Электромагнитная масса

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Спин << Оглавление (Последняя версия в: Глава 7) >> Взаимодействие зарядов без поля

Вычислим полную энергию и импульс поля, создаваемого равномерно движущимся точечным зарядом. Так как мы столкнёмся с расходимостью интегралов, сделаем регуляризацию возникающей сингулярности. Будем считать, что на малых расстояниях закон Кулона модифицируется так, как это было записано в начале четвёртой главы (), стр.\,\pageref{kulon_a}. Кроме этого предположим, что параметр регуляризации является "фундаментальной константой" которая не меняется при преобразованиях Лоренца. Тогда электрическое и магнитное поля движущегося заряда (стр.\,\pageref{E_B_main}) будут выглядеть следующим образом:

Нас интересуют полные энергия и импульс электромагнитного поля:

Подставляя напряжённости, найдём соответствующие плотности:

Направим ось вдоль скорости заряда: . Учитывая, что и , перепишем знаменатель в следующем виде:

Сделаем замену переменной интегрирования и для объёма . В результате скорость остаётся только в числителе подынтегральной функции. Для полной энергии имеем:

Введём следующее обозначение:

(EQN)

Этот интеграл может быть вычислен двойным дифференцированием по параметру определённого интеграла с функцией .

Окончательное вычисление полной энергии проведём в сферических координатах , в которых . Интегрирование по полярному углу (от которого подынтегральная функция не зависит) даст множитель . Интегрирование по приводит к . Осталось вычислить элементарный интеграл по , при помощи "внесения" синуса под дифференциал: :

Аналогично вычисляется интеграл для импульса поля. После интегрирования по всему пространству, единственный вектор от которого может зависеть вектор импульса поля — это скорость . Поэтому он пропорционален и при выбранном направлении скорости достаточно вычислить -компоненту импульса:

Таким образом, энергия и импульс электромагнитного поля заряда, движущегося с постоянной скоростью равны:

(EQN)

Импульс поля имеет такую же зависимость от скорости как и у любой релятивистской частицы с массой . А вот у энергии появилась неприятная добавка, и зависимость от скорости отличается от релятивистской. При , имеем , . Считая, что "масса" поля определяется по энергии покоя, мы получим неправильный множитель у массы при импульсе: . Или наоборот, определяя массу как коэффициент пропорциональности нерелятивистского импульса и скорости, мы получим энергию покоя, которой не достаёт 1/4 массы, так как она равна 3/4. Поэтому часто этот эффект называют "проблемой 3/4" (или "проблемой 4/3" в зависимости от того, как определяют массу).

На заре возникновения теории относительности строились модели, в которых заряд электрона был равномерно "размазан" по поверхности сферы. В зависимости от поведения этой сферы при движении электрона, получалась та или иная зависимость от скорости энергии и импульса поля. Макс Абрахам высказал замечательную мысль, что механическую массу электрона можно определить, вычисляя энергию-импульс создаваемого электроном поля.

Сам Абрахам (1902 г.) предполагал, что "сфера электрона" при движении не деформируется. Была также построена модель Альфреда Бачерера (1904 г.), в которой сфера сжималась в направлении движения, сохраняя свой объём. В рамках электронной теории Хендрика Лоренца, предполагалось, что сфера сжимается в соответствии с релятивистским фактором , в результате чего получалась верная зависимость импульса поля от скорости \cite{Cushing1981}. Однако во всех этих теориях творилось некое безобразие с энергией поля. Анри Пуанкаре предложил следующее объяснение проблемы. Заряды, расположенные на поверхности сферы, отталкиваются друг от друга. Так как электрон стабилен — некие силы обязаны удерживать заряды. Именно эти силы, названные натяжениями Пуанкаре, и должны обеспечить недостающую 1/4 массы.

С высоты 100-летнего развития квантовой теории элементарных частиц, классические модели электрона выглядят достаточно наивными. Однако это не означает отсутствия проблемы. Бесконечности возникают и в квантовой теории поля. Поэтому, в любом случае, с силой Кулона необходимо что-то делать, так как она равна бесконечности при . Или электрон не должен быть точечным, или должна быть изменена сила. Сферические модели электрона шли по первому пути и пытались, не меняя закона Кулона, сделать электрон неточечным. Можно пойти вторым путём и считать, что на малых расстояниях должен модифицироваться сам закон Кулона. Например, выше мы ввели фундаментальную константу , устраняющую "нефизичную" бесконечность. После этого можно построить теорию электромагнетизма и в результате всё равно получится неверная зависимость энергии поля от скорости, даже в пределе , хотя ни каких "натяжений Пуанкаре" уже нет.

Было предпринято множество хитрых модификаций классической электродинамики для устранения неправильной зависимости энергии от скорости \cite{FeinmanEd}. По-видимому наиболее простое решение проблемы электромагнитной массы принадлежит Джулиану Швингеру (1982) \cite{Schwinger1982}.

Основная идея Швингера состоит в том, что при вычислении энергии и импульса электромагнитного поля необходимо учитывать не только выражения для и но и член , возникший при выводе закона сохранения (теорема Пойнтинга, стр.\,\pageref{energy_E}):

(EQN)

Сохраняется суммарная энергия поля и частицы, а не только поля. Использование только части полной энергии и приводит к проблеме 3/4.

Продемонстрируем это, проделав соответствующие вычисления в ковариантном виде. Ранее (стр.\,\pageref{fld_A_for_point_Q}) мы записывали выражения для 4-потенциала и тензора напряженностей поля точечного заряда:

(EQN)

где — параметр регуляризации и при помощи 4-скорости заряда и его координат определен следующий 4-вектор (стр.\,\pageref{fld_partial_eta}):

Этот вектор ортогонален 4-скорости () и для него справедливы следующие производные:

(EQN)

Его квадрат равен или в момент времени , где — стандартный лоренцевский фактор.

Используя выражения (), запишем симметричный тензор энергии-импульса (), стр.\,\pageref{tensor_en_mom_eld_sym}:

Как известно, сохраняется суммарный тензор поля и частиц. Сам по себе не сохраняется:

поэтому энергия и импульс поля (интегралы от ) не являются компонентами 4-вектора (стр.\,\pageref{cov_int_val}). В этом и состоит корень проблемы 3/4.

Запишем тензор энергии-импульса в следующем виде:

где . Для различных способов регуляризации закона Кулона будут получаться различные функции . Дивергенция этого выражения равна:

где штрих — производная функции по её аргументу.

Чтобы скомпенсировать ненулевую дивергенцию, необходимо добавить тензор , так чтобы выполнялось уравнение непрерывности:

(EQN)

При помощи величин , , можно записать следующий симметричный тензор:

где — некоторые скалярные функции. Дивергенция этого выражения равна:

Заметим, что в это выражение не попало и тензор тождественно удовлетворяет уравнению непрерывности. В определение можно было бы добавить симметричную комбинацию . Однако, её дивергенция пропорциональна , а не . Чтобы () было справедливым, должно выполняться следующее соотношение:

(EQN)

Для дальнейшего нам потребуются интегралы:

(EQN)
(EQN)
(EQN)

Они вычисляются также, как и в начале раздела (переходим к цилиндрическим координатам, делаем замену и окончательное интегрирование проводим в сферических координатах). Кроме этого, определим следующие четыре () константы:

В случае имеем .

Между константами существует определенная связь. Чтобы её найти, умножим соотношение () на и проинтегрируем по всему пространству. Затем воспользуемся следующим тождеством:

Для его доказательства необходимо правую часть проинтегрировать по частям () В результате, уравнение непрерывности для суммарного тензора выполняется, если:

(EQN)

Вычислим теперь энергию и импульс поля при помощи тензора :

При снова получаются соотношения (). Аналогично вычисляются энергия и импульс для тензора :

Окончательно, учитывая (), для суммарной энергии и импульса получаем:

где масса системы, равна:

(EQN)

Таким образом, энергия и импульс, полученные по тензору имеют правильную зависимость от скорости и являются компонентами 4-вектора. Так и должно быть для интеграла от тензора, который удовлетворяет уравнению непрерывности. Обратим внимание, что в энергию и импульс от член пропорциональный сразу входит с верной зависимостью от скорости. Связано это с тем, что часть тензора которая дала удовлетворяет уравнению непрерывности сама по себе при любой функции .

Результат вычислений не зависит от выбора функций и единственным ограничением на них является уравнение (). Швингер рассмотрел частный случай с и два варианта с и .

Обсудим физический смысл введенных выше масс. Масса связана с полем заряда и имеет чисто электромагнитное происхождение. Масса может быть проинтерпретирована как механическая масса заряда. Напомним (стр.\,\pageref{fld_T_part_def}), что тензор энергии-импульса, связанный с распределенной в пространстве материей имеет вид: Поэтому (обратим внимание, что при мы имеем , поэтому — пространственно-подобный вектор). В теории классического электрона, масса которого полностью обусловлена полевыми эффектами можно положить .

Запишем компоненты тензора электромагнитного поля в системе покоя электрона в которой и :

Компоненты "компенсирующего" тензора равны:

и . Пространственные компоненты тензоров и при сложении дадут ноль, если . В этом случае и, следовательно, для полной массы электрона имеем:

где подставлено значение интеграла для .

Множитель при зависит от способа регуляризации (поведения закона Кулона на малых расстояниях или распределения заряда "в электроне"). Поэтому для , , в качестве характерного размера принято использовать отношение:

где восстановлена скорость света (). Эта характерная длина называется классическим радиусом электрона. Для сравнения, "размер" атома водорода (боровский радиус) порядка см, а типичный размер протона равен см.

Выше мы не вводили модели распределения заряда электрона, считая параметр некоторым способом регуляризации бесконечностей. Цель вычислений состояла в демонстрации релятивистской ковариантности интегральных выражений для энергии и импульса, при условии, что они следуют из тензора, удовлетворяющего уравнению непрерывности. Получив ковариантный результат, можно устремить к нулю. Выражения останутся ковариантными, хотя масса окажется бесконечной.

Можно стать на классическую точку зрения, считая, что заряд электрона "размазан" в пространстве и найти плотность заряда, соответствующую регуляризованным выражениям для напряженности поля. Так, из уравнений Максвелла для тензора () следует регуляризованное выражение для тока (), стр.\,\pageref{fld_partial_j}. В системе покоя электрона ему соответствует распределение заряда:

(EQN)

Чтобы удержать заряды для такого распределения необходимы дополнительные силы неэлектромагнитного происхождения. Именно эти силы (натяжения Пуанкаре) приводят к дополнительному тензору .

Условие в этом случае означает отсутствие сил, действующих на каждый элемент распределённого в пространстве заряда. Действительно, для энергии-импульса электромагнитного поля справедливо уравнение . В системе покоя и в отсутствии зависимости от времени, интегрируя это уравнение по бесконечно малому объёму, окружающему элемент заряда , получаем:

где во втором равенстве по теореме Гаусса, мы перешли к интегралу по поверхности , окружающий заряд, а в последнем, для бесконечно малого объёма, заменили на . На заряд со стороны остальных зарядов "размазанного в пространстве электрона" действует сила . Если — суммарная сила со стороны поля и удерживающих от разлетания сил равна нулю и конфигурация () стабильна.

В теории относительности подобные силы необходимо реализовывать при помощи введения нового поля. Такой способ объяснения природы массы становится уже не столь привлекательным как исходная идея Абрахама. Хотя наличие электромагнитной составляющей в массе заряженной частицы сомнения не вызывает. По всей видимости, для объяснения природы массы необходимы другие идеи. Одно из возможных направлений будет рассмотрено в последних двух разделах главы.


Спин << Оглавление (Последняя версия в: Глава 7) >> Взаимодействие зарядов без поля

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии