Ускоренно движущийся заряд излучает электромагнитные волны, а, следовательно, теряет энергию. В результате, чтобы ускорить заряженную частицу необходимо приложить большую силу, чем для ускорения незаряженной частицы с такой же массой. Этот эффект называют торможение излучением. Соответствующая сила, которую надо дополнительно преодолевать называется силой трения Лоренца.
Запишем потенциалы, создаваемые системой зарядов (стр.\,\pageref{retarded_potential_phi}):

Аналогично построению лагранжиана с исключенным электромагнитным полем (стр.\,\pageref{fld_zapazd_poten}) разложим скалярный и векторный потенциалы в бесконечный ряд по времени запаздывания
и найдем электрическое поле
:
![{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\,{\frac {\partial ^{n}}{\partial t^{n}}}\left\{-\nabla \left[\int \rho \,R^{n-1}d^{3}\mathbf {r} \right]-{\frac {\partial }{\partial t}}\left[\int \mathbf {j} \,R^{n-1}d^{3}\mathbf {r} \right]\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc1f8947d03d3d227c192116b53843eca3055b3a)
В первом интеграле возьмем градиент
и подставим плотность заряда
и тока
для точечного заряда
:

где
— радиус-вектор от заряда, движущегося со скоростью
по траектории
в точку
измерения поля. Перегруппируем слагаемые в сумме так, чтобы каждому
соответствовало выражение одного порядка по степеням фундаментальной скорости
. Второй член в фигурных скобках пропорционален
(
,
). Первой член имеет нулевой порядок по
. Оба они умножаются на
, благодаря
-й производной по времени. Поэтому, в сумме для первого члена в фигурных скобках выделим первые два слагаемых (второе равно нулю), а для остального ряда (начинающегося с
) сдвинем индекс суммирования
:

где выполнено элементарное разложение
.
Осталось вычислить производную:

где знаки минус появляются, так как
и
. Таким образом:

где
и производная действует на всё, что стоит справа от неё. От времени зависит как скорость заряда, так и радиус-вектор
. Поэтому
-я производная под знаком суммы выглядит достаточно громоздкой. Выражение для электрического поля упрощается в сопутствующей к заряду системе отсчета в которой
. В такой системе ненулевыми оказываются только ведущие производные по скорости (которые не умножаются на
). В результате, при
имеем:

где
— ускорение заряда и
. Выпишем первые три слагаемых, получившегося выражения:
|
(EQN)
|
Первые два слагаемых (при малой но ненулевой скорости
) были найдены ранее: см. (), стр.\,\pageref{fld_sys_1Q_E}. Третье слагаемое не зависит от расстояния, а следующие пропорциональны
, поэтому полученный ряд имеет смысл только на небольших от заряда расстояниях.
В -й главе большинство задач электродинамики сводилось к двум классам: 1) нахождение напряженностей поля при заданном распределении зарядов и токов; 2) определение траектории движения пробных зарядов во внешних (заданных) полях. Тем не менее, в лагранжевом формализме поля и частицы описываются единым образом. Поэтому, варьируя траектории частиц и поля независимым образом, мы получим равноправные уравнения частиц и поля, которые необходимо решать совместно. Напомним, также, что при выводе закона сохранения (теоремы Пойнтинга), стр.\,\pageref{energy_E} мы также считали поля и частицы равноправными, в том смысле, что суммарное поле, создаваемое всеми зарядами, в свою очередь, воздействует на эти заряды. Поэтому будем считать, что () действует на сам источник поля.
Непосредственно применить это выражение напряженности к точечному заряду нельзя. Для этого необходимо положить
или
. В результате, первые члены разложения окажутся бесконечными. Для первого "кулоновского" выражения это не так страшно. Хотя модуль силы в центре источника оказывается бесконечным, в силу сферической симметрии, это не приводит к силовому вектору, который мог бы перемещать точечный заряд. Однако члены в фигурных скобках, зависящие от ускорения, не являются сферически симметричными.
Для устранения бесконечностей можно рассмотреть некоторое компактное, но несингулярное распределение заряда "в электроне". В этом случае отдельные "части" электрона, взаимодействуя с другими, приводят к суммарной силе, действующей на электрон в целом. Такую модель рассмотрели в своё время Абрахам (1903 г.) и Лоренц (1904 г.). В их модели электрон считается жестким. Это означает, что сферически симметричное распределение заряда
движется как целое по траектории
. В сопутствующей заряду системе отсчета
, поэтому магнитной составляющей силы нет и суммарная сила, действующая на заряд определяется электрическим полем:

где для
в свою очередь надо записать интеграл по всем зарядам, заменяя
на
. Член в фигурных скобках в () приводит к силе, зависящей от ускорения:

где
. Этот интеграл является вектором, а так как единственный вектор, который в него входит — это ускорение
, то интеграл пропорционален
. Чтобы найти коэффициент пропорциональности, нужно умножить
на
. Вводя единичный вектор
, получим:

Второе равенство следует из того, что все направления вектора
являются равноправными и выражение
можно (
\,H) заменить на 1/3. Замечая, что получившийся интеграл с коэффициентом 1/2 равен электростатической энергии
распределения зарядов
(или энергии поля, см.стр.\,\pageref{em_electrostatk_energy}), окончательно получаем:
Аналогично вычисляются интегралы для остальных членов ряда:
|
(EQN)
|
где форм-факторы
зависят от модели распределения заряда:
|
(EQN)
|
Несложно видеть, что бесконечный ряд () можно свернуть, записав силу в следующем изящном виде:
|
(EQN)
|
При
форм-фактор равен квадрату суммарного заряда:
. При
, для компактного распределения заряда размером
имеем
. Если
, то эти величины являются малыми и ими можно пренебречь. В результате, получается следующее выражение для силы, действующей на электрон в сопутствующей системе отсчета:

где
— внешняя сила, сообщающая заряду ускорение. Член пропорциональный ускорению можно перенести в левую часть уравнения, переопределив массу
. Поэтому, окончательно, уравнение движения, справедливое при малых скоростях, заряда имеет вид:
|
(EQN)
|
Масса
содержит в себе механическую массу
и массу электромагнитного поля. То что она равна не
, а
можно объяснить наличием натяжений Пуанкаре. Чтобы жесткий электрон с распределением заряда
был стабилен, требуются дополнительные силы, удерживающие его от "разлетания". Энергию этих сил также необходимо учитывать в динамическом уравнении. При этом, скорее всего, ускоренно движущийся электрон не может быть жестким, и должен испытывать некие деформации, а удерживающие силы, в свою очередь, должны терять энергию на излучение. Структура электрона нам неизвестна, поэтому что либо конкретное сказать обо всех этих эффектах мы не можем и обычно предполагается, что они пренебрежимо малы. По всей видимости, стоит считать, что уравнение () является некоторым приближением, справедливым, до тех пор, пока сила трения Лоренца мала.
Как было установлено в -й главе, заряд, движущийся с ускорением
, излучает электромагнитные волны, теряя энергию в соответствии с формулой Лармора (), стр.\,\pageref{Larmor_eq}:
|
(EQN)
|
С другой стороны, производная энергии по времени равна произведению силы на скорость (), стр.\,\pageref{F_eq_move_EuF}. Найдем работу, совершаемую против сил трения Лоренца за время
, воспользовавшись уравнением () и соотношением
:

Величина
будет равна нулю в среднем при периодическом движении или в пределе малой скорости (для которого получена сила трения) и большого ускорения. Пренебрегая этим членом, получаем выражение для формулы Лармора (). Таким образом, сила трения Лоренца, действительно, связана с излучением электромагнитных волн.
Проведенное вычисление не применимо при равноускоренном движении
. В этом случае сила трения равна нулю, а эффект излучения проявляется только в появлении электромагнитной массы в левой части уравнения (). Заряд становится тяжелее и его труднее становится ускорить.
Выясним когда эффект трения существенен. Пусть заряд из состояния покоя с ускорением
за время
приобретает скорость
. Его энергия (в нерелятивистском пределе) изменяется на
. Эффект трения излучения будет существенен, если эта энергия сравнима с потерей энергии на излучения () за это же время:

Откуда, опуская числовые множители и восстанавливая фундаментальную скорость, получаем характерное время:
|
(EQN)
|
где Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle r_0=2.8\cdot 10^{-13}\;см}
— классический радиус электрона. Таким образом, если сила в течении времени
существенно меняет скорость частицы, то на её динамику влияют эффекты излучения. При более плавном (медленном) ускорении
, эффект трения мал и может рассматриваться как поправка к динамическому уравнению
.
Исходя из проделанных оценок и замечаний, сделанных в конце страницы \pageref{Abraham_Lorenz_v0}, следует, что решение уравнение () необходимо получать при помощи теории возмущений. Для этого траектория частицы, её скорость и ускорение раскладываются в ряд:

которые подставляются в (): В качестве нулевого приближения берется уравнение без силы трения:

При помощи его решения находятся следующие поправки:

и т.д. Такой метод в частности исключает появление самоускоряющегося решения при отсутствии внешней силы. Действительно, если
, формально уравнение
, кроме физически осмысленного (в отсутствии внешних воздействий) решения
, имеет ускоряющееся решение
. В соответствии с таким решением, электрон, например, пролетев ускоряющее поле в конденсаторе, после выхода из него (имея
), должен был бы продолжать неограниченно ускоряться. При решении уравнения по теории возмущения такого нефизичного решения не возникает.
Уравнение () позволяет разобраться с ответом на вопрос "оказывает ли внешняя электромагнитная волна давление на заряд?". С одной стороны — "конечно — да!" (опыты Лебедева по световому давлению тому явное подтверждение). С другой стороны, решение уравнений движения пробной частицы в поле плоской волны приводит к парадоксальному заключению об отсутствии ускоренного движения вдоль волнового вектора (по которому направлено) давление. Чтобы получить наблюдаемый на эксперименте эффект светового давления необходимо решить уравнение движения с учетом самодействия:
|
(EQN)
|
где
,
— напряженности поля плоской волны, поляризованной, например, по кругу:

и распространяющейся вдоль оси
(
).
При помощи преобразований Лоренца для силы и ускорения уравнение () можно записать в произвольной системе отсчета. Впрочем, ковариантное выражение для силы можно получить сразу из общих соображений. Напомним, что 4-ускорение (), стр.\,\pageref{acsel_4vec}:
|
(EQN)
|
определяется при помощи 4-скорости
и интервала (собственного времени)
, вычисленного вдоль траектории частицы. 4-силой называется 4-вектор
, где
— масса частицы.
В системе в которой частица покоится, векторная часть силы трения, в соответствии с () должна равняться
. Если
из () имеем
. Поэтому:

Силу трения Лоренца можно (
\,C) разложить по двум 4-векторам:

где
и
— некоторые скаляры. Воспользуемся тем, что 4-скорость и сила ортогональны друг другу:

или
. Это условие приводит к соотношению
, где учтено тождество, связывающее скалярное произведение производной 4-ускорения и 4-скорости. Оно получается ещё одним дифференцированием по
условия ортогональности:

При
имеем
. В результате, в произвольной системе отсчета ковариантное уравнение движения имеет вид:
|
(EQN)
|
Это же уравнение можно переписать в 3-мерных обозначениях:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m\,\mathbf {v} }{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}}\right)=\mathbf {f} _{ext}+{\frac {2}{3}}\,Q^{2}\left\{{\frac {{\dot {\mathbf {a} }}+[\mathbf {v} \times [\mathbf {v} \times {\dot {\mathbf {a} }}]]}{(1-\mathbf {v} ^{2})^{2}}}+3(\mathbf {v} \mathbf {a} )\,{\frac {\mathbf {a} +[\mathbf {v} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {a} ]]}{(1-\mathbf {v} ^{2})^{4}}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563235261cfe84545ad5ecf464f5457ef010a61b)
где
. Если
мы снова возвращаемся к уравнению ().
Если в качестве ускоряющей частицу силы используется внешнее электромагнитное поле
, уравнения движения имеют вид:
|
(EQN)
|
где в безиндексных обозначениях (прямой шрифт!) 4-вектор
. Применим к этому уравнению теорию возмущений. Для этого ряд

подставим в уравнение движения (штрих — производная по
):

Приравнивая одинаковые порядки малости, получаем цепочку уравнений:


и т.д. Решая их последовательно, можно найти динамику движения заряда в произвольном внешнем поле с учетом силы трения.
При движении в постоянном электрическом поле
мы имеем равноускоренное движение. Если в начальный момент времени частица покоилась, то
, где
, см. стр.\,\pageref{h_fl_dynam_in_E}. Несложно видеть, что релятивистская сила трения (как и нерелятивистская) в этом случае равна нулю. Это же справедливо при равноускоренном движении вдоль прямой с ненулевой начальной скоростью (
\,H).
В общем случае релятивистски равноускоренное движение можно определить как движение, при котором квадрат 4-ускорения (или 4-силы) остаётся постоянным
. Действительно, компоненты 4-силы
можно записать следующим образом (см. стр.\,\pageref{lorenz_vec0_f}):

где
— постоянная (при равноускоренном движении) 3-сила,
— энергия и
— импульс заряда. Поэтому
. Дифференцируя по лабораторному времени (или собственному времени заряда), имеем:

где учтено, что
,
и
. Чтобы убедиться в том, что квадрат 4-ускорения отрицателен, достаточно вычислить его в системе отсчета, где частица покоится.
Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии