Динамика в неинерциальной системе

Движение частиц и света <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 4)	>> Парадоксы остановки и близнецов

---

Вернёмся к общему решению для траектории свободной частицы в жёсткой равноускоренной системе отсчёта (), (), стр.\,\pageref{nonint_traj_gestk_part_y}. Дифференцируя эти выражения по времени, несложно найти компоненты координатной скорости частицы:

$v_{x}={\frac {(1+ax)^{2}}{(1+ax_{0})^{2}}}\,{\bigl [}v_{0x}\mathrm {ch} \,at)-(1+ax_{0})\,\mathrm {sh} \,at){\bigr ]},\;\;\;\;\;\;v_{y}=v_{0y}\,{\frac {(1+ax)^{2}}{(1+ax_{0})^{2}}}.$

С их помощью запишем квадрат физической скорости:

${\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}{(1+ax)^{2}}}=1-{\frac {(1+ax)^{2}}{(1+ax_{0})^{4}}}\,\left[(1+ax_{0})^{2}-v_{0x}^{2}-v_{0y}^{2}\right].$

Это соотношение можно переписать в виде:

${\frac {1+ax}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/(1+ax)^{2}}}}={\frac {1+ax_{0}}{\sqrt {1-\mathbf {v} _{0}^{2}/(1+ax_{0})^{2}}}},$

где $\textstyle \mathbf {v} ^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}$ и аналогично для начального значения с индексом 0. В правой части равенства стоит константа, поэтому при движении частицы сохраняется (является интегралом движения) следующая величина:

$E=m\,{\frac {1+ax}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/(1+ax)^{2}}}}=const,$

(EQN)

которую мы назовём энергией частицы. Параметр $\textstyle m$ на который умножен интеграл движения, будем считать массой частицы.

В нерелятивистском пределе малых скоростей разложим корень в ряд Тейлора:

$E\approx m\,(1+ax)+{\frac {m\mathbf {v^{2}} /2}{1+ax}}\approx m+{\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{2}}+ma\,x,$

где во втором приближенном равенстве мы пренебрегли в знаменателе ускорением, считая $\textstyle \mathbf {v} ^{2}ax\ll 1$. Равноускоренная неинерциальная система отсчёта в классической механике эквивалента однородному полю тяжести с $\textstyle g=a$ (направленному против оси $\textstyle x$). Поэтому член $\textstyle ma\,x$ соответствует потенциальной энергии, а выражение для $\textstyle E$ является полной энергией частицы (кинетическая плюс потенциальная), включая энергию покоя $\textstyle E_{0}=m$.

Таким образом, сохраняющаяся величина () является полной энергией релятивистской частицы в неинерциальной системе отсчёта. Эта энергия эффективно учитывает силу инерции которая действует на частицу, поэтому зависит не только от её скорости, но и от положения.

Умножим числитель и знаменатель в выражении для энергии на $\textstyle 1+ax$:

$E={\frac {m\,(1+ax)^{2}}{\sqrt {(1+ax)^{2}-\mathbf {v} ^{2}}}}.$

Так как в жесткой равноускоренной системе отсчёта в координатах Мёллера интервал вдоль траектории движения частицы равен:

$ds^{2}=(1+ax)^{2}\,dt-dx^{2}-dy^{2}=\left[(1+ax)^{2}-\mathbf {v} ^{2}\right]\,dt^{2}$

и $\textstyle g_{00}=(1+ax)^{2}$, энергию можно переписать виде:

$E=mg_{00}{\frac {dt}{ds}}.$

Вводя 4-вектор $\textstyle dx^{\alpha }=\{dt,\;d\mathbf {x} \}$, аналогично инерциальной системе отсчёта, определим 4-скорость и 4-импульс частицы:

$u^{\alpha }={\frac {dx^{\alpha }}{ds}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;p^{\alpha }=m\,u^{\alpha }.$

При помощи метрического тензора опустим индекс вниз, определив:

$p_{\alpha }=g_{\alpha \beta }p^{\beta }.$

Так как $\textstyle ds^{2}=g_{\alpha \beta }\,dx^{\alpha }dx^{\beta }$, то квадрат 4-вектора скорости равен единице, а квадрат 4-импульса, как обычно, равен квадрату инвариантной массы частицы:

$m^{2}=p_{\alpha }p^{\alpha }=g_{\alpha \beta }\,p^{\alpha }p^{\beta }.$

Для жесткой равноускоренной системы $\textstyle g_{0i}=0$ и $\textstyle g_{ij}=-\delta _{ij}$, поэтому сохраняющаяся полная энергия $\textstyle E$ совпадает с нулевой компонентой $\textstyle p_{0}$ контравариантного 4-вектора $\textstyle p_{\alpha }$:

$p_{0}=g_{0\alpha }\,p^{\alpha }=g_{00}\,m\,{\frac {dt}{ds}}+g_{0i}\,m\,{\frac {dx^{i}}{ds}}=g_{00}\,m\,{\frac {dt}{ds}}.$

Обратим внимание, что в неинерциальных системах отсчёта, в отличие от инерциальных в лоренцевых координатах, коэффициенты метрического тензора зависят от координат. Поэтому, $\textstyle p_{\alpha }$ является отличной от $\textstyle p^{\alpha }$ функцией координат и в жесткой неинерциальной системе отсчёта сохраняется именно $\textstyle p_{0}=E$, а не $\textstyle p^{0}$.

Так как скорость частицы под воздействием сил инерции, в общем случае, меняет своё направление, трёхмерный импульс не сохраняется. Это относится как к $\textstyle p_{i}$, так и к $\textstyle p^{i}$. Сохраняется только полная энергия.

$\textstyle \bullet$ Проведём некоторые обобщения. Определим квадрат физической скорости частицы:

${\tilde {\mathbf {v} }}^{2}={\frac {\delta l^{2}}{\delta \tau ^{2}}}={\frac {\gamma _{ij}\,dx^{i}dx^{j}}{\left({\sqrt {g_{00}}}\,dt+g_{0i}\,dx^{i}/{\sqrt {g_{00}}}\right)^{2}}},$

(EQN)

где $\textstyle \delta l$ — физическая длина и $\textstyle \delta \tau$ — физическое время. Деля числитель и знаменатель на $\textstyle dt$, получаем связь квадрата физической скорости (помечена тильдой) с компонентами $\textstyle v^{i}=dx^{i}/dt$ координатной скорости:

${\tilde {\mathbf {v} }}^{2}={\frac {\gamma _{ij}\,v^{i}v^{j}}{g_{00}\,(1-\gamma _{i}\,v^{i})^{2}}},$

(EQN)

где введено сокращение

$\gamma _{i}=-{\frac {g_{0i}}{g_{00}}}.$

Соответственно компонентами физической скорости (снова тильда) назовём:

${\tilde {v}}^{i}={\frac {v^{i}/{\sqrt {g_{00}}}}{1-\gamma _{i}\,v^{i}}},$

(EQN)

так, что

${\tilde {\mathbf {v} }}^{2}=\gamma _{ij}\,{\tilde {v}}^{i}{\tilde {v}}^{j}={\tilde {v}}_{i}{\tilde {v}}^{i},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\tilde {v}}_{i}=\gamma _{ij}\,{\tilde {v}}^{j}.$

Отметим также соотношение:

${\frac {1}{1-\gamma _{i}v^{i}}}=1+\gamma _{i}{\tilde {v}}^{i}\,{\sqrt {g_{00}}},$

которое получается после свёртки определения () с $\textstyle \gamma _{i}$.

Собственное время частицы (интервал вдоль её траектории) можно записать в виде:

$ds=\left[\delta \tau ^{2}-\delta l^{2}\right]^{1/2}={\sqrt {1-{\tilde {\mathbf {v} }}^{2}}}\,\delta \tau$

или, подставляя интервал физического времени, как:

$ds={\sqrt {1-{\tilde {\mathbf {v} }}^{2}}}\,({\sqrt {g_{00}}}\,dt+g_{0i}\,dx^{i}/{\sqrt {g_{00}}})={\sqrt {1-{\tilde {\mathbf {v} }}^{2}}}\;(1-\gamma _{i}v^{i})\,\,{\sqrt {g_{00}}}\,dt.$

Поэтому компоненты вектора координатной 4-скорости $\textstyle u^{\alpha }=dx^{\alpha }/ds$ равны:

$u^{0}={\frac {\gamma _{i}{\tilde {v}}^{i}+1/{\sqrt {g_{00}}}}{\sqrt {1-{\tilde {\mathbf {v} }}^{2}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u^{\alpha }={\frac {{\tilde {v}}^{i}}{\sqrt {1-{\tilde {\mathbf {v} }}^{2}}}}.$

Подчеркнём еще раз, что $\textstyle {\tilde {\mathbf {v} }}$ — это физическая, а не координатная скорость.

Теперь мы можем определить полную энергию частицы:

$E=m\,g_{0\alpha }u^{\alpha }=m\,g_{00}\,(u^{0}-\gamma _{i}u^{i}).$

Подставляя компоненты 4-скорости, окончательно имеем

$E={\frac {m\,{\sqrt {g_{00}}}}{\sqrt {1-{\tilde {\mathbf {v} }}^{2}}}}.$

(EQN)

В главе мы докажем, что если метрические коэффициенты $\textstyle g_{\alpha \beta }$ в неинерциальной системе отсчёта не зависят от времени, то выражение () является интегралом движения. Другими словами в стационарном случае полная энергия частицы всегда сохраняется.

Так, равномерно вращающаяся система отсчёта является стационарной. Продемонстрируем, что энергия частицы () в этой системе постоянна. Для интервала (стр.\,\pageref{nonin_rot_ds_Born})

$ds^{2}=(1-\omega ^{2}r^{2})\,dt^{2}-2\omega \,r^{2}\,dt\,d\phi -dr^{2}-r^{2}\,d\phi ^{2}-dz^{2}$

физическое время и квадрат физической длины равны:

$\delta \tau ={\sqrt {1-(\omega r)^{2}}}\,dt-{\frac {\omega r^{2}\,d\phi }{\sqrt {1-(\omega r)^{2}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\delta l^{2}=dr^{2}+{\frac {r^{2}\,d\phi ^{2}}{1-(\omega r)^{2}}}.$

Поэтому квадрат физической длины () равен:

${\tilde {\mathbf {v} }}^{2}={\frac {(1-\omega ^{2}r^{2})\,{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}}{(1-\omega ^{2}r^{2}-\omega r^{2}{\dot {\phi }})^{2}}},$

где точка — производная по времени $\textstyle t$. Соответственно, энергия частицы равна:

$E=m\,{\frac {1-\omega r^{2}\,(\omega +{\dot {\phi }})}{\sqrt {1-{\dot {r}}^{2}-r^{2}\,(\omega +{\dot {\phi }})^{2}}}}.$

(EQN)

Благодаря соотношениям (), стр.\,\pageref{nonin_rot_light_r1} числитель и знаменатель в выражении для энергии постоянен.

Отметим простое частное решение приводящее к постоянству энергии:

${\dot {\phi }}=-\omega ,\;\;\;\;\;\;\;\;{\dot {r}}=const.$

В лабораторной системе отсчёта такая траектория частицы соответствует движению по прямой, проходящей через центр вращения. В координатных величинах неинерциальной системы отсчёта это движение выглядит как раскручивающая спираль.

---

Движение частиц и света <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 4)	>> Парадоксы остановки и близнецов

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии