Ковариантная формулировка

Четырёхмерное пространство-время <<	Оглавление (Глава 2)	>> Матричные преобразования

---

Многие соотношения теории относительности могут быть записаны в элегантном ковариантном виде. Пусть $\textstyle A^{\alpha }=\{A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\}$ — четвёрка чисел, которые будем называть компонентами 4-вектора (четырёхмерного вектора). Для нумерации этих компонент используются верхние индексы, и их не стоит путать с показателем степени. Будем считать, что для наблюдателей в двух инерциальных системах отсчёта $\textstyle S$ и $\textstyle S'$ компоненты вектора $\textstyle A^{\alpha }$ и $\textstyle A'^{\alpha }$ связаны следующим преобразованием:

$A'^{0}={\frac {A^{0}-vA^{1}}{\sqrt {1-v^{2}}}},\;\;\;\;\;A'^{1}={\frac {A^{1}-vA^{0}}{\sqrt {1-v^{2}}}},\;\;\;\;\;A'^{2}=A^{2},\;\;\;\;\;A'^{3}=A^{3}.$

(EQN)

Нулевая компонента 4-вектора называется временной, а остальные компоненты — пространственными. Их будем обозначать как обычные 3-мерные векторы (3-векторы): $\textstyle \mathbf {A} =\{A^{1},A^{2},A^{3}\}$. Иногда их обозначают как декартовы проекции $\textstyle \{A_{x},A_{y},A_{z}\}$, но подразумевается, что это тоже компоненты с верхними индексами.

Несложно видеть, что время и координаты образуют 4-вектор, который обозначается по пространственным компонентам:

$x^{\alpha }=\{t,\;\mathbf {r} \}=\{t,x,y,z\},$

а () являются преобразованиями Лоренца стр.\pageref{Lorenz_txy}. Как мы увидим чуть позже, 4-векторы можно определить для самых разнообразных физических величин.

По аналогии с векторными преобразованиями Лоренца (), стр. \pageref{lorenz_vec0} можно записать более общее преобразование для 4-вектора:

$A'^{0}=\gamma \,(A^{0}-{\mathbf {v} }{\mathbf {A} }),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathbf {A} }'={\mathbf {A} }-\gamma {\mathbf {v} }A^{0}+\Gamma \,{\mathbf {v} }({\mathbf {v} }{\mathbf {A} }).$

(EQN)

Обратное преобразование получается заменой $\textstyle \mathbf {v} \mapsto -\mathbf {v}$.

Кроме 4-векторов определим также четвёрки величин с нижними индексам $\textstyle A_{\alpha }=\{A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}\}$, которые будем называть компонентами ковектора. Будем считать, что компоненты ковектора связаны с компонентами вектора следующим образом:

$A_{\alpha }=\{A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}\}=\{A^{0},-A^{1},-A^{2},-A^{3}\}=\{A^{0},-\mathbf {A} \}.$

Другими словами временные компоненты 4-векторов и 4-ковекторов совпадают, а пространственные — имеют обратный знак. Компоненты 4-вектора с верхними индексами называются контравариантными, а с нижними — ковариантными. \index{ковариантные компоненты}

Ковектор вводится, чтобы определить число, которое будет инвариантным (одинаковым) в различных инерциальных системах отсчёта:

$\mathrm {A} ^{2}=A_{\alpha }A^{\alpha }=A_{0}A^{0}+A_{1}A^{1}+A_{2}A^{2}+A_{3}A^{3}=(A^{0})^{2}-\mathbf {A} ^{2}=\mathrm {inv} .$

Этот инвариант мы обозначили как $\textstyle \mathrm {A} ^{2}$, где двойка является степенью (квадратом), а не индексом. Чтобы не путаться с индексами компонент вектора, сам 4-вектор мы будем записывать в прямом, а не наклонном шрифте (подобным образом для 3-векторов используется жирный шрифт). По повторяющемуся верхнему и нижнему индексу $\textstyle \alpha$ подразумевается суммирование от 0 до 3 и знак $\textstyle \Sigma$ не ставится.

Проверим инвариантность величины $\textstyle \mathrm {A} ^{2}$. Для этого запишем её в системе $\textstyle S'$ для штрихованных величин и, подставив преобразование (), найдём значение в системе $\textstyle S$. Опуская компоненты $\textstyle A^{2}$, $\textstyle A^{3}$, которые остаются неизменными, получаем:

$\mathrm {A} '^{2}=(A'^{0})^{2}-(A'^{1})^{2}={\frac {(A^{0}-vA^{1})^{2}}{1-v^{2}}}-{\frac {(A^{1}-vA^{0})^{2}}{1-v^{2}}}=(A^{0})^{2}-(A^{1})^{2}=\mathrm {A} ^{2}.$

Для 4-вектора $\textstyle x^{\alpha }=(t,\mathbf {r} )$ инвариантом является выражение: $\textstyle \mathrm {x} ^{2}=t^{2}-\mathbf {r} ^{2}.$ Уравнение $\textstyle \mathrm {x} ^{2}=0$ описывает распространение сферической волны в результате вспышки света в начале систем координат. Этот световой фронт имеет сферическую форму с точки зрения каждого из наблюдателей.

Определим скалярное произведение двух 4-векторов $\textstyle \mathrm {A}$ и $\textstyle \mathrm {B}$:

$\mathrm {A} \cdot \mathrm {B} =A_{\alpha }B^{\alpha }=A^{\alpha }B_{\alpha }=A^{0}B^{0}-\mathbf {A} \mathbf {B} =\mathrm {inv} .$

(EQN)

Точка произведения может не ставиться, т.е. $\textstyle \mathrm {A} \cdot \mathrm {B} =\mathrm {A} \mathrm {B}$. Аналогично соотношению $\textstyle \mathrm {A} '^{2}=\mathrm {A} ^{2}$, несложно проверить, что скалярное преобразование также является инвариантом: $\textstyle \mathrm {A} '\,\mathrm {B} '=\mathrm {A} \,\mathrm {B}$. Инвариант $\textstyle \mathrm {A} ^{2}$ будем называть квадратом 4-вектора. Квадрат 4-вектора можно также записать следующим образом: $\textstyle \mathrm {A} ^{2}=\mathrm {A} \cdot \mathrm {A}$.

Квадрат 3-вектора и скалярное произведение двух 3-векторов не зависят от ориентации системы координат. Поэтому они являются инвариантами поворотов декартовой системы в 3-мерном пространстве. Как мы видели в предыдущем разделе, преобразования Лоренца () можно интерпретировать как повороты в псевдоевклидовом 4-мерном пространстве-времени, расстоянием в котором служит интервал:

$ds^{2}=(dt)^{2}-(d\mathbf {r} )^{2}.$

Квадрат 4-вектора, скалярное произведение двух 4-векторов и расстояние $\textstyle ds^{2}$ являются геометрическими объектами 4-мерного пространства, которые не зависят от ориентации осей координат (системы отсчёта).

$\textstyle \bullet$ Определим матрицу метрического тензора, которую будем записывать при помощи как двух нижних, так и двух верхних индексов:

$g_{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}\equiv \mathrm {diag} (1,-1,-1,-1).$

(EQN)

Так как отличные от нуля элементы стоят только на диагонали, возможно второе обозначение, которое стоит сравнить с понятием сигнатура.

Будем считать, что метрический тензор выглядит одинаковым образом во всех инерциальных системах отсчёта в которых используются декартовы координаты $\textstyle (x,y,z)$. Не сложно проверить, что:

$A_{\alpha }=g_{\alpha \beta }A^{\beta },\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;A^{\alpha }=g^{\alpha \beta }A_{\beta }.$

Для этого необходимо расписать в явном виде суммационное правило для повторяющих индексов (один внизу, другой вверху). Например:

$A_{1}=g_{1\beta }A^{\beta }=g_{10}A^{0}+g_{11}A^{1}+g_{12}A^{2}+g_{13}A^{3}=g_{11}A^{1}=-A^{1},$

где учтено, что недиагональные элементы метрического тензора равны нулю, а $\textstyle g_{11}=-1$.

Название метрический тензор происходит от того, что при помощи $\textstyle g_{\alpha \beta }$ можно записать квадрат расстояния (метрику) в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве:

$ds^{2}=g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }=(dx^{0})^{2}-(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}-(dx^{3})^{2}=dt^{2}-d\mathbf {r} ^{2}.$

Аналогично, он определяет скалярное произведение двух 4-векторов:

$\mathrm {A} \cdot \mathrm {B} =g_{\alpha \beta }\,A^{\alpha }B^{\beta }=g^{\alpha \beta }\,A_{\alpha }B_{\beta }=A^{0}B^{0}-\mathbf {A} \mathbf {B} .$

Свёртка тензоров $\textstyle g^{\alpha \beta }$ и $\textstyle g_{\alpha \beta }$ даёт символ Кронекера:

$g^{\alpha \gamma }g_{\gamma \beta }=\delta _{\beta }^{\alpha },$

(EQN)

который равен нулю если индексы $\textstyle \alpha$ и $\textstyle \beta$ различны, и единице, если они совпадают. Это же выражение можно записать как умножение двух матриц (), в результате которого получается единичная матрица.

Введение метрического тензора может показаться избыточным, однако в пространствах обладающих кривизной или в произвольных криволинейных (недекартовых) координатах коэффициенты $\textstyle g_{\alpha \beta }$ зависят от координат и могут быть недиагональным. В этом случае метрический тензор оказывается ключевым объектом при описании геометрии пространства.

$\textstyle \bullet$ По аналогии с обычным векторным анализом в 4-мерном пространстве можно ввести базис при помощи четырёх 4-векторов $\textstyle \mathrm {e} _{0}$, $\textstyle \mathrm {e} _{1}$, $\textstyle \mathrm {e} _{2}$, $\textstyle \mathrm {e} _{3}$. Индексы — это номера векторов, а не их компоненты (обращаем внимание на прямой шрифт). Кроме этого введём ещё четыре вектора $\textstyle \mathrm {e} ^{0}$, $\textstyle \mathrm {e} ^{1}$, $\textstyle \mathrm {e} ^{2}$, $\textstyle \mathrm {e} ^{3}$, которые будем называть взаимным базисом. Скалярные произведения базисных 4-векторов, по определению равны:

$\mathrm {e} ^{\alpha }\cdot \mathrm {e} _{\beta }=\delta _{\beta }^{\alpha },\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm {e} _{\alpha }\cdot \mathrm {e} _{\beta }=g_{\alpha \beta },\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm {e} ^{\alpha }\cdot \mathrm {e} ^{\beta }=g^{\alpha \beta }.$

(EQN)

4-вектор можно разложить по исходному или взаимному к нему базису:

$\mathrm {A} =A^{\alpha }\,\mathrm {e} _{\alpha }=A_{\alpha }\,\mathrm {e} ^{\alpha }.$

В первом случае коэффициенты разложения являются компонентами 4-вектора (контравариантными компонентами), а во втором - компонентами ковектора (ковариантными компонентами). Точнее говорить, что один и тот же 4-вектор может быть разложен по двум различным базисам ("исходному" $\textstyle \mathrm {e} _{\alpha }$ и взаимному к нему $\textstyle \mathrm {e} ^{\alpha }$), в результате чего и возникают компоненты с верхними и нижними индексами.

Напомним, что и в 3-мерном пространстве вектор может быть разложен по базисным векторам $\textstyle \mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k}$. При этом важно понимать, что вектор $\textstyle \mathbf {a}$ — это геометрический объект ("направленная стрелка"). Он не зависит от выбора координатных осей, хотя его компоненты $\textstyle \{a_{x},a_{y},a_{z}\}$ (проекции) на декартовы оси естественно меняются при повороте системы координат.

Такая же ситуация и в 4-мерном пространстве-времени. Любой 4-вектор является физическим объектом. Например, "$\textstyle \mathrm {x}$" — это одно и тоже событие наблюдаемое из любой инерциальной системы отсчёта. Этот 4-вектор можно раскладывать по различным базисам. Базисы могут соответствовать различным инерциальным системам отсчёта. Коэффициенты этих разложений будут обычными числами с верхними или нижними индексами, со штрихами или без.

Скалярное произведение 4-векторов с учётом () может быть расписано следующим образом:

$\mathrm {A} \cdot \mathrm {B} =(A^{\alpha }\mathrm {e} _{\alpha })\cdot (B^{\beta }\mathrm {e} _{\beta })=(\mathrm {e} _{\alpha }\cdot \mathrm {e} _{\beta })A^{\alpha }B^{\beta }=g_{\alpha \beta }\,A^{\alpha }B^{\beta }.$

Аналогично расписываются произведения других разложений векторов по базису, например:

$\mathrm {A} \cdot \mathrm {B} =(A_{\alpha }\mathrm {e} ^{\alpha })\cdot (B^{\beta }\mathrm {e} _{\beta })=(\mathrm {e} ^{\alpha }\cdot \mathrm {e} _{\beta })A_{\alpha }B^{\beta }=\delta _{\beta }^{\alpha }\,A_{\alpha }B^{\beta }=A_{\alpha }B^{\alpha }.$

Обратим внимание, что для сумм разложения векторов $\textstyle \mathrm {A}$ и $\textstyle \mathrm {B}$ используются различные индексы, так как это различные суммы.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим несколько примеров 4-векторов. Пусть частица имеет скорость $\textstyle \mathbf {u} =d\mathbf {r} /dt$. Интервал между двумя последовательными положениями частицы через бесконечно близкий промежуток времени $\textstyle dt$ равен:

$ds^{2}=dt^{2}-d\mathbf {r} ^{2}=dt^{2}\,(1-\mathbf {u} ^{2}).$

Квадратный корень из этого выражения называется собственным временем частицы:

$ds=dt\,{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}.$

Собственное время является инвариантом преобразований Лоренца. Для каждого наблюдателя промежуток времени $\textstyle dt$ и скорость частицы $\textstyle \mathbf {u}$ будут разными, но их комбинация в виде собственного времени окажется одинаковой.

Так как 4-координаты $\textstyle x^{\alpha }=(t,\mathbf {r} )$ преобразуются как 4-вектор, а собственное время $\textstyle ds$ (интервал вдоль траектории)— инвариант, то можно определить следующий 4-вектор скорости:

$U^{\alpha }={\frac {dx^{\alpha }}{ds}}=\left\{{\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}},\;{\frac {\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}\right\}.$

(EQN)

Компоненты 4-вектора скорости преобразуются, как и компоненты любого 4-вектора (). Так, для пространственных компонент имеем:

${\frac {u'_{x}}{\sqrt {1-\mathbf {u} '^{2}}}}={\frac {u_{x}-v}{{\sqrt {1-v^{2}}}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {u'_{y}}{\sqrt {1-\mathbf {u} '^{2}}}}={\frac {u_{y}}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}.$

и для $\textstyle u'_{z}$, аналогично $\textstyle u'_{y}$. Преобразования нулевых компонент имеют вид:

${\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {u} '^{2}}}}={\frac {1-vu_{x}}{{\sqrt {1-v^{2}}}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}}.$

Исключая при помощи этого соотношения $\textstyle {\sqrt {1-\mathbf {u} '^{2}}}$ в преобразованиях для пространственных компонент скорости, мы приходим к закону преобразования скорости (), стр. \pageref{speed_add0} относительно двух инерциальных систем отсчёта:

$u'_{x}={\frac {u_{x}-v}{1-vu_{x}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u'_{y}={\frac {u_{y}{\sqrt {1-v^{2}}}}{1-vu_{x}}}.$

Отметим, что квадрат 4-вектора скорости равен единице:

$\mathrm {U} ^{2}=U_{\alpha }U^{\alpha }={\frac {1}{1-\mathbf {u} ^{2}}}-{\frac {\mathbf {u} ^{2}}{1-\mathbf {u} ^{2}}}=1.$

Это также непосредственно следует из определения 4-вектора скорости и интервала: $\textstyle \mathrm {U} ^{2}=dx_{\alpha }dx^{\alpha }/ds^{2}=1$.

$\textstyle \bullet$ Аналогичным образом можно определить 4-вектор ускорения, как производную от 4-скорости:

$A^{\alpha }={\frac {dU^{\alpha }}{ds}}={\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}\;{\frac {d}{dt}}{\Bigl \{}{\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}},\;{\frac {\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}{\Bigr \}}.$

Вводя обычное 3-мерное ускорение $\textstyle \mathbf {a} =d\mathbf {u} /dt$ и беря покомпонентно производную, получаем:

$A^{\alpha }={\frac {dU^{\alpha }}{ds}}=\left\{{\frac {\mathbf {u} \mathbf {a} }{(1-\mathbf {u} ^{2})^{2}}},\;{\frac {\mathbf {a} +[\mathbf {u} \times [\mathbf {u} \times \mathbf {a} ]]}{(1-\mathbf {u} ^{2})^{2}}}\right\},$

(EQN)

При помощи () можно записать закон преобразования ускорения, хотя это проще сделать прямым дифференцированием векторного преобразования для скорости. Несложно проверить, что скалярное произведение 4-скорости и 4-ускорения равно нулю: $\textstyle \mathrm {u} \cdot \mathrm {a} =0$. Это соотношение можно также получить дифференцированием $\textstyle \mathrm {u} ^{2}=1$ по $\textstyle s$:

${\frac {d(U^{\alpha }U_{\alpha })}{ds}}={\frac {dU^{\alpha }}{ds}}\,U_{\alpha }+U^{\alpha }\,{\frac {dU_{\alpha }}{ds}}=A^{\alpha }U_{\alpha }+U^{\alpha }A_{\alpha }=2A^{\alpha }U_{\alpha }=0,$

где взята производная произведения, и учтено (), что $\textstyle A^{\alpha }U_{\alpha }=A_{\alpha }U^{\alpha }$.

$\textstyle \bullet$ При помощи ковариантных обозначений можно единым образом записать соотношения для эффектов Доплера и аберрации. Для этого определим волновой 4-вектор:

$k^{\alpha }=(\omega ,\mathbf {k} )=(\omega ,\omega \,\mathbf {n} ),$

где $\textstyle \omega =2\pi \nu$ — круговая частота ($\textstyle \nu$ — обычная частота), $\textstyle \mathbf {k}$ — волновой вектор в направлении распространения волны и равный $\textstyle |\mathbf {k} |=2\pi /\lambda$, где $\textstyle \lambda$ — длина волны. Так как $\textstyle \nu \lambda =c=1$, во втором равенстве введен единичный вектор $\textstyle \mathbf {n} ^{2}=1$ и $\textstyle \lambda$ выражена через $\textstyle \nu$. Заметим, что:

$\mathrm {k} ^{2}=k_{\alpha }k^{\alpha }=\omega ^{2}(1-\mathbf {n} ^{2})=0.$

Преобразование () для нулевых компонент даёт эффект Допплера:

${\frac {\omega }{\omega '}}={\frac {\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}{1-\mathbf {v} \mathbf {n} }}.$

Это выражение отличается от (), стр. \pageref{dopler_nv} знаком минус в знаменателе. Связано это с различным смыслом единичного вектора $\textstyle \mathbf {n}$. В () это было направление на источник (от наблюдателя), тогда как в записанном выше преобразовании $\textstyle \mathbf {n}$ — это направление распространения светового сигнала к наблюдателю. Отсюда и противоположные знаки. Преобразования для пространственных компонент $\textstyle k^{\alpha }$ приводят к эффекту аберрации (), стр.\pageref{aber_vec}.

---

Четырёхмерное пространство-время <<	Оглавление (Глава 2)	>> Матричные преобразования

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии