Самодействие электрона

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Взаимодействие зарядов без поля << Оглавление (Последняя версия в: Глава 7) >> Нелинейная электродинамика

Ускоренно движущийся заряд излучает электромагнитные волны, а, следовательно, теряет энергию. В результате, чтобы ускорить заряженную частицу необходимо приложить большую силу, чем для ускорения незаряженной частицы с такой же массой. Этот эффект называют торможение излучением. Соответствующая сила, которую надо дополнительно преодолевать называется силой трения Лоренца.

Запишем потенциалы, создаваемые системой зарядов (стр.\,\pageref{retarded_potential_phi}):

Аналогично построению лагранжиана с исключенным электромагнитным полем (стр.\,\pageref{fld_zapazd_poten}) разложим скалярный и векторный потенциалы в бесконечный ряд по времени запаздывания и найдем электрическое поле :

В первом интеграле возьмем градиент и подставим плотность заряда и тока для точечного заряда :

где — радиус-вектор от заряда, движущегося со скоростью по траектории в точку измерения поля. Перегруппируем слагаемые в сумме так, чтобы каждому соответствовало выражение одного порядка по степеням фундаментальной скорости . Второй член в фигурных скобках пропорционален (, ). Первой член имеет нулевой порядок по . Оба они умножаются на , благодаря -й производной по времени. Поэтому, в сумме для первого члена в фигурных скобках выделим первые два слагаемых (второе равно нулю), а для остального ряда (начинающегося с ) сдвинем индекс суммирования :

где выполнено элементарное разложение .

Осталось вычислить производную:

где знаки минус появляются, так как и . Таким образом:

где и производная действует на всё, что стоит справа от неё. От времени зависит как скорость заряда, так и радиус-вектор . Поэтому -я производная под знаком суммы выглядит достаточно громоздкой. Выражение для электрического поля упрощается в сопутствующей к заряду системе отсчета в которой . В такой системе ненулевыми оказываются только ведущие производные по скорости (которые не умножаются на ). В результате, при имеем:

где — ускорение заряда и . Выпишем первые три слагаемых, получившегося выражения:

(EQN)

Первые два слагаемых (при малой но ненулевой скорости ) были найдены ранее: см. (), стр.\,\pageref{fld_sys_1Q_E}. Третье слагаемое не зависит от расстояния, а следующие пропорциональны , поэтому полученный ряд имеет смысл только на небольших от заряда расстояниях.

В -й главе большинство задач электродинамики сводилось к двум классам: 1) нахождение напряженностей поля при заданном распределении зарядов и токов; 2) определение траектории движения пробных зарядов во внешних (заданных) полях. Тем не менее, в лагранжевом формализме поля и частицы описываются единым образом. Поэтому, варьируя траектории частиц и поля независимым образом, мы получим равноправные уравнения частиц и поля, которые необходимо решать совместно. Напомним, также, что при выводе закона сохранения (теоремы Пойнтинга), стр.\,\pageref{energy_E} мы также считали поля и частицы равноправными, в том смысле, что суммарное поле, создаваемое всеми зарядами, в свою очередь, воздействует на эти заряды. Поэтому будем считать, что () действует на сам источник поля.

Непосредственно применить это выражение напряженности к точечному заряду нельзя. Для этого необходимо положить или . В результате, первые члены разложения окажутся бесконечными. Для первого "кулоновского" выражения это не так страшно. Хотя модуль силы в центре источника оказывается бесконечным, в силу сферической симметрии, это не приводит к силовому вектору, который мог бы перемещать точечный заряд. Однако члены в фигурных скобках, зависящие от ускорения, не являются сферически симметричными.

Для устранения бесконечностей можно рассмотреть некоторое компактное, но несингулярное распределение заряда "в электроне". В этом случае отдельные "части" электрона, взаимодействуя с другими, приводят к суммарной силе, действующей на электрон в целом. Такую модель рассмотрели в своё время Абрахам (1903 г.) и Лоренц (1904 г.). В их модели электрон считается жестким. Это означает, что сферически симметричное распределение заряда движется как целое по траектории . В сопутствующей заряду системе отсчета , поэтому магнитной составляющей силы нет и суммарная сила, действующая на заряд определяется электрическим полем:

где для в свою очередь надо записать интеграл по всем зарядам, заменяя на . Член в фигурных скобках в () приводит к силе, зависящей от ускорения:

где . Этот интеграл является вектором, а так как единственный вектор, который в него входит — это ускорение , то интеграл пропорционален . Чтобы найти коэффициент пропорциональности, нужно умножить на . Вводя единичный вектор , получим:

Второе равенство следует из того, что все направления вектора являются равноправными и выражение можно (\,H) заменить на 1/3. Замечая, что получившийся интеграл с коэффициентом 1/2 равен электростатической энергии распределения зарядов (или энергии поля, см.стр.\,\pageref{em_electrostatk_energy}), окончательно получаем:

Аналогично вычисляются интегралы для остальных членов ряда:

(EQN)

где форм-факторы зависят от модели распределения заряда:

(EQN)

Несложно видеть, что бесконечный ряд () можно свернуть, записав силу в следующем изящном виде:

(EQN)

При форм-фактор равен квадрату суммарного заряда: . При , для компактного распределения заряда размером имеем . Если , то эти величины являются малыми и ими можно пренебречь. В результате, получается следующее выражение для силы, действующей на электрон в сопутствующей системе отсчета:

где — внешняя сила, сообщающая заряду ускорение. Член пропорциональный ускорению можно перенести в левую часть уравнения, переопределив массу . Поэтому, окончательно, уравнение движения, справедливое при малых скоростях, заряда имеет вид:

(EQN)

Масса содержит в себе механическую массу и массу электромагнитного поля. То что она равна не , а можно объяснить наличием натяжений Пуанкаре. Чтобы жесткий электрон с распределением заряда был стабилен, требуются дополнительные силы, удерживающие его от "разлетания". Энергию этих сил также необходимо учитывать в динамическом уравнении. При этом, скорее всего, ускоренно движущийся электрон не может быть жестким, и должен испытывать некие деформации, а удерживающие силы, в свою очередь, должны терять энергию на излучение. Структура электрона нам неизвестна, поэтому что либо конкретное сказать обо всех этих эффектах мы не можем и обычно предполагается, что они пренебрежимо малы. По всей видимости, стоит считать, что уравнение () является некоторым приближением, справедливым, до тех пор, пока сила трения Лоренца мала.

Как было установлено в -й главе, заряд, движущийся с ускорением , излучает электромагнитные волны, теряя энергию в соответствии с формулой Лармора (), стр.\,\pageref{Larmor_eq}:

(EQN)

С другой стороны, производная энергии по времени равна произведению силы на скорость (), стр.\,\pageref{F_eq_move_EuF}. Найдем работу, совершаемую против сил трения Лоренца за время , воспользовавшись уравнением () и соотношением :

Величина будет равна нулю в среднем при периодическом движении или в пределе малой скорости (для которого получена сила трения) и большого ускорения. Пренебрегая этим членом, получаем выражение для формулы Лармора (). Таким образом, сила трения Лоренца, действительно, связана с излучением электромагнитных волн.

Проведенное вычисление не применимо при равноускоренном движении . В этом случае сила трения равна нулю, а эффект излучения проявляется только в появлении электромагнитной массы в левой части уравнения (). Заряд становится тяжелее и его труднее становится ускорить.

Выясним когда эффект трения существенен. Пусть заряд из состояния покоя с ускорением за время приобретает скорость . Его энергия (в нерелятивистском пределе) изменяется на . Эффект трения излучения будет существенен, если эта энергия сравнима с потерей энергии на излучения () за это же время:

Откуда, опуская числовые множители и восстанавливая фундаментальную скорость, получаем характерное время:

(EQN)

где — классический радиус электрона. Таким образом, если сила в течении времени существенно меняет скорость частицы, то на её динамику влияют эффекты излучения. При более плавном (медленном) ускорении , эффект трения мал и может рассматриваться как поправка к динамическому уравнению .

Исходя из проделанных оценок и замечаний, сделанных в конце страницы \pageref{Abraham_Lorenz_v0}, следует, что решение уравнение () необходимо получать при помощи теории возмущений. Для этого траектория частицы, её скорость и ускорение раскладываются в ряд:

которые подставляются в (): В качестве нулевого приближения берется уравнение без силы трения:

При помощи его решения находятся следующие поправки:

и т.д. Такой метод в частности исключает появление самоускоряющегося решения при отсутствии внешней силы. Действительно, если , формально уравнение , кроме физически осмысленного (в отсутствии внешних воздействий) решения , имеет ускоряющееся решение . В соответствии с таким решением, электрон, например, пролетев ускоряющее поле в конденсаторе, после выхода из него (имея ), должен был бы продолжать неограниченно ускоряться. При решении уравнения по теории возмущения такого нефизичного решения не возникает.

Уравнение () позволяет разобраться с ответом на вопрос "оказывает ли внешняя электромагнитная волна давление на заряд?". С одной стороны — "конечно — да!" (опыты Лебедева по световому давлению тому явное подтверждение). С другой стороны, решение уравнений движения пробной частицы в поле плоской волны приводит к парадоксальному заключению об отсутствии ускоренного движения вдоль волнового вектора (по которому направлено) давление. Чтобы получить наблюдаемый на эксперименте эффект светового давления необходимо решить уравнение движения с учетом самодействия:

(EQN)

где , — напряженности поля плоской волны, поляризованной, например, по кругу:

и распространяющейся вдоль оси ().

При помощи преобразований Лоренца для силы и ускорения уравнение () можно записать в произвольной системе отсчета. Впрочем, ковариантное выражение для силы можно получить сразу из общих соображений. Напомним, что 4-ускорение (), стр.\,\pageref{acsel_4vec}:

(EQN)

определяется при помощи 4-скорости и интервала (собственного времени) , вычисленного вдоль траектории частицы. 4-силой называется 4-вектор , где — масса частицы.

В системе в которой частица покоится, векторная часть силы трения, в соответствии с () должна равняться . Если из () имеем . Поэтому:

Силу трения Лоренца можно (\,C) разложить по двум 4-векторам:

где и — некоторые скаляры. Воспользуемся тем, что 4-скорость и сила ортогональны друг другу:

или . Это условие приводит к соотношению , где учтено тождество, связывающее скалярное произведение производной 4-ускорения и 4-скорости. Оно получается ещё одним дифференцированием по условия ортогональности:

При имеем . В результате, в произвольной системе отсчета ковариантное уравнение движения имеет вид:

(EQN)

Это же уравнение можно переписать в 3-мерных обозначениях:

где . Если мы снова возвращаемся к уравнению ().

Если в качестве ускоряющей частицу силы используется внешнее электромагнитное поле , уравнения движения имеют вид:

(EQN)

где в безиндексных обозначениях (прямой шрифт!) 4-вектор . Применим к этому уравнению теорию возмущений. Для этого ряд

подставим в уравнение движения (штрих — производная по ):

Приравнивая одинаковые порядки малости, получаем цепочку уравнений:

и т.д. Решая их последовательно, можно найти динамику движения заряда в произвольном внешнем поле с учетом силы трения.

При движении в постоянном электрическом поле мы имеем равноускоренное движение. Если в начальный момент времени частица покоилась, то , где , см. стр.\,\pageref{h_fl_dynam_in_E}. Несложно видеть, что релятивистская сила трения (как и нерелятивистская) в этом случае равна нулю. Это же справедливо при равноускоренном движении вдоль прямой с ненулевой начальной скоростью (\,H).

В общем случае релятивистски равноускоренное движение можно определить как движение, при котором квадрат 4-ускорения (или 4-силы) остаётся постоянным . Действительно, компоненты 4-силы можно записать следующим образом (см. стр.\,\pageref{lorenz_vec0_f}):

где постоянная (при равноускоренном движении) 3-сила, — энергия и — импульс заряда. Поэтому . Дифференцируя по лабораторному времени (или собственному времени заряда), имеем:

где учтено, что , и . Чтобы убедиться в том, что квадрат 4-ускорения отрицателен, достаточно вычислить его в системе отсчета, где частица покоится.


Взаимодействие зарядов без поля << Оглавление (Последняя версия в: Глава 7) >> Нелинейная электродинамика

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии