Прецессия Томаса/Движение спина во внешнем поле

Версия для печати: pdf

---

Движение гироскопа по окружности <<	Оглавление	>> Заключение

---

До сих пор мы рассматривали прецессию Томаса как кинематическую задачу. В реальности, чтобы НИСО двигалась с ускорением, необходимо силовое поле или другой способ изменения скорости изучаемого объекта. Наблюдение за поворотом и изменением длины движущегося с ускорением стержня является очень непростой задачей. Поэтому мы ограничимся обсуждением движения классического спина во внешних полях.

Экспериментально наиболее доступны две физические ситуации: 1) микрочастица (электрон, протон, атомное ядро) движется во внешнем электромагнитном поле; 2) макроскопический гироскоп движется по орбите вокруг Земли. В обоих ситуациях спин объекта изменяется, как в результате кинематического эффекта Томаса, так и в силу динамических причин.

Проще всего кинематика и динамика разделяются при движении спина в электромагнитном поле. В этом случае поведение классического спина удовлетворяет уравнению Баргмана-Мишеля-Телегди (BMT) . Пусть в системе покоя частицы изменение спина, находящегося в магнитном поле, удовлетворяет уравнению Лармора (ларморовская прецессия):

${\frac {d\mathbf {S} }{dt}}={\frac {gQ}{2m}}\,\mathbf {S} \times \mathbf {B} ,$

(97)

где $\textstyle Q$, $\textstyle m$ — заряд и масса частицы, а $\textstyle g$ — гиромагнитный фактор (для электрона $\textstyle Q=-e$, $\textstyle g\approx 2$). Кроме этого, пусть производная 4-вектора спина по собственному времени частицы $\textstyle d\tau =dt{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}$ линейна по тензору электромагнитного поля $\textstyle \mathrm {F} \equiv F^{\alpha \beta }$ и спину $\textstyle \mathrm {S} \equiv S^{\alpha }$. Кроме этого производная спина может зависеть от 4-скорости $\textstyle \mathrm {V}$:

${\frac {d\mathrm {S} }{d\tau }}=\alpha _{1}\,\mathrm {S} +\alpha _{2}\,\mathrm {V} +\alpha _{3}\,\mathrm {F} \cdot \mathrm {S} +\alpha _{4}\,\mathrm {F} \cdot \mathrm {V} +\alpha _{5}\,(\mathrm {S} \cdot \mathrm {F} \cdot \mathrm {V} )\,\mathrm {V} ,$

(98)

где $\textstyle \alpha _{i}$ — некоторые константы. Предполагается также, что на частицу действует сила Лоренца:

$\mathrm {A} ={\frac {d\mathrm {V} }{d\tau }}={\frac {Q}{m}}\,\mathrm {F} \cdot \mathrm {V} .$

(99)

Производная условия ортогональности 4-спина и 4-скорости $\textstyle \mathrm {S} \cdot \mathrm {V} =0$ с учётом уравнений (98), (99) даёт $\textstyle \alpha _{2}=0$, $\textstyle \alpha _{5}=\alpha _{3}-Q/m$. Уравнение Лармора (97) в системе покоя частицы ($\textstyle \mathrm {V} =\{1,\mathbf {0} \}$) позволяет найти оставшиеся коэффициенты: $\textstyle \alpha _{1}=\alpha _{4}=0$, $\textstyle \alpha _{3}=gQ/2m$.

В результате получается BMT уравнение:

${\frac {d\mathrm {S} }{d\tau }}={\frac {gQ}{2m}}\,\mathrm {F} \cdot \mathrm {S} -{\bigl (}1-{\frac {g}{2}}{\Bigr )}\,(\mathrm {A} \cdot \mathrm {S} )\,\mathrm {V} ,$

(100)

где 4-ускорение $\textstyle \mathrm {A}$ определяется силой Лоренца (99). Запишем BMT уравнение в 3-мерных обозначениях. Учитывая, что $\textstyle \mathrm {F} \cdot \mathrm {S} =\{\mathbf {E} \mathbf {S} ,\;S^{0}\mathbf {E} +\mathbf {S} \times \mathbf {B} \}$, где $\textstyle \mathbf {E}$ и $\textstyle \mathbf {B}$ — электрическое и магнитное поле, имеем

${\frac {d\mathbf {S} }{dt}}={\frac {gQ}{2m\gamma }}\,{\Bigl (}(\mathbf {v} \mathbf {S} )\,\mathbf {E} +\mathbf {S} \times \mathbf {B} {\Bigr )}+{\bigl (}1-{\frac {g}{2}}{\Bigr )}\,\gamma ^{2}\,(\mathbf {a} \mathbf {S} )\,\mathbf {v} .$

(101)

Если магнитный момент у частицы со спином отсутствует ($\textstyle g=0$), то прецессия спина имеет чисто кинематическую природу, и из (101) следует уравнение (69). На самом деле частицы, имеющие заряд и спин, но не имеющие магнитного момента, неизвестны. Однако, например, ядро урана $\textstyle \,_{92}^{235}U$ имеет достаточно малый g-фактор ($\textstyle g=-0.26$), что в 11 раз меньше, чем у протона и в 8, чем у электрона. Для такого объекта кинематический эффект преобладает над динамическим.

При движении в однородном магнитном поле модуль скорости частицы постоянен и 3-вектор ускорения равен:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {Q}{m\gamma }}\,[\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]=\omega [\mathbf {v} \times \mathbf {n} ],$

(102)

где $\textstyle \mathbf {n}$ — единичный вектор в направлении магнитного поля, а циклотронная частота $\textstyle \omega =QB/m\gamma$, в зависимости от знака заряда частицы может быть как положительной, так и отрицательной. Из (101), (102) следует, что при движении по окружности в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю, выполняются уравнения аналогичные (82):

${\frac {d(\mathbf {v} \mathbf {S} )}{dt}}=-\gamma ^{2}\,{\frac {g-2}{2}}\,(\mathbf {a} \mathbf {S} ),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {d(\mathbf {a} \mathbf {S} )}{dt}}=\omega ^{2}\,{\frac {g-2}{2}}\,(\mathbf {v} \mathbf {S} ).$

(103)

Потому проекции спина на скорость и ускорение совершают осцилляторные колебания с частотой, не зависящей от величины скорости:

$\omega _{a}={\frac {g-2}{2}}\,\gamma \,\omega ={\frac {g-2}{2}}\,{\frac {QB}{m}}.$

(104)

Для электрона $\textstyle g\approx 2$ и динамическая ларморовская прецессия практически полностью компенсирует кинематическую прецессию. Небольшое изменение поляризации электрона связано с отклонением $\textstyle g$-фактора от двойки. Это позволяет измерять аномальные магнитные моменты .

Заметим, что иногда (см., например, ) уравнение (101) записывается не для спина $\textstyle \mathbf {S}$, измеряемого в лабораторной системе отсчёта, а для спина в системе покоя частицы $\textstyle \mathbf {S} '$. Для этого берётся производная по времени лабораторной системы от преобразования (64):

$\mathbf {S} =\mathbf {S} '+\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {S} ').$

(105)

Учитывая уравнение (69), справедливое для частицы без магнитного момента ($\textstyle g=0$, спиновая кинематика), получаем:

${\frac {d\mathbf {S} '}{dt}}+\Gamma \,\mathbf {v} \,{\Bigl (}\mathbf {v} {\frac {d\mathbf {S} '}{dt}}{\Bigr )}=\gamma \Gamma \,\mathbf {v} \,(\mathbf {a} \mathbf {S} ')-\Gamma \,\mathbf {a} \,(\mathbf {v} \mathbf {S} ')-\Gamma ^{2}\,\mathbf {v} \,(\mathbf {v} \mathbf {a} )(\mathbf {v} \mathbf {S} ').$

(106)

Умножим обе части уравнения на скорость $\textstyle \mathbf {v}$:

$\mathbf {v} {\frac {d\mathbf {S} '}{dt}}=\Gamma v^{2}(\mathbf {a} \mathbf {S} ')-\Gamma \,(\mathbf {v} \mathbf {a} )\,(\mathbf {v} \mathbf {S} ').$

(107)

Используя это соотношение, уравнение (106) можно переписать в следующем виде:

${\frac {d\mathbf {S} '}{dt}}=-{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\,[\mathbf {v} \times \mathbf {a} ]\times \mathbf {S} '.$

(108)

Для сравнения с \cite{Landau4} необходимо иметь ввиду, что сила Лоренца для релятивистской частицы с импульсом $\textstyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v}$ приводит к следующему 3-мерному ускорению $\textstyle \mathbf {a}$:

$m\gamma \mathbf {a} =Q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )-Q\mathbf {v} \,(\mathbf {v} \mathbf {E} ),$

(109)

а $\textstyle \mathbf {S} '$ в обозначениях \cite{Landau4} — это $\textstyle {\boldsymbol {\zeta }}$.

Уравнение (108) совпадает с уравнением Томаса (3). Однако уравнение (108), как и (3), имеет специфический смысл. Все величины в нём (за исключением спина) относятся к лабораторной системе отсчёта. Спин же $\textstyle \mathbf {S} '$ измеряется наблюдателями в сопутствующей к частице системе отсчёта. Поэтому фактически (108), как и (3), не являются уравнениями прецессии ни относительно лабораторной системы отсчёта, ни относительно сопутствующей.

Примчания

---

Движение гироскопа по окружности <<	Оглавление	>> Заключение