Портфель на всю жизнь

Диверсификация <<	Оглавление	>> Опционы

---

$\textstyle \bullet$ Пусть инвестор начинает свою карьеру с капитала Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle П_0} . Он формирует портфель из $\textstyle n$ акций, цены $\textstyle x_{i}(t)$ которых стохастическим образом изменяются со временем. Поэтому его капитал также изменяется, как $\textstyle \Pi (t)$. Естественно, обогащение не является самоцелью, и за каждую единицу времени $\textstyle dt$ он потребляет часть капитала, максимизируя своё удовольствие $\textstyle {\ddot {\smile }}$. Какова в этом случае оптимальная стратегия инвестирования? Эту задачу изучали в 1969 г. Роберт Мертон и Пол Самуэльсон.

Если количество акций каждого вида в портфеле равно $\textstyle N_{i}(t)$, то изменение его стоимости за малый интервал времени после изъятия равно:

$d\Pi =\sum _{i=1}^{n}N_{i}(t)\,dx_{i}-c(t)\Pi (t)\,dt.$

Мы для простоты считаем, что потребление $\textstyle c(t)\Pi (t)$ пропорционально капиталу. Мертон на самом деле доказал это утверждение.

Пусть цены на акции испытывают стационарное логарифмическое блуждание:

${\frac {dx_{i}}{x_{i}}}=\mu _{i}\,dt+\sum _{j=1}^{n}\sigma _{ij}\,\delta W_{j},$

где $\textstyle \mu _{i}$ — доходности акций, а матрица $\textstyle \sigma _{ij}$ определяет их ковариации. В этом разделе по повторяющимся индексам суммирование не подразумевается, если это явно не указано знаком суммы. Подставляя $\textstyle dx_{i}$ в уравнение портфеля и вводя веса $\textstyle w_{i}=N_{i}x_{i}/\Pi$ каждой акции, получаем нестационарное логарифмическое блуждание:

${\frac {d\Pi }{\Pi }}=f(t)\,dt+s(t)\,\delta W.$

(8.5)

Снос и волатильность портфеля определяются соотношениями:

$f(t)=\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}w_{i}(t)-c(t),\;\;\;\;\;\;\;\;s^{2}(t)=\sum _{i,j=1}^{n}w_{i}(t)D_{ij}w_{j}(t),$

где $\textstyle \mathbf {D} =\mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {\sigma } ^{T}$ — ковариационная матрица. Переход от нескольких стохастических переменных $\textstyle \delta W_{i}=\varepsilon _{i}{\sqrt {dt}}$ к одной $\textstyle \delta W=\varepsilon {\sqrt {dt}}$ мы сделали стандартным образом:

$\sum _{i,j=1}^{n}w_{i}(t)\sigma _{ij}\varepsilon _{j}{\sqrt {dt}}=s(t)\varepsilon {\sqrt {dt}}.$

Сумма $\textstyle n$ гауссовых чисел — снова гауссово число, множитель перед которым находится после возведения в квадрат и усреднения.

$\textstyle \bullet$ Вес $\textstyle w_{i}(t)$ каждой акции в портфеле и удельное потребление $\textstyle c(t)$ задаются инвестором. В результате функции $\textstyle f(t)$ и $\textstyle s(t)$ в уравнении (8.5) являются фиксированными. Переходя к $\textstyle \ln \Pi$ при помощи леммы Ито, имеем:

$d\ln \Pi =\left[f(t)-{\frac {1}{2}}s^{2}(t)\right]\,dt+s(t)\,\delta W.$

Откуда, воспользовавшись (2.18), Точные решения уравнения Ито, получаем точное решение:

$\ln {\frac {\Pi (t)}{\Pi _{0}}}=\int \limits _{0}^{t}\left[f(\tau )-{\frac {1}{2}}s^{2}(\tau )\right]\,d\tau +\left[\int \limits _{0}^{t}s^{2}(\tau )d\tau \right]^{1/2}\cdot \varepsilon ,$

где, как обычно, $\textstyle \varepsilon$ - гауссова случайная величина с $\textstyle \left\langle \varepsilon \right\rangle =0$ и $\textstyle \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle =0$.

$\textstyle \bullet$ Постоянное изъятие сумм $\textstyle v=c(t)\Pi (t)$ обладает для инвестора определённой полезностью (utility) $\textstyle U=U(v)$. Это понятие достаточно умозрительно, но очень популярно в экономической литературе. Основные гипотезы теории полезности состоят в том, что 1) функция $\textstyle U(v)$ является выпуклой, и 2) она растёт медленнее линейной функции. Каждая дополнительная единица благ (выраженная в деньгах $\textstyle v$), в любом случае, приносит удовольствие. Однако больше двух котлет не съешь и пяти бутылок вина не выпьешь. Поэтому постепенно, с увеличением $\textstyle v$, дополнительной полезности получается всё меньше, и рост функции $\textstyle U(v)$ замедляется. Часто функцию полезности выбирают в степенном виде $\textstyle U(v)=v^{\gamma }$, с параметром $\textstyle 0<\gamma <1$ или в логарифмическом $\textstyle U(v)=\ln v$. Рассмотрим вариант степенной зависимости.

Вычислим среднее значение полезности $\textstyle U_{t}=\left\langle U(v)\right\rangle =c^{\gamma }(t)\,\left\langle \Pi ^{\gamma }(t)\right\rangle$ в момент времени $\textstyle t$. Усреднение проводится при помощи (1.11) (Нормальное распределение):

$U_{t}=\Pi _{0}^{\gamma }\,c^{\gamma }(t)\,e^{\gamma \int \limits _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau +{\frac {\gamma ^{2}-\gamma }{2}}\int \limits _{0}^{t}s^{2}(\tau )\,d\tau }.$

Подставляя явный вид функций $\textstyle f(t)$ и $\textstyle s(t)$, имеем:

$U_{t}=\Pi _{0}^{\gamma }\,c^{\gamma }(t)\,\exp {\int \limits _{0}^{t}\gamma \left[\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}\omega _{i}(\tau )-c(\tau )-{\frac {1-\gamma }{2}}\sum _{i,j=1}^{n}w_{i}(\tau )D_{ij}w_{j}(\tau )\right]d\tau }.$

Выбор определённых стратегий инвестирования $\textstyle \omega _{i}(\tau )$ и изъятия (потребления) $\textstyle c(\tau )$ на протяжении времени $\textstyle \tau =[0...t]$ приводит к некоторому среднему значению полезности в момент времени $\textstyle t$. Однако получение максимальной сиюминутной полезности также не является главной целью инвестора. Так в чём же смысл его жизни?

$\textstyle \bullet$ По Мертону и Самуэльсону, инвестор должен максимизировать суммарную дисконтированную полезность, получаемую на протяжении всей своей жизни. И если он не законченный эгоист, дополнительную полезность он получает от остаточного капитала, передаваемого по наследству. Математически это может быть выражено в следующем виде:

$\int \limits _{0}^{T}e^{-\rho \tau }\,U_{\tau }\,d\tau \;+\;\theta \,e^{-\rho T}\,U_{T}\;+\;\int \limits _{0}^{T}\lambda (\tau )\left[1-\sum _{i=1}^{n}w_{i}(\tau )\right]\,d\tau =max.$

(8.6)

Первый интеграл суммирует все получаемые от изъятий средние полезности $\textstyle U_{t}$. При этом параметр $\textstyle \rho$ аналогичен ставке дисконтирования денежных потоков ($\textstyle \lessdot$ C). Чем позже получено удовольствие, тем меньше его вклад в смысл жизни. Второе слагаемое является полезностью завещаемого инвестором капитала (bequest valuation function) в финальный момент его жизни $\textstyle T$. Параметр $\textstyle \theta$ характеризует степень его не эгоистичности, и обычно предполагается небольшим $\textstyle 0<\theta \ll 1$ $\textstyle {\ddot {\smile }}$. Полезность от завещания имеет такую же функциональную форму, как и от потребления. В принципе, можно рассмотреть и другие зависимости. Последнее слагаемое появляется в соответствии с методом множителей Лагранжа $\textstyle \lambda (t)$ (стр. \pageref{lagrang_mult}). Мы ищем экстремум при дополнительном требовании равенства суммы весов единице в каждый момент времени.

$\textstyle \bullet$ Найдём экстремум функционала (8.6) по функциям $\textstyle \lambda (t)$ и $\textstyle \omega _{k}(t)$ ($\textstyle \lessdot$ H):

$\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle 1=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\\\displaystyle \alpha =\mu _{k}-(1-\gamma )\sum _{i=1}^{n}D_{ki}\omega _{i},\end{array}}\right.$

(8.7)

где $\textstyle \alpha$ пропорциональна множителю Лагранжа $\textstyle \lambda$ и должна рассматриваться как $\textstyle n+1$-я неизвестная переменная. Зависимость от времени отсутствует, и $\textstyle w_{i}$ определяются из решения системы линейных уравнений. Теперь можно упростить выражение для средней полезности:

$U_{t}=\Pi _{0}^{\gamma }\,e^{zt}c^{\gamma }(t)\,G(t),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;G(t)=e^{-\gamma \int \limits _{0}^{t}c(\tau )\tau },$

где величина $\textstyle z$:

$z=\gamma \sum _{i=1}^{n}\mu _{i}\omega _{i}-{\frac {\gamma -\gamma ^{2}}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}w_{i}\,D_{ij}\,w_{j}$

зависит от статистических параметров акций, функции полезности и найденных из (8.7) постоянных весовых коэффициентов $\textstyle \omega _{i}$.

$\textstyle \bullet$ После подстановки оптимальных значений весов $\textstyle \omega _{i}$ функционал для оптимизации принимает вид:

$\int \limits _{0}^{T}e^{(z-\rho )\tau }c^{\gamma }(\tau )\,G(\tau )\,d\tau \;+\;\theta \,e^{(z-\rho )T}\,c^{\gamma }(T)\,G(T)=max.$

(8.8)

Проварьируем его ($\textstyle \lessdot$ H) по функции удельного потребления $\textstyle c(t)$:

$c^{\gamma -1}(t)\,e^{(z-\rho )t}\,G(t)-\int \limits _{t}^{T}e^{(z-\rho )\tau }\,c^{\gamma }(\tau )\,G(\tau )\,d\tau -\theta \,e^{(z-\rho )T}c^{\gamma }(T)G(T)=0.$

Это интегральное уравнение относительно $\textstyle c(t)$. Положив $\textstyle t=T$, получаем граничное условие $\textstyle c(T)=1/\theta$. Если взять производную по времени, интегральное уравнение перейдёт в обычное уравнение логистического типа (1.2) (Стохастические уравнения), с решением (при $\textstyle \alpha \neq 0$ и $\textstyle c(T)=1/\theta$):

${\dot {c}}=-\nu \,c+c^{2}\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;c(t)={\frac {\nu }{1+(\theta \nu -1)\cdot e^{\nu (t-T)}}}.$

(8.9)

где $\textstyle \nu =(\rho -z)/(1-\gamma )$. Важным следствием (8.7) и (8.9) является то, что выбор портфеля не зависит от решения по стратегии изъятий.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим частный случай, когда инвестору доступны только два актива — депозит с фиксированной доходностью $\textstyle r_{f}$ и акция с волатильностью $\textstyle \sigma$ и доходностью $\textstyle r$. Доля средств размещаемых в депозите, равна $\textstyle \omega _{1}=1-\omega$, а в акциях $\textstyle \omega _{2}=\omega$. Матрицы дисперсий $\textstyle D_{ij}$, доходности $\textstyle \mu _{i}$ и весов $\textstyle \omega _{i}$ имеют вид:

$\mathbf {D} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&\sigma ^{2}\\\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {\mu } ={\begin{pmatrix}r_{f}\\r\\\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {\omega } ={\begin{pmatrix}1-\omega \\\omega \\\end{pmatrix}}.$

Решая систему (8.7), получаем:

$\omega ={\frac {r-r_{f}}{(1-\gamma )\sigma ^{2}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;z=\gamma r_{f}+{\frac {\gamma }{2}}{\frac {(r-r_{f})^{2}}{(1-\gamma )\sigma ^{2}}}.$

Мы видели (8.3), что в данном случае эффективное множество является прямой, соединяющей точки $\textstyle (0,r_{f})$ и $\textstyle (\sigma ,r)$. Выбор распределения средств между этими двумя активами выглядел абсолютно произвольным. Теория Мертона связывает значение веса $\textstyle \omega$ и выпуклости полезности $\textstyle \gamma$. Более подробный анализ теории пожизненного инвестирования целесообразно проследить по классической работе Мертона.

---

Диверсификация <<	Оглавление	>> Опционы

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения