Самодействие электрона

Взаимодействие зарядов без поля <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 7)	>> Нелинейная электродинамика

---

Ускоренно движущийся заряд излучает электромагнитные волны, а, следовательно, теряет энергию. В результате, чтобы ускорить заряженную частицу необходимо приложить большую силу, чем для ускорения незаряженной частицы с такой же массой. Этот эффект называют торможение излучением. Соответствующая сила, которую надо дополнительно преодолевать называется силой трения Лоренца.

Запишем потенциалы, создаваемые системой зарядов (стр.\,\pageref{retarded_potential_phi}):

$\varphi (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ,\;t-R)}{R}}\,d^{3}\mathbf {r} ,\;\;\;\;\;\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ,\;t-R)}{R}}\,d^{3}\mathbf {r} ,$

Аналогично построению лагранжиана с исключенным электромагнитным полем (стр.\,\pageref{fld_zapazd_poten}) разложим скалярный и векторный потенциалы в бесконечный ряд по времени запаздывания $\textstyle R=|\mathbf {x} -\mathbf {r} |$ и найдем электрическое поле $\textstyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -\partial \mathbf {A} /\partial t$:

$\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\,{\frac {\partial ^{n}}{\partial t^{n}}}\left\{-\nabla \left[\int \rho \,R^{n-1}d^{3}\mathbf {r} \right]-{\frac {\partial }{\partial t}}\left[\int \mathbf {j} \,R^{n-1}d^{3}\mathbf {r} \right]\right\}.$

В первом интеграле возьмем градиент $\textstyle \nabla R^{n-1}=(n-1)R^{n-3}\mathbf {R}$ и подставим плотность заряда $\textstyle \rho (\mathbf {r} ,t)=Q\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {x} _{0}(t))$ и тока $\textstyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (t)\rho (\mathbf {r,t} )$ для точечного заряда $\textstyle Q$:

$\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=Q\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n!}}\,{\frac {\partial ^{n}}{\partial t^{n}}}\left\{(n-1)R^{n-3}\mathbf {R} +{\frac {\partial (\mathbf {v} \,R^{n-1})}{\partial t}}\right\},$

где $\textstyle \mathbf {R} =\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(t)$ — радиус-вектор от заряда, движущегося со скоростью $\textstyle \mathbf {v} =d\mathbf {x} _{0}/dt$ по траектории $\textstyle \mathbf {x} _{0}(t)$ в точку $\textstyle \mathbf {x}$ измерения поля. Перегруппируем слагаемые в сумме так, чтобы каждому $\textstyle n$ соответствовало выражение одного порядка по степеням фундаментальной скорости $\textstyle c$. Второй член в фигурных скобках пропорционален $\textstyle 1/c^{2}$ ($\textstyle \mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} /c$, $\textstyle t\mapsto ct$). Первой член имеет нулевой порядок по $\textstyle c$. Оба они умножаются на $\textstyle 1/c^{n}$, благодаря $\textstyle n$-й производной по времени. Поэтому, в сумме для первого члена в фигурных скобках выделим первые два слагаемых (второе равно нулю), а для остального ряда (начинающегося с $\textstyle n=2$) сдвинем индекс суммирования $\textstyle n\mapsto n+2$:

$\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {Q}{R^{3}}}\,\mathbf {R} +Q\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n!}}\,{\frac {\partial ^{n+1}}{\partial t^{n+1}}}\left\{{\frac {1}{n+2}}{\frac {\partial (R^{n-1}\mathbf {R} )}{\partial t}}+\mathbf {v} \,R^{n-1}\right\},$

где выполнено элементарное разложение $\textstyle (n+2)!=(n+2)(n+1)n!$.

Осталось вычислить производную:

${\frac {\partial (R^{n-1}\mathbf {R} )}{\partial t}}=-R^{n-1}\mathbf {v} -(n-1)R^{n-3}(\mathbf {R} \mathbf {v} )\mathbf {R} ,$

где знаки минус появляются, так как $\textstyle \mathbf {R} =\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(t)$ и $\textstyle \partial \mathbf {R} /\partial t=-\mathbf {v}$. Таким образом:

$\mathbf {E} ={\frac {Q}{R^{3}}}\,\mathbf {R} +Q\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{(n+2)\,n!}}\,{\frac {\partial ^{n+1}}{\partial t^{n+1}}}\left\{(n+1)\,\mathbf {v} -(n-1)\,(\mathbf {v} \mathbf {N} )\,\mathbf {N} \right\}\,R^{n-1},$

где $\textstyle \mathbf {N} =\mathbf {R} /R$ и производная действует на всё, что стоит справа от неё. От времени зависит как скорость заряда, так и радиус-вектор $\textstyle \mathbf {R}$. Поэтому $\textstyle (n+1)$-я производная под знаком суммы выглядит достаточно громоздкой. Выражение для электрического поля упрощается в сопутствующей к заряду системе отсчета в которой $\textstyle \mathbf {v} =0$. В такой системе ненулевыми оказываются только ведущие производные по скорости (которые не умножаются на $\textstyle \mathbf {v}$). В результате, при $\textstyle \mathbf {v} =0$ имеем:

$\mathbf {E} ={\frac {Q}{R^{3}}}\,\mathbf {R} +Q\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{(n+2)\,n!}}\,\left\{(n+1)\,\mathbf {a} ^{(n)}-(n-1)\,(\mathbf {a} ^{(n)}\,\mathbf {N} )\,\mathbf {N} \right\}\,R^{n-1},$

где $\textstyle \mathbf {a} =d\mathbf {v} /dt$ — ускорение заряда и $\textstyle \mathbf {a} ^{(n)}=d^{n}\mathbf {a} /dt^{n}$. Выпишем первые три слагаемых, получившегося выражения:

$\mathbf {E} \approx Q\,{\frac {\mathbf {R} }{R^{3}}}-{\frac {Q}{2}}\,\left\{{\frac {\mathbf {a} }{R}}+{\frac {(\mathbf {a} \mathbf {R} )\mathbf {R} }{R^{3}}}\right\}+{\frac {2}{3}}\,Q\,{\frac {d\mathbf {a} }{dt}}+...$

(EQN)

Первые два слагаемых (при малой но ненулевой скорости $\textstyle \mathbf {v}$) были найдены ранее: см. (), стр.\,\pageref{fld_sys_1Q_E}. Третье слагаемое не зависит от расстояния, а следующие пропорциональны $\textstyle R^{n}$, поэтому полученный ряд имеет смысл только на небольших от заряда расстояниях.

В -й главе большинство задач электродинамики сводилось к двум классам: 1) нахождение напряженностей поля при заданном распределении зарядов и токов; 2) определение траектории движения пробных зарядов во внешних (заданных) полях. Тем не менее, в лагранжевом формализме поля и частицы описываются единым образом. Поэтому, варьируя траектории частиц и поля независимым образом, мы получим равноправные уравнения частиц и поля, которые необходимо решать совместно. Напомним, также, что при выводе закона сохранения (теоремы Пойнтинга), стр.\,\pageref{energy_E} мы также считали поля и частицы равноправными, в том смысле, что суммарное поле, создаваемое всеми зарядами, в свою очередь, воздействует на эти заряды. Поэтому будем считать, что () действует на сам источник поля.

Непосредственно применить это выражение напряженности к точечному заряду нельзя. Для этого необходимо положить $\textstyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}$ или $\textstyle R=0$. В результате, первые члены разложения окажутся бесконечными. Для первого "кулоновского" выражения это не так страшно. Хотя модуль силы в центре источника оказывается бесконечным, в силу сферической симметрии, это не приводит к силовому вектору, который мог бы перемещать точечный заряд. Однако члены в фигурных скобках, зависящие от ускорения, не являются сферически симметричными.

Для устранения бесконечностей можно рассмотреть некоторое компактное, но несингулярное распределение заряда "в электроне". В этом случае отдельные "части" электрона, взаимодействуя с другими, приводят к суммарной силе, действующей на электрон в целом. Такую модель рассмотрели в своё время Абрахам (1903 г.) и Лоренц (1904 г.). В их модели электрон считается жестким. Это означает, что сферически симметричное распределение заряда $\textstyle \rho (\mathbf {r} )=\rho (r)$ движется как целое по траектории $\textstyle \mathbf {x} _{0}(t)$. В сопутствующей заряду системе отсчета $\textstyle \mathbf {v} =0$, поэтому магнитной составляющей силы нет и суммарная сила, действующая на заряд определяется электрическим полем:

$\mathbf {f} =\int \rho (r)\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} ,$

где для $\textstyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)$ в свою очередь надо записать интеграл по всем зарядам, заменяя $\textstyle Q$ на $\textstyle dQ=\rho (r')d^{3}\mathbf {r} '$. Член в фигурных скобках в () приводит к силе, зависящей от ускорения:

$\mathbf {f} _{1}=-{\frac {1}{2}}\int \rho (r)\rho (r')\,\left\{{\frac {\mathbf {a} }{R}}+{\frac {(\mathbf {a} \mathbf {R} )\mathbf {R} }{R^{3}}}\right\}d^{3}\mathbf {r} d^{3}\mathbf {r} ',$

где $\textstyle \mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r} '$. Этот интеграл является вектором, а так как единственный вектор, который в него входит — это ускорение $\textstyle \mathbf {a}$, то интеграл пропорционален $\textstyle \mathbf {a}$. Чтобы найти коэффициент пропорциональности, нужно умножить $\textstyle \mathbf {f} _{1}$ на $\textstyle \mathbf {a}$. Вводя единичный вектор $\textstyle \mathbf {n} =\mathbf {a} /a$, получим:

$\mathbf {f} _{1}=-{\frac {\mathbf {a} }{2}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{R}}\,\left\{1+{\frac {(\mathbf {n} \mathbf {R} )^{2}}{R^{2}}}\right\}d^{3}\mathbf {r} d^{3}\mathbf {r} '=-{\frac {2}{3}}\,\mathbf {a} \,\int {\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{R}}\,d^{3}\mathbf {r} d^{3}\mathbf {r} '.$

Второе равенство следует из того, что все направления вектора $\textstyle \mathbf {R}$ являются равноправными и выражение $\textstyle (\mathbf {n} \mathbf {R} )^{2}/R^{2}$ можно ($\textstyle \lessdot$\,H) заменить на 1/3. Замечая, что получившийся интеграл с коэффициентом 1/2 равен электростатической энергии $\textstyle U$ распределения зарядов $\textstyle \rho (r)$ (или энергии поля, см.стр.\,\pageref{em_electrostatk_energy}), окончательно получаем: $\textstyle \mathbf {f} _{1}=-{\frac {4}{3}}\,U\,\mathbf {a} .$

Аналогично вычисляются интегралы для остальных членов ряда:

$\mathbf {f} ={\frac {2}{3}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{\,n!}}\,\,G_{n}\,\,{\frac {d^{n}\mathbf {a} }{dt^{n}}},$

(EQN)

где форм-факторы $\textstyle G_{n}$ зависят от модели распределения заряда:

$G_{n}=\int \rho (r)\rho (r')\,|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{n-1}\,d^{3}\mathbf {r} d^{3}\mathbf {r} '.$

(EQN)

Несложно видеть, что бесконечный ряд () можно свернуть, записав силу в следующем изящном виде:

$\mathbf {f} =-{\frac {2}{3}}\int {\frac {\rho (r)\rho (r')}{R}}\,\mathbf {a} (t-R)\,d^{3}\mathbf {r} d^{3}\mathbf {r} '.$

(EQN)

При $\textstyle n=1$ форм-фактор равен квадрату суммарного заряда: $\textstyle G_{1}=Q^{2}$. При $\textstyle n>1$, для компактного распределения заряда размером $\textstyle r_{0}$ имеем $\textstyle G_{n}\sim Q^{2}r_{0}^{n-1}$. Если $\textstyle r_{0}\to 0$, то эти величины являются малыми и ими можно пренебречь. В результате, получается следующее выражение для силы, действующей на электрон в сопутствующей системе отсчета:

$m_{0}\mathbf {a} =\mathbf {f} _{ext}-{\frac {4}{3}}U\mathbf {a} +{\frac {2}{3}}\,Q^{2}\,{\frac {d\mathbf {a} }{dt}},$

где $\textstyle \mathbf {f} _{\mathrm {e} xt}$ — внешняя сила, сообщающая заряду ускорение. Член пропорциональный ускорению можно перенести в левую часть уравнения, переопределив массу $\textstyle m=m_{0}+4U/3$. Поэтому, окончательно, уравнение движения, справедливое при малых скоростях, заряда имеет вид:

$m\mathbf {a} =\mathbf {f} _{ext}+{\frac {2}{3}}\,Q^{2}\,{\frac {d\mathbf {a} }{dt}}.$

(EQN)

Масса $\textstyle m$ содержит в себе механическую массу $\textstyle m_{0}$ и массу электромагнитного поля. То что она равна не $\textstyle U$, а $\textstyle (4/3)U$ можно объяснить наличием натяжений Пуанкаре. Чтобы жесткий электрон с распределением заряда $\textstyle \rho (r)$ был стабилен, требуются дополнительные силы, удерживающие его от "разлетания". Энергию этих сил также необходимо учитывать в динамическом уравнении. При этом, скорее всего, ускоренно движущийся электрон не может быть жестким, и должен испытывать некие деформации, а удерживающие силы, в свою очередь, должны терять энергию на излучение. Структура электрона нам неизвестна, поэтому что либо конкретное сказать обо всех этих эффектах мы не можем и обычно предполагается, что они пренебрежимо малы. По всей видимости, стоит считать, что уравнение () является некоторым приближением, справедливым, до тех пор, пока сила трения Лоренца мала.

$\textstyle \bullet$ Как было установлено в -й главе, заряд, движущийся с ускорением $\textstyle \mathbf {a}$, излучает электромагнитные волны, теряя энергию в соответствии с формулой Лармора (), стр.\,\pageref{Larmor_eq}:

$I={\frac {d{\mathcal {E}}}{dt}}={\frac {2}{3}}\,Q^{2}\,\mathbf {a} ^{2}.$

(EQN)

С другой стороны, производная энергии по времени равна произведению силы на скорость (), стр.\,\pageref{F_eq_move_EuF}. Найдем работу, совершаемую против сил трения Лоренца за время $\textstyle t_{2}-t_{1}$, воспользовавшись уравнением () и соотношением $\textstyle \mathbf {v} d\mathbf {a} /dt=d(\mathbf {v} \mathbf {a} )/dt-\mathbf {a} ^{2}$:

$\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {f} \mathbf {v} \,dt={\frac {2}{3}}\,Q^{2}\,\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\mathbf {v} \,dt={\frac {2}{3}}\,Q^{2}\,(\mathbf {v} \mathbf {a} ){\Bigl |}_{t_{1}}^{t_{2}}-{\frac {2}{3}}\,Q^{2}\,\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {a} ^{2}\,dt.$

Величина $\textstyle (\mathbf {a} \mathbf {v} ){\bigl |}_{t_{1}}^{t_{2}}$ будет равна нулю в среднем при периодическом движении или в пределе малой скорости (для которого получена сила трения) и большого ускорения. Пренебрегая этим членом, получаем выражение для формулы Лармора (). Таким образом, сила трения Лоренца, действительно, связана с излучением электромагнитных волн.

Проведенное вычисление не применимо при равноускоренном движении $\textstyle \mathbf {a} =const$. В этом случае сила трения равна нулю, а эффект излучения проявляется только в появлении электромагнитной массы в левой части уравнения (). Заряд становится тяжелее и его труднее становится ускорить.

Выясним когда эффект трения существенен. Пусть заряд из состояния покоя с ускорением $\textstyle a$ за время $\textstyle T$ приобретает скорость $\textstyle aT$. Его энергия (в нерелятивистском пределе) изменяется на $\textstyle \Delta {\mathcal {E}}=m(aT)^{2}/2$. Эффект трения излучения будет существенен, если эта энергия сравнима с потерей энергии на излучения () за это же время:

$m{\frac {(aT)^{2}}{2}}\sim {\frac {2}{3}}\,Q^{2}\,a^{2}\,T.$

Откуда, опуская числовые множители и восстанавливая фундаментальную скорость, получаем характерное время:

$T_{0}\sim {\frac {Q^{2}}{mc^{3}}}={\frac {r_{0}}{c}}=9.3\cdot 10^{-24}\;sec,$

(EQN)

где Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle r_0=2.8\cdot 10^{-13}\;см} — классический радиус электрона. Таким образом, если сила в течении времени $\textstyle T<T_{0}$ существенно меняет скорость частицы, то на её динамику влияют эффекты излучения. При более плавном (медленном) ускорении $\textstyle T\gg T_{0}$, эффект трения мал и может рассматриваться как поправка к динамическому уравнению $\textstyle m\mathbf {a} =\mathbf {f} _{ext}$.

$\textstyle \bullet$ Исходя из проделанных оценок и замечаний, сделанных в конце страницы \pageref{Abraham_Lorenz_v0}, следует, что решение уравнение () необходимо получать при помощи теории возмущений. Для этого траектория частицы, её скорость и ускорение раскладываются в ряд:

$\mathbf {a} =\mathbf {a} _{0}+\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+...$

которые подставляются в (): В качестве нулевого приближения берется уравнение без силы трения:

$m\mathbf {a} _{0}=\mathbf {f} _{ext}.$

При помощи его решения находятся следующие поправки:

$m\mathbf {a} _{1}={\frac {2}{3}}\,Q^{2}\,{\frac {d\mathbf {a} _{0}}{dt}},\;\;\;\;\;\;\;\;m\mathbf {a} _{2}={\frac {2}{3}}\,Q^{2}\,{\frac {d\mathbf {a} _{1}}{dt}},$

и т.д. Такой метод в частности исключает появление самоускоряющегося решения при отсутствии внешней силы. Действительно, если $\textstyle \mathbf {f} _{ext}=0$, формально уравнение $\textstyle \mathbf {a} =(2Q^{2}/3m)d\mathbf {a} /dt$, кроме физически осмысленного (в отсутствии внешних воздействий) решения $\textstyle \mathbf {a} =0$, имеет ускоряющееся решение $\textstyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{0}e^{(2Q^{2}/3m)t}$. В соответствии с таким решением, электрон, например, пролетев ускоряющее поле в конденсаторе, после выхода из него (имея $\textstyle \mathbf {a} (0)=\mathbf {a} _{0}\neq 0$), должен был бы продолжать неограниченно ускоряться. При решении уравнения по теории возмущения такого нефизичного решения не возникает.

Уравнение () позволяет разобраться с ответом на вопрос "оказывает ли внешняя электромагнитная волна давление на заряд?". С одной стороны — "конечно — да!" (опыты Лебедева по световому давлению тому явное подтверждение). С другой стороны, решение уравнений движения пробной частицы в поле плоской волны приводит к парадоксальному заключению об отсутствии ускоренного движения вдоль волнового вектора (по которому направлено) давление. Чтобы получить наблюдаемый на эксперименте эффект светового давления необходимо решить уравнение движения с учетом самодействия:

$m{\dot {\mathbf {v} }}=e\mathbf {E} +e\,[\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]+{\frac {2}{3}}\,e^{2}\,{\ddot {\mathbf {v} }},$

(EQN)

где $\textstyle \mathbf {E}$, $\textstyle \mathbf {B}$ — напряженности поля плоской волны, поляризованной, например, по кругу:

$E_{x}=E_{0}\,\cos(t-z),\;\;\;\;E_{y}=E_{0}\,\sin(t-z),\;\;\;\;\;B_{x}=-E_{y},\;\;\;\;\;\;B_{y}=E_{x}$

и распространяющейся вдоль оси $\textstyle z$ ($\textstyle E_{z}=B_{z}=0$).

$\textstyle \bullet$ При помощи преобразований Лоренца для силы и ускорения уравнение () можно записать в произвольной системе отсчета. Впрочем, ковариантное выражение для силы можно получить сразу из общих соображений. Напомним, что 4-ускорение (), стр.\,\pageref{acsel_4vec}:

$a^{\nu }={\frac {du^{\nu }}{ds}}=\left\{{\frac {\mathbf {v} \mathbf {a} }{(1-\mathbf {v} ^{2})^{2}}},\;{\frac {\mathbf {a} +[\mathbf {v} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {a} ]]}{(1-\mathbf {v} ^{2})^{2}}}\right\},$

(EQN)

определяется при помощи 4-скорости $\textstyle u^{\nu }=\{\gamma ,\gamma \mathbf {v} \}$ и интервала (собственного времени) $\textstyle ds={\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}dt$, вычисленного вдоль траектории частицы. 4-силой называется 4-вектор $\textstyle f^{\nu }=ma^{\nu }$, где $\textstyle m$ — масса частицы.

В системе в которой частица покоится, векторная часть силы трения, в соответствии с () должна равняться $\textstyle (2/3)\,Q^{2}\,d\mathbf {a} /dt$. Если $\textstyle \mathbf {v} =0$ из () имеем $\textstyle d\mathrm {a} /ds=\{0,d\mathbf {a} /dt\}$. Поэтому:

$\mathrm {f} {\bigr |}_{\mathbf {v} =0}={\frac {2}{3}}\,Q^{2}\,{\frac {d\mathrm {a} }{ds}}.$

Силу трения Лоренца можно ($\textstyle \lessdot$\,C) разложить по двум 4-векторам:

$\mathrm {f} =\alpha \mathrm {u} +\beta \,{\frac {d\mathrm {a} }{ds}},$

где $\textstyle \alpha$ и $\textstyle \beta$ — некоторые скаляры. Воспользуемся тем, что 4-скорость и сила ортогональны друг другу:

$\mathrm {u} \cdot \mathrm {u} =1\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\mathrm {a} \cdot \mathrm {u} =0$

или $\textstyle \mathrm {f} \cdot \mathrm {u} =0$. Это условие приводит к соотношению $\textstyle \alpha =\mathrm {a} ^{2}\beta$, где учтено тождество, связывающее скалярное произведение производной 4-ускорения и 4-скорости. Оно получается ещё одним дифференцированием по $\textstyle s$ условия ортогональности:

$\mathrm {a} \cdot \mathrm {u} =0\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;{\frac {d\mathrm {a} }{ds}}\cdot \mathrm {u} =-\mathrm {a} ^{2}.$

При $\textstyle \mathbf {v} =0$ имеем $\textstyle \beta =(2/3)Q^{2}$. В результате, в произвольной системе отсчета ковариантное уравнение движения имеет вид:

$m\,{\frac {d\mathrm {u} }{ds}}=\mathrm {f} _{ext}+{\frac {2}{3}}\,Q^{2}\,\left\{{\frac {d^{2}\mathrm {u} }{ds^{2}}}+\left({\frac {d\mathrm {u} }{ds}}\right)^{2}\,\mathrm {u} \right\}.$

(EQN)

Это же уравнение можно переписать в 3-мерных обозначениях:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {m\,\mathbf {v} }{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}}\right)=\mathbf {f} _{ext}+{\frac {2}{3}}\,Q^{2}\left\{{\frac {{\dot {\mathbf {a} }}+[\mathbf {v} \times [\mathbf {v} \times {\dot {\mathbf {a} }}]]}{(1-\mathbf {v} ^{2})^{2}}}+3(\mathbf {v} \mathbf {a} )\,{\frac {\mathbf {a} +[\mathbf {v} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {a} ]]}{(1-\mathbf {v} ^{2})^{4}}}\right\},$

где $\textstyle {\dot {\mathbf {a} }}=d\mathbf {a} /dt$. Если $\textstyle \mathbf {v} =0$ мы снова возвращаемся к уравнению ().

$\textstyle \bullet$ Если в качестве ускоряющей частицу силы используется внешнее электромагнитное поле $\textstyle F_{\mu \nu }=(\mathbf {E} ,-\mathbf {B} )$, уравнения движения имеют вид:

$m\,{\frac {d\mathrm {u} }{ds}}=Q\,\mathrm {F} \cdot \mathrm {u} +\mathrm {f} (\mathrm {u} ),\;\;\;\;\;\;\;\mathrm {f} (\mathrm {u} )={\frac {2}{3}}\,Q^{2}\,\left\{{\frac {d^{2}\mathrm {u} }{ds^{2}}}+\left({\frac {d\mathrm {u} }{ds}}\right)^{2}\,\mathrm {u} \right\},$

(EQN)

где в безиндексных обозначениях (прямой шрифт!) 4-вектор $\textstyle (\mathrm {F} \cdot \mathrm {u} )^{\mu }=F^{\mu \nu }u_{\nu }$. Применим к этому уравнению теорию возмущений. Для этого ряд

$\mathrm {u} =\mathrm {u} _{0}+\mathrm {u_{1}} +\mathrm {u} _{2}+...$

подставим в уравнение движения (штрих — производная по $\textstyle s$):

$m\,(\mathrm {u} '\,_{0}+\mathrm {u} '\,_{1}+...)=Q\,\mathrm {F} \cdot (\mathrm {u} _{0}+...)+{\frac {2}{3}}\,Q^{2}\,\left\{\mathrm {u} ''\,_{0}+...+(\mathrm {u} '\,_{0}^{2}+2\mathrm {u} '\,_{0}\mathrm {u} '\,_{1})\,(\mathrm {u} _{0}+...)\right\}.$

Приравнивая одинаковые порядки малости, получаем цепочку уравнений:

$m\,\mathrm {u} '\,_{0}=Q\,\mathrm {F} \cdot \mathrm {u} _{0},$

$m\,\mathrm {u} '\,_{1}=Q\,\mathrm {F} \cdot \mathrm {u} _{1}+{\frac {2}{3}}\,Q^{2}\,(\mathrm {u} ''\,_{0}+\mathrm {u} '\,_{0}^{2}\,\mathrm {u} _{0}),$

и т.д. Решая их последовательно, можно найти динамику движения заряда в произвольном внешнем поле с учетом силы трения.

При движении в постоянном электрическом поле $\textstyle \mathbf {E}$ мы имеем равноускоренное движение. Если в начальный момент времени частица покоилась, то $\mathrm {u} =\{\mathrm {ch} (\omega s),\;\mathbf {e} \,\mathrm {sh} (\omega s)\}$, где $\textstyle \mathbf {e} =\mathbf {E} /|\mathbf {E} |$, см. стр.\,\pageref{h_fl_dynam_in_E}. Несложно видеть, что релятивистская сила трения (как и нерелятивистская) в этом случае равна нулю. Это же справедливо при равноускоренном движении вдоль прямой с ненулевой начальной скоростью ($\textstyle \lessdot$\,H).

В общем случае релятивистски равноускоренное движение можно определить как движение, при котором квадрат 4-ускорения (или 4-силы) остаётся постоянным $\textstyle \mathrm {a} ^{2}=\mathrm {f} ^{2}/m^{2}=const<0$. Действительно, компоненты 4-силы $\textstyle f^{\mu }$ можно записать следующим образом (см. стр.\,\pageref{lorenz_vec0_f}):

$f^{\mu }=\left\{\gamma \mathbf {F} \mathbf {v} ,\;\gamma \mathbf {F} \right\}={\frac {1}{m}}\,\{\mathbf {F} \mathbf {p} ,\;{\mathcal {E}}\mathbf {F} \},$

где $\textstyle \mathbf {F}$ — постоянная (при равноускоренном движении) 3-сила, $\textstyle {\mathcal {E}}$ — энергия и $\textstyle \mathbf {p}$ — импульс заряда. Поэтому $\textstyle m^{2}\mathrm {f} ^{2}=(\mathbf {F} \mathbf {p} )^{2}-{\mathcal {E}}^{2}\mathbf {F} ^{2}$. Дифференцируя по лабораторному времени (или собственному времени заряда), имеем:

${\frac {d(m^{2}\mathrm {f} ^{2})}{dt}}=2(\mathbf {F} \mathbf {p} )\mathbf {F} ^{2}-2{\mathcal {E}}(\mathbf {v} \mathbf {F} )\mathbf {F} ^{2}=2(\mathbf {F} \mathbf {p} )\mathbf {F} ^{2}-2(\mathbf {F} \mathbf {p} )\mathbf {F} ^{2}=0,$

где учтено, что $\textstyle d\mathbf {p} /dt=\mathbf {F}$, $\textstyle d{\mathcal {E}}/dt=\mathbf {v} \mathbf {F}$ и $\textstyle \mathbf {p} =\mathbf {v} {\mathcal {E}}$. Чтобы убедиться в том, что квадрат 4-ускорения отрицателен, достаточно вычислить его в системе отсчета, где частица покоится.

---

Взаимодействие зарядов без поля <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 7)	>> Нелинейная электродинамика

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии