Еще немного определений

Группа перестановок <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 6)	>> Представления групп

---

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим подгруппу $\textstyle \mathbf {H}$ группы $\textstyle \mathbf {G}$. Возьмём некоторый элемент $\textstyle g\in \mathbf {G}$, не принадлежащий $\textstyle \mathbf {H}$, и образуем новое множество элементов:

$g\,\mathbf {H} =\{g\,h_{1},\;g\,h_{2},\;...,\;g\,h_{n}\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;g\not \in \mathbf {H} ,$

которое называется левым смежным классом подгруппы $\textstyle \mathbf {H}$ (аналогично определяются правые смежные классы $\textstyle \mathbf {H} g$, совпадающие с левыми для инвариантной подгруппы $\textstyle g\,\mathbf {H} =\mathbf {H} \,g$). Все элементы класса различны (если $\textstyle g\,h_{i}=g\,h_{j}$, умножив на $\textstyle g^{-1}$, получим $\textstyle h_{i}=h_{j}$) и ни один его элемент $\textstyle g\,\mathbf {H}$ не принадлежит $\textstyle \mathbf {H}$ (если $\textstyle g\,h_{i}=h_{j}$, то $\textstyle g=h_{j}\,h_{i}^{-1}\in \mathbf {H}$, что противоречит условию $\textstyle g\not \in \mathbf {H}$). Поэтому $\textstyle g\,\mathbf {H}$ — это множество имеющее столько же элементов, что и у подгруппы $\textstyle \mathbf {H}$, и не пересекающееся с ней.

Это свойство можно использовать для разбиения группы на смежные классы (подмножества). Действительно, если объединение $\textstyle \mathbf {H}$ и $\textstyle g\,\mathbf {H}$ не даёт ещё всех элементов $\textstyle \mathbf {G}$, возьмём $\textstyle g'$ не принадлежащий ни $\textstyle \mathbf {H}$, ни $\{g\,\mathbf {H} \}$, и образуем третье множество $\textstyle g'\,\mathbf {H}$. Его элементы, также как и элементы $\textstyle g\,\mathbf {H}$ не принадлежат $\textstyle \mathbf {H}$. Более того, они не принадлежат и $g\,\mathbf {H}$ (если бы $\textstyle g'\,h_{i}=g\,h_{j}$, то $\textstyle g'=g\cdot (h_{j}\,h_{i}^{-1})$, и это противоречит тому, что $\textstyle g'$ не принадлежит $\textstyle g\,\mathbf {H}$, т.к. $\textstyle h_{i}h_{j}^{-1}\in \mathbf {H}$). В результате, при помощи подгруппы $\textstyle \mathbf {H}$ порядка $\textstyle n$, возникает разбиение группы $\textstyle \mathbf {G}$, на $\textstyle m$ непересекающихся смежных классов (используют знак плюс, вместо объединения $\textstyle \cap$):

$\mathbf {G} =\mathbf {H} +g\,\mathbf {H} +g'\,\mathbf {H} +...=g_{1}\,\mathbf {H} +g_{2}\,\mathbf {H} +...+g_{m}\,\mathbf {H} ,$

где $\textstyle g_{1}=e$. Число $\textstyle m$ называется индексом подгруппы $\textstyle \mathbf {H}$ в группе $\textstyle \mathbf {G}$. Порядок группы $\textstyle \mathbf {G}$ оказывается равным $\textstyle n=h\cdot m$, и порядок $\textstyle h$ подгруппы $\textstyle \mathbf {H}$ является его делителем. Поэтому справедлива теорема Лагранжа:

\it Порядок любой подгруппы $\textstyle \mathbf {H}$ конечной группы $\textstyle \mathbf {G}$ является одним из делителей порядка группы $\textstyle \mathbf {G}$.

Например, подгруппы $\textstyle \mathbf {C_{3}}$, $\textstyle \mathbf {C_{2}}$ группы $\textstyle \mathbf {D_{3}}$ имеют порядки 3 и 2. Эти числа являются делителями порядка группы $\textstyle \mathbf {D_{3}}$ равного 6. Для группы $\textstyle \mathbf {D_{4}}$ можно сделать следующее разложение на классы:

${\begin{array}{l}\mathbf {D_{4}} =\mathbf {C_{2}} +a\,\mathbf {C_{2}} +b\,\mathbf {C_{2}} +d\,\mathbf {C_{2}} =\{e,\;a^{2}\}+\{a,a^{3}\}+\{b,c\}+\{d,f\}.\\\end{array}}$

Из теоремы Лагранжа следует, что группы, порядок которых является простым числом, не могут иметь несобственных подгрупп.

Подчеркнём, что смежные классы не являются группами, так как, например, единичный элемент находится только в исходной порождающей подгруппе $\textstyle \mathbf {H}$. Однако, как мы сейчас увидим, каждый класс, построенный по инвариантной подгруппе является элементом некоторой группы!

$\textstyle \bullet$ Аналогично "произведению" $\textstyle {a}\,\mathbf {H} =\{a\,h_{1},...,a\,h_{n}\}$ элемента группы на множество, можно определить операцию умножения двух множеств $\textstyle \mathbf {A} =\{a_{1},...,a_{n}\}$ и $\textstyle \mathbf {B} =\{b_{1},...,b_{m}\}$, как множество состоящее из всех упорядоченных произведений: $\textstyle \mathbf {A} \,\mathbf {B} =\{a_{1}b_{1},a_{1}b_{2},...,a_{2}b_{1},....,a_{n}b_{m}\}$. Результаты некоторых произведений могут совпадать, поэтому размерность этого множества будет меньше чем $\textstyle n\cdot m$. В частности $\textstyle \mathbf {H} \mathbf {H}$ — это произведение всех элементов подгруппы, которые снова принадлежат этой подгруппе: $\textstyle \mathbf {H} \mathbf {H} =\mathbf {H}$. В силу ассоциативности $\textstyle \mathbf {A} (a\mathbf {B} )=(\mathbf {A} a)\mathbf {B}$.

Произведение смежных классов построенных по инвариантной подгруппе обладает групповыми свойствами. Например, в силу $\textstyle g\mathbf {H} =\mathbf {H} g$, инвариантная подгруппа $\textstyle \mathbf {H}$ является "единичным" элементом:

$\mathbf {H} \,(g\mathbf {H} )=(\mathbf {H} g)\,\mathbf {H} =g\mathbf {H} \mathbf {H} =g\mathbf {H} .$

Т.е. попарное произведение всех элементов инвариантной группы $\textstyle \mathbf {H}$ и её левого смежного класса $\textstyle g\mathbf {H}$ снова приводит к этому же смежному классу. Аналогично попарные произведения двух смежных классов приводят к смежному классу построенному по элементу $\textstyle ab$: $\textstyle (a\,\mathbf {H} )\,(b\,\mathbf {H} )=(a\,b)\,\mathbf {H} .$ Наконец, произведение смежных классов по обратным элементам дает единичный класс: $\textstyle (a\mathbf {H} )(a^{-1}\mathbf {H} )=\mathbf {H}$.

Таким образом, если в группе порядка $\textstyle h\,m$ имеется инвариантная подгруппа $\textstyle \mathbf {H} \subset \mathbf {G}$ порядка $\textstyle h$, то $\textstyle m$ смежных классов $\textstyle \mathbf {G} =\mathbf {H} +g_{2}\mathbf {H} +...+g_{m}\mathbf {H}$ являются элементами т.н. фактор-группы $\textstyle \mathbf {G} /\mathbf {H}$:

$\{\mathbf {H} ,\;g_{2}\mathbf {H} ,...,\;g_{m}\mathbf {H} \}=\mathbf {G} /\mathbf {H} .$

Инвариантная подгруппа $\textstyle \mathbf {H}$ играет в $\textstyle \mathbf {G} /\mathbf {H}$ роль единичного элемента.

Рассмотрим инвариантную подгруппу $\textstyle \mathbf {H} =\{e,a,a^{2}\}$ группы $\textstyle \mathbf {D_{3}}$. Возьмём любой элемент не находящийся в подгруппе, например $\textstyle b$:

$\mathbf {H} =\{e,a,a^{2}\},\;\;\;\;\;\;b\mathbf {H} =\{b,d,c\},\;\;\;\;\;\mathbf {D_{3}} =\{e,a,a^{2},b,c,d\}=\mathbf {H} +b\mathbf {H} .$

Эти два множества обладают групповой таблицей умножения $\textstyle \mathbf {C_{2}}$. Так:

$\mathbf {H} \cdot (b\mathbf {H} )=\{e,a,a^{2}\}\cdot \{b,c,d\}=\{b,c,d\}=b\mathbf {H} ,$

где после перемножения множеств, при помощи таблицы $\textstyle \mathbf {D_{3}}$ оставлены только неповторяющиеся элементы, составляющие класс $\textstyle b\mathbf {H}$. Аналогично $\textstyle (b\mathbf {H} )\,(b\mathbf {H} )=\mathbf {H}$, и т.д. Инвариантная подгруппа $\textstyle \mathbf {H} =\mathbf {C_{3}}$ имеет порядок 3, и есть только один смежный класс, поэтому порядок фактор-группы $\textstyle \mathbf {D_{3}} /\mathbf {C_{3}}$ равен 2=6/3. Её таблица умножения совпадает с $\textstyle \mathbf {C_{2}}$.

$\textstyle \bullet$ Элемент $\textstyle z'$ называется сопряжённым к элементу $\textstyle z$, если существует такой $\textstyle g$, что:

$z'=gzg^{-1}.$

В группе $\textstyle \mathbf {D_{3}}$ элементы $\textstyle b$ и $\textstyle d$ сопряжены, так как $\textstyle aba^{-1}=ca^{2}=d.$ Сопряженность элементов напоминает определение сопряжения подгруппы (стр.\,\pageref{sym_inv_gr_def}), но относится не к множеству элементов, а к одному (точнее двум, связанным сопряжением).

Сопряженность элементов обладает транзитивностью: если $\textstyle z''$ сопряжен $\textstyle z'$, а $\textstyle z'$ сопряжен к $\textstyle z$, то и $\textstyle z''$, $\textstyle z$ сопряжены:

$z''=az'a^{-1},\;\;\;\;\;z'=bzb^{-1},\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;z''=(ab)z(ab)^{-1}.$

Понятно, что если $\textstyle z'$ сопряжен $\textstyle z$, то и $\textstyle z$ сопряжён $\textstyle z'$.

$z'=aza^{-1}\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;z=a^{-1}z'a.$

Это свойство называется симметричностью. Аналогично, справедлива рефлексивность, т.е. элемент сопряжён сам себе. В этом случае $\textstyle g=e$.

Обозначим факт сопряженности следующим образом: $\textstyle z'\sim z$ и назовем его отношением эквивалентности. Свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности сопряженных элементов будут иметь вид:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\begin{array}»): {\displaystyle \begin{array}{lll} рефлексивность:\;\; & x\sim x\\ симметричность:\;\; & x\sim y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; &=>\;\;\;\;\;\;y\sim x\\ транзитивность:\;\; & x\sim y, \;\;y\sim z\;\;\;\;\;&=>\;\;\;\;\;\;x\sim z\\ \end{array}}

Этими же свойствами обладает и равенство элементов $\textstyle x=y$. Однако, если равенство означает полное совпадение $\textstyle x$ и $\textstyle y$, то эквивалентность относительно сопряжения объявляет "похожими" некоторые группы элементов.

Так, группы $\textstyle \mathbf {D_{3}}$ и $\textstyle \mathbf {D_{4}}$ разбиваются на следующие классы эквивалентности (или классы сопряженных элементов):

${\begin{array}{l}\mathbf {D_{3}} :\;\;\;\{e\},\;\{a,a^{2}\},\;\{b,c,d\};\\\mathbf {D_{4}} :\;\;\;\{e\},\;\{a,a^{3}\},\;\{a^{2}\},\;\{b,c\},\;\{d,f\}.\end{array}}$

Важным свойством класса эквивалентности к сопряжению является то, что все элементы данного класса имеют одинаковый порядок:

$a^{m}=e,\;\;b=gag^{-1}\;\;\;\;=>\;\;\;b^{m}=(gag^{-1})^{m}=ga^{m}g^{-1}=geg^{-1}=e.$

Единичный элемент любой группы образует "класс эквивалентности" состоящий только из него самого. В абелевой группе все элементы коммутируют друг с другом и сопряженным к элементу будет он сам. Поэтому, также как и единичный элемент, каждый элемент абелевой группы образует класс сопряженности состоящий из этого одного элемента.

$\textstyle \bullet$ Элемент $\textstyle z$ является самосопряженным элементом, если для любого $\textstyle g\in \mathbf {G}$ сопряжение снова даёт $\textstyle z$:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \forall g\in \mathbf{G}\;\;\;\;\;\;\; z=gzg^{-1},\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;gz=zg.}

Другими словами, самосопряженный элемент коммутирует (перестановочен) с любым элементом группы. Это свойство не стоит путать с определением инвариантной подгруппы $\textstyle g\,\mathbf {H} =\mathbf {H} \,g$, в котором, вообще говоря слева и справа стоят разные элементы $\textstyle g\,h_{i}=h_{j}\,g$ из подмножества H.

Множество всех самосопряженных элементов $\textstyle \mathbf {Z} =\{z_{1},...,z_{k}\}$ образует абелеву подгруппу $\textstyle \mathbf {Z} \subset \mathbf {G}$, которую называют центром. Одновременно центр является инвариантной подгруппой (но не наоборот!). В группе $\textstyle \mathbf {D_{3}}$ центр тривиален: $\textstyle \{e\}$, а в $\textstyle \mathbf {D_{4}}$ нетривиальным центром является $\textstyle \mathbf {Z} =\{e,a^{2}\}$. Так как $\textstyle (a^{2})^{2}=e$, то это группа $\textstyle \mathbf {C_{2}}$.

В любой абелевой группе каждый элемент является самосопряжённым, и вся такая группа является центром. Самосопряженный элемент образует класс эквивалентности из единственного элемента - самого себя.

$\textstyle \bullet$ Нормализатором элемента $\textstyle a$ называют множество $\textstyle \mathbf {N} _{a}$ всех элементов группы $\mathbf {G}$, которые коммутируют с $\textstyle a$. Нормализатор самосопряженного элемента совпадает со всей группой.

Элементы каждого нормализатора обладают групповыми свойствами. Поэтому нормализатор элемента $\textstyle a\in \mathbf {G}$ является подгруппой группы $\textstyle \mathbf {G}$. Её порядок равен $\textstyle n/m$, где $\textstyle m$ — индекс в разложении Лагранжа:

$\mathbf {G} =\mathbf {N} _{a}+g_{2}\mathbf {N} _{a}+...+g_{m}\mathbf {N} _{a}.$

Справедлива теорема:

Число элементов сопряженных к $\textstyle a$ равно индексу $\textstyle m$ в разложении Лагранжа по нормализатору $\textstyle \mathbf {N} _{a}$.

Действительно, чтобы построить класс эквивалентности к $\textstyle a$ надо перебрать все элементы $\textstyle x\in \mathbf {G}$, отобрав неповторяющиеся значения $\textstyle xax^{-1}$. Пусть $\textstyle x$ сначала пробегает элементы первого смежного класса $\textstyle \mathbf {N} _{a}$. Тогда $\textstyle \mathbf {N} _{a}a\mathbf {N} _{a}^{-1}=a\mathbf {N} _{a}\mathbf {N} _{a}^{-1}=a$. Для $\textstyle x\in g_{2}\mathbf {N} _{a}$ имеем $\textstyle xax^{-1}=g_{2}ag_{2}^{-1}\neq a$ (так как $\textstyle g_{2}$ не входит в $\textstyle \mathbf {N} _{a}$ и с $\textstyle a$ не коммутирует). Так, для каждого из $\textstyle m$ сопряженных классов получим $\textstyle m$ различных эквивалентных элементов.

В группе $\textstyle \mathbf {D_{3}}$ есть 4 нормализатора:

$\mathbf {N} _{a}=\{e,a,a^{2}\},\;\;\;\;\;\;\mathbf {N} _{b}=\{e,b\},\;\;\;\;\;\;\mathbf {N} _{c}=\{e,c\},\;\;\;\;\;\;\mathbf {N} _{d}=\{e,d\}.$

Разложение Лагранжа этой группы имеет вид

$\mathbf {D_{3}} =\mathbf {N} _{b}+a\mathbf {N} _{b}+d\mathbf {N} _{b}=\{e,b\}+\{a,c\}+\{d,a^{2}\},$

поэтому в классе эквивалентности к $\textstyle b$ есть 3 элемента (это $\textstyle \{b,c,d\}$).

$\textstyle \bullet$ Изоморфизм — это взаимооднозначная функция связывающая два элемента множества $\textstyle \Psi :\;\mathbf {G} \to \mathbf {G}$, и сохраняющая групповое умножение:

$\Psi (x)\cdot \Psi (y)=\Psi (x\cdot y).$

(EQN)

Обратимость функции $\textstyle \Psi$ означает, что её упорядоченная область значений является некоторой перестановкой области определений. Другими словами, две конечные группы изоморфны, если они эквивалентны с точностью до переобозначения своих элементов. Поэтому изоморфизм абстрактных групп называется также автоморфизмом (изоморфизм группы "самой в себя").

Что бы обнаружить автоморфизм, можно начать с поиска элемента порядка 1. В таблице $\textstyle \mathbf {G} _{1}$ он единственен $\textstyle b^{2}=e$. Аналогично, в $\textstyle \mathbf {G} _{2}$: $\textstyle c^{2}=e$, поэтому $\textstyle \Psi (b)=c$. Выбор соответствия для остальных элементов в данном случае — произволен.

Рассматривая для группы $\textstyle \mathbf {G}$ все различные функции $\textstyle y=\Psi _{k}(x)$ проводящие подобные перестановки, мы приходим к группе автоморфизмов обозначаемой $\textstyle {\rm {Aut}}\mathbf {G}$. Элементами этой группы являются функции, а умножением — композиция функций $\textstyle \Psi _{k}(x)=\Psi _{j}(\Psi _{i}(x))$, выполняющих последовательные автоморфизмы. Единичным преобразованием является $\textstyle \Psi _{1}(x)=x$. Обратным — обратная функция $\textstyle \Psi _{k}^{-1}(\Psi _{k}(x))=x$. Для умножения двух элементов $\textstyle x$, $\textstyle y$ и двух последовательных автоморфизмов $\textstyle \Psi _{i}$ и $\textstyle \Psi _{j}$ (см. ()):

$\Psi _{i}(\Psi _{j}(x))\cdot \Psi _{i}(\Psi _{j}(y))=\Psi _{i}(\Psi _{j}(x)\cdot \Psi _{j}(y))=\Psi _{i}(\Psi _{j}(x\cdot y)).$

Внутренним автоморфизмом называют автоморфизм возникающий при применении операции сопряжения:

$x\to \Psi _{g}(x)=gxg^{-1}.$

Абелевы группы $\textstyle \mathbf {C_{n}}$ являются самосопряжёнными, поэтому сопряжение не создаёт внутренних автоморфизмов (кроме тривиального единичного $\textstyle \Psi _{g}(x)=x$, для любого $\textstyle g\in \mathbf {G}$). Для группы $\textstyle \mathbf {D_{3}}$ можно, например, так переставить элементы:

$\Psi _{a}(x)\;:\;\;\;a\cdot \{e,a,a^{2},b,c,d\}\cdot a^{2}=\{e,a,a^{2},d,b,c\}.$

Внутренние автоморфизмы вида $\textstyle x\to gxg^{-1}$ являются подгруппой группы всех автоморфизмов $\textstyle {\rm {Aut}}\,\mathbf {G}$.

$\textstyle \bullet$ Введем еще одно понятие. Пусть на множествах $\textstyle {\mathcal {F}}=\{f_{1},...,f_{n}\}$ и $\textstyle {\mathcal {G}}=\{g_{1},...,g_{m}\}$ заданы групповые функции умножения. Прямым произведением $\textstyle {\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}}$ двух множеств $\textstyle {\mathcal {F}}=\{f_{1},...,f_{n}\}$ и $\textstyle {\mathcal {G}}=\{g_{1},...,g_{m}\}$ называют множество всех $\textstyle n\cdot m$ упорядоченных пар $\textstyle (f_{i},\;g_{j})$. Определим на этом множестве новую группу, при помощи закона умножения:

$(g_{1},\;f_{1})\cdot (g_{2},\;f_{2})=(g_{1}\cdot g_{2},\;f_{1}\cdot f_{2}).$

Так как таблицы умножения $\textstyle g_{i}\cdot g_{j}$ и $\textstyle f_{i}\cdot f_{j}$ известны, нам становится известной и таблица для группы на $\textstyle {\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}}$. Подобный метод создания новых групп особенно интересен в обратную сторону, когда выясняется, что некоторую группу можно представить в виде прямого произведения двух других меньших групп, свойства которых исследовать проще.

Найдём прямое произведение группы $\textstyle \mathbf {C_{2}} =\{e,\;\alpha \}$ саму на себя:

Получившаяся группа $\textstyle \mathbf {D_{2}} =\{e,a,b,c\}$ из 4-х элементов (порядок равен 4) может быть записана следующим образом: $\textstyle \mathbf {D_{2}} =\mathbf {C_{2}} \times \mathbf {C_{2}}$.

Пусть $\textstyle f_{1}=e$ - единичный элемент группы $\textstyle {\mathcal {F}}$. Тогда множество элементов $\textstyle (f_{1},g_{1})$, $\textstyle (f_{1},g_{2})$,...,$\textstyle (f_{1},g_{m})$ образуют инвариантную подгруппу группы $\textstyle {\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}}$. Эта подгруппа изоморфна группе $\textstyle {\mathcal {G}}$ ($\textstyle \lessdot$\,H).

Если две инвариантные подгруппы $\textstyle \mathbf {A}$ и $\textstyle \mathbf {B}$ группы $\textstyle \mathbf {G}$ пересекаются только на единичный элемент, и произведение множеств $\textstyle \mathbf {A} \mathbf {B}$ приводит к множеству $\textstyle \mathbf {G}$, то группа $\textstyle \mathbf {G}$ изоморфна прямому произведению $\textstyle \mathbf {A} \times \mathbf {B}$:

$(inv)\;\;\mathbf {A} ,\mathbf {B} \subset \mathbf {G} ,\;\;\;\;\mathbf {A} \cap \mathbf {B} =\{e\},\;\;\;\mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {G} \;\;\;\;=>\;\;\;\;\mathbf {G} \approx \mathbf {A} \times \mathbf {B} .$

Это утверждение стоит попробовать доказать ($\textstyle \lessdot$\,H), доказав сперва, что если две инвариантные подгруппы не имеют общих элементов (кроме единичного), то их элементы коммутируют друг с другом ($\textstyle \lessdot$\,H).

\hrule

В теории групп существует множество определений, которые необходимо выучить, каждый раз испытывая удивление тому, что 4 простые аксиомы порождают такое разнообразие алгебраических структур. Напомним наиболее важные термины:

группа, порядок группы и элемента, абелева группа, подгруппа, сопряженная и инвариантная подгруппы, простая и полупростая группы, изоморфизм, гомоморфизм, ядро, смежный класс, фактор-группа, класс эквивалентности, самосопряженный элемент, центр, нормализатор, группа автоморфизмов, прямое произведение.

---

Группа перестановок <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 6)	>> Представления групп

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии