle \mathbf{v}</math> и <math>\textstyle \mathbf{a}</math> параллельны), изменение компонент момента импульса совпадает с соответствующими преобразованиями Лоренца для мгновенно сопутствующей гироскопу инерциальной системы отсчёта.

Отметим, что исходная формула Томаса для прецессии спина отличалась от уравнения (). Это было связано с тем, что Томас учёл только вигнеровское вращение, которое мы рассмотрим в 5-й главе. Однако это не единственный эффект, приводящий к прецессии векторов, связанных с неинерциальной системой отсчёта \cite{Stepsnov_Thomas}.

----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Момент импульса и спин]] << 
 ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf Глава 3])
 | width="40%" align="right"| >> [[Нелокальность законов сохранения]]
|}
----
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии