Аберрация

Фотографирование объектов <<	Оглавление (Глава 2)	>> Звёздное небо

---

$\textstyle \bullet$ Аберрация аналогична эффекту Доплера, однако при этом "искажается" не частота излучения источника, а его видимое положение. Как и эффект Доплера, аберрация имеет классическую составляющую и поправки, связанные с релятивистскими эффектами. Впервые аберрация была обнаружена как изменение положения звёзд при движении Земли по орбите вокруг Солнца. Поэтому начнём мы именно с этого примера.

Пусть неподвижный относительно Солнца наблюдатель $\textstyle S$ видит в направлении $\textstyle \theta$ от плоскости орбиты Земли так же неподвижную звезду (в астрономии этот угол называется склонением). Другой наблюдатель $\textstyle S'$ на Земле движется относительно первого со скоростью $\textstyle v$ (рисунок слева):

Когда наблюдатели окажутся в одной точке, землянин увидит звезду под углом $\textstyle \theta '$ (второй рисунок). Для землянина звезда движется ему навстречу со скоростью $\textstyle v$, поэтому она видна из положения $\textstyle A$, которое занимала некоторое время $\textstyle t'$ назад. Это время необходимо свету, чтобы пройти гипотенузу треугольника ($\textstyle c=1$). "Истинное" положение звезды соответствует точке $\textstyle B$. Неподвижный относительно звезды наблюдатель $\textstyle S$ также видит её в прошлом, но всё время в одном направлении (под углом $\textstyle \theta$). Разложение гипотенузы $\textstyle t'$ по катетам позволяет связать между собой углы:

$\left\{{\begin{array}{l}t'\sin \theta '=H'\\t'\cos \theta '=vt'+L'\end{array}}\right.\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\sin \theta '}{\cos \theta '-v}}={\frac {H'}{L'}}={\frac {\mathrm {tg} \theta }{\sqrt {1-v^{2}}}},$

где учтено, что для неподвижного относительно звезды наблюдателя $\textstyle \mathrm {tg} \theta =H/L$, и, в силу лоренцевского сокращения, расстояние по горизонтали до звезды с точки зрения землянина сокращается $\textstyle L'=L{\sqrt {1-v^{2}}}$, а $\textstyle H'=H$. Учитывая, что $\textstyle 1+\mathrm {tg} ^{2}\theta =1/\cos ^{2}\theta$, можно записать:

$\cos \theta ={\frac {\cos \theta '-v}{1-v\cos \theta '}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sin \theta ={\frac {{\sqrt {1-v^{2}}}\cdot \sin \theta '}{1-v\cos \theta '}}.$

(2.12)

Рассмотренные в предыдущем разделе искажения формы двигающихся объектов, по сути, также являлись проявлением аберрации.

---

$\textstyle \bullet$ К аберрации можно также прийти от правила сложения скоростей. В данном случае объектом, двигающимся со скоростью $\textstyle \mathbf {u}$ относительно системы $\textstyle S$ и c $\textstyle \mathbf {u} '$ относительно $\textstyle S'$, является световой сигнал, распространяющийся от источника к наблюдателям:

Из рисунка следует, что проекции скорости света равны $\textstyle u_{x}=-\cos \theta$ и $\textstyle u_{y}=-\sin \theta$. Аналогично со штрихами для двигающегося наблюдателя $\textstyle S'$, так как модуль скорости света $\textstyle c=1$ в обоих системах одинаков. Подставляя эти компоненты в закон сложения скоростей, получим:

$\cos \theta '={\frac {\cos \theta +v}{1+v\cos \theta }},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sin \theta '={\frac {{\sqrt {1-v^{2}}}\cdot \sin \theta }{1+v\cos \theta }}.$

(2.13)

Эти формулы являются обратным к найденными выше. Как обычно, обратные преобразования получаются при замене $\textstyle v\mapsto -v$ или прямыми алгебраическими вычислениями.

Разница в углах наблюдения источника для неподвижного и двигающегося наблюдателей может быть выражена через синус разности углов $\textstyle \alpha =\theta -\theta '$:

$\sin \alpha =\sin \theta \cos \theta '-\cos \theta \sin \theta '={\frac {v+\left(1-{\sqrt {1-v^{2}}}\right)\cos \theta }{1+v\cos \theta }}\sin \theta .$

При малых скоростях можно написать приближённое соотношение:

$\sin \alpha \approx v\cdot \sin \theta .$

Так как $\textstyle v\ll 1$, следовательно угол $\textstyle \alpha$ мал, и в силу $\textstyle \sin \alpha \approx \alpha$, имеем $\textstyle \alpha \approx v\sin \theta$. Разность в наблюдениях максимальна, когда угол $\textstyle \theta =\pi /2$, т.е. источник находится над головой неподвижного наблюдателя. В этом случае, в первом приближении по $\textstyle v$, отклонение от вертикали для двигающегося наблюдателя составит $\textstyle \alpha \approx v$.

В обыденной жизни мы наблюдаем эффект аберрации, когда замечаем, что звук быстро летящего самолёта в воздухе отстаёт от его истинного положения (которое, в данном случае, практически совпадает с видимым).

---

$\textstyle \bullet$ Получим теперь формулу аберрации, справедливую для произвольного направления скорости и положения объекта. Для этого запишем преобразования Лоренца в векторном виде. Пусть система $\textstyle S'$ двигается со скоростью $\textstyle \mathbf {v}$ относительно инерциальной системы $\textstyle S$:

Хотя рисунок выполнен в двумерии, сейчас мы считаем, что движение происходит в трёхмерном пространстве. На правом рисунке представлено разложение радиус вектора $\textstyle \mathbf {r}$ по двум векторам $\textstyle \mathbf {r} _{\shortparallel }$ и $\textstyle \mathbf {r} _{\perp }$. Первый из них направлен вдоль скорости $\textstyle \mathbf {v}$, а второй ей перпендикулярен:

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{\shortparallel }+\mathbf {r} _{\perp },\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {r} _{\shortparallel }={\frac {(\mathbf {r} \mathbf {v} )}{v^{2}}}\,\mathbf {v} .$

Длина вектора $\textstyle \mathbf {r} _{\shortparallel }$ определяется проекцией $\textstyle \mathbf {r}$ на единичный вектор вдоль направления скорости $\textstyle \mathbf {v} /v$. Он же задаёт направление $\textstyle \mathbf {r} _{\shortparallel }$. Далее, $\textstyle v={\sqrt {\mathbf {v} ^{2}}}$ — длина вектора относительной скорости.

Подобное разложение позволяет записать преобразования Лоренца для каждой компоненты:

$\mathbf {r} '_{\shortparallel }=\gamma \cdot (\mathbf {r} _{\shortparallel }-\mathbf {v} t),\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {r} '_{\perp }=\mathbf {r} _{\perp },\;\;\;\;\;\;\;t'=\gamma \cdot (t-\mathbf {r} _{\shortparallel }\mathbf {v} ),$

где $\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}}}$. Действительно, $\textstyle \mathbf {r} _{\shortparallel }$ направлен вдоль $\textstyle \mathbf {v}$ и играет роль $\textstyle x$ в обычных преобразованиях Лоренца. Аналогично $\textstyle \mathbf {r} _{\perp }$ перпендикулярен скорости и играет роль $\textstyle y$. Учитывая, что $\textstyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} '_{\shortparallel }+\mathbf {r} '_{\perp }$, заменяя $\textstyle \mathbf {r} _{\perp }$ на $\textstyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{\shortparallel }$, несложно записать преобразования в виде:

$\mathbf {r} '=\mathbf {r} -\gamma \mathbf {v} t+(\gamma -1)\,{\frac {(\mathbf {r} \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t'=\gamma \cdot (t-\mathbf {r} \mathbf {v} ).$

(2.14)

Их эквивалентная форма может быть представлена при помощи векторного произведения:

$\mathbf {r} '=\gamma \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {v} t)+(\gamma -1)\,{\frac {[\mathbf {v} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {r} ]]}{v^{2}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;t'=\gamma \cdot (t-\mathbf {r} \mathbf {v} ),$

(2.15)

где учтено тождество двойного векторного произведения, справедливое для любых трёх векторов: $\textstyle [\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ]]=\mathbf {b} (\mathbf {a} \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \mathbf {b} )$. Обратные преобразования получаются, как обычно, заменой $\textstyle \mathbf {v} \mapsto -\mathbf {v}$.

---

$\textstyle \bullet$ При помощи (2.14) можно получить связь скоростей некоторого объекта $\textstyle \mathbf {u'} =d\mathbf {r} '/dt'$ и $\textstyle \mathbf {u} =d\mathbf {r} /dt$, измеренные наблюдателями в каждой системе отсчёта:

$\mathbf {u} '={\frac {\mathbf {u} -\mathbf {v} +[\mathbf {v} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {u} ]]\cdot \left(1-{\sqrt {1-v^{2}}}\right)/v^{2}}{1-\mathbf {u} \mathbf {v} }}.$

Из этого соотношения совсем несложно найти выражение для аберрации. Предположим, что единичные векторы $\textstyle \mathbf {n}$ и $\textstyle \mathbf {n} '$ являются направлениями на источник света с точки зрения каждого наблюдателя. Соответственно, световой сигнал распространяется к наблюдателю, т.е. против этих векторов: $\textstyle \mathbf {u} =-\mathbf {n}$ и $\textstyle \mathbf {u} '=-\mathbf {n} '$, поэтому:

$\mathbf {n} '={\frac {\mathbf {n} +\mathbf {v} +[\mathbf {v} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {n} ]]\cdot (1-{\sqrt {1-v^{2}}})/v^{2}}{1+\mathbf {n} \mathbf {v} }}.$

(2.16)

Например, когда нас интересует угол $\textstyle \theta$ между направлением на объект и вектором скорости, можно записать $\textstyle \mathbf {n} \mathbf {v} =v\cos \theta$, и аналогично для штрихованного угла. Умножая правую и левую часть на $\textstyle \mathbf {v}$, и учитывая, что для любого вектора $\textstyle \mathbf {a}$ справедливо $\textstyle \mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {a} )=(\mathbf {v} \times \mathbf {v} )\cdot \mathbf {a} =0$, несложно получить соотношение для косинусов (2.12).

Косинус угла $\textstyle \cos \alpha$ между направлениями на источник в обоих системах равен:

$\cos \alpha =\mathbf {n} '\mathbf {n} =1-{\frac {[\mathbf {v} \times \mathbf {n} ]^{2}}{(1+\mathbf {n} \mathbf {v} )v^{2}}}\left(1-{\sqrt {1-v^{2}}}\right)\approx 1-{\frac {[\mathbf {v} \times \mathbf {n} ]^{2}}{2}},$

где приближенное равенство записано для малых скоростей, когда можно считать, что $\textstyle {\sqrt {1-v^{2}}}\approx 1-v^{2}/2$. Если скорость мала, то мал и угол аберрации. Учитывая разложение косинуса $\textstyle \cos \alpha =1-\alpha ^{2}/2+...$, получаем:

$\alpha \approx |[\mathbf {v} \times \mathbf {n} ]|.$

Аберрация отсутствует, если источник находится на прямой движения системы отсчёта, и максимальна, если $\textstyle \mathbf {n}$ и $\textstyle \mathbf {v}$ перпендикулярны. В этом случае угол $\textstyle \alpha =v$ и направлен от вертикали в сторону движения.

Для малых скоростей в формуле для аберрации (2.15) можно отбросить двойное векторное произведение (порядок $\textstyle v^{2}$) и, раскладывая в ряд знаменатель, в линейном по $\textstyle v$ приближении, получить:

$\mathbf {n} '\approx \mathbf {n} +\mathbf {v} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \mathbf {v} )=\mathbf {n} -[\mathbf {n} \times [\mathbf {n} \times \mathbf {v} ]].$

(2.17)

Во втором равенстве снова использована формула двойного векторного произведения. В качестве упражнения имеет смысл проверить, что эта приближённая формула с точностью до первого порядка по $\textstyle v$ приводит к единичной длине штрихованного вектора $\textstyle \mathbf {n} '^{2}\approx 1$.

---

$\textstyle \bullet$ Земля вращается вокруг Солнца по эллипсу. На самом деле эксцентриситет (сплюснутость) земной орбиты не велик. Минимальное и максимальное расстояния от Солнца отличаются друг от друга всего на 3\%, поэтому, для упрощения вычислений будем считать орбиту Земли круговой с радиусом $\textstyle R=1.496\cdot 10^{8}$ км. Это расстояние также называется одной астрономической единицей (а.е.). Пока забудем об аберрации. Даже в её отсутствие, из-за обращения Земли вокруг Солнца близкие к нам звёзды испытывают видимое перемещение на небесной сфере, т.н. годовой параллакс. В простейшем случае, если звезда находится "над Солнцем", с точки зрения Земли она описывает окружность (левый рисунок):

Парсек — это расстояние, с которого средний радиус орбиты Земли виден под углом равным одной секунде. На рисунке пропорции сильно искажены. На самом деле $\textstyle r_{0}\gg R$, и, следовательно, $\textstyle R/r_{0}=\mathrm {tg} \theta \approx \theta$. Одна угловая секунда составляет 1/3600 часть градуса, поэтому:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle 1\;пк = \frac{360\cdot 3600}{2\pi}\cdot 1\,a.e = 206\,265\;a.e.=3.0857\cdot 10^{13}\,км.}

Слово парсек происходит от объединения слов параллакс и секунда. Расстояние в один парсек свет преодолевает в течении 3.26 года. Расстояние до ближайшей звёздной системы Альфа-Центавра составляет 1.3 пк. Измерение параллаксов при помощи орбитальных телескопов позволяет охватить расстояния до 500 пк.

Для описания параллакса произвольно ориентированной звезды введём единичный вектор $\textstyle \mathbf {n} _{0}=\mathbf {r} _{0}/r_{0}$ в её направлении с точки зрения "наблюдателя на Солнце" и $\textstyle \mathbf {n} =\mathbf {r} /r$ для земного наблюдателя. Для радиус-векторов каждого наблюдателя справедливо соотношение $\textstyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}-\mathbf {R}$, где $\textstyle \mathbf {R}$ — радиус-вектор, направленный от Солнца к Земле. Считая, что $\textstyle r_{0}\gg R$, аналогично эффекту Доплера (стр. \pageref{dopler_dt}), можно записать:

$r={\sqrt {(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {R} )^{2}}}\approx {\sqrt {\mathbf {r} ^{2}-2\mathbf {r} \mathbf {R} }}\approx r_{0}-\mathbf {n} _{0}\mathbf {R} =r_{0}\cdot (1-\mathbf {n} _{0}\mathbf {P} ),$

где $\textstyle \mathbf {P} =\mathbf {R} /r_{0}$ — вектор параллакса. Поэтому:

$\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}\approx {\frac {\mathbf {r} _{0}-\mathbf {R} }{r_{0}(1-\mathbf {n} _{0}\mathbf {P} )}}\approx (\mathbf {n} _{0}-\mathbf {P} )(1+\mathbf {n} _{0}\mathbf {P} )\approx \mathbf {n} _{0}+\mathbf {n} _{0}(\mathbf {n} _{0}\mathbf {P} )-\mathbf {P} ,$

где знаменатель разложен по малым $\textstyle P$.

Воспользовавшись тождеством $\textstyle [\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ]]=\mathbf {b} (\mathbf {a} \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \mathbf {b} )$, связь единичных векторов в направлении звезды с Солнца $\textstyle \mathbf {n} _{0}$ и Земли $\textstyle \mathbf {n}$ можно записать при помощи векторного произведения:

$\mathbf {n} \approx \mathbf {n} _{0}+\mathbf {n} _{0}(\mathbf {n} _{0}\mathbf {P} )-\mathbf {P} =\mathbf {n} _{0}+[\mathbf {n} _{0}\times [\mathbf {n} _{0}\times \mathbf {P} ]].$

(2.18)

В сферической системе координат с углами $\textstyle (\theta ,\phi )$ (см. выше центральный рисунок) на поверхности сферы можно ввести два ортогональных единичных вектора $\textstyle \mathbf {e} _{\phi }$, $\textstyle \mathbf {e} _{\theta }$, перпендикулярных к $\textstyle \mathbf {n} _{0}$:

$\mathbf {n} _{0}=(s_{\theta }c_{\phi },\;s_{\theta }s_{\phi },\;c_{\theta })\;\;\;\;\;\mathbf {e} _{\phi }=(-s_{\phi },\;c_{\phi },\;0),\;\;\;\;\;\mathbf {e} _{\theta }=(c_{\theta }c_{\phi },\;c_{\theta }s_{\phi },\;-s_{\theta }),$

где $\textstyle s_{\theta }=\sin \theta$, $\textstyle c_{\theta }=\cos \theta$, и т.д. Несложно проверить, что $\textstyle \mathbf {e} _{\phi }\mathbf {e} _{\theta }=0$, кроме этого, вектора $\textstyle \mathbf {e} _{\phi }\sim \partial \mathbf {n} _{0}/\partial \phi$, $\textstyle \mathbf {e} _{\theta }=\partial \mathbf {n} _{0}/\partial \theta$ направлены в сторону малого изменения угловых координат.

Земля вращается вокруг Солнца по окружности, поэтому компоненты параллакса равны $\textstyle \mathbf {P} =\mathbf {R} /r_{0}=P\cdot (\cos 2\pi t,\;\sin 2\pi t,\;0)$, где время $\textstyle t$ измеряется в годах. Проекции вектора $\textstyle \mathbf {n}$ на оси сферической системы координат $\textstyle (\mathbf {e} _{\phi },\mathbf {e} _{\theta })$ имеют значения:

$\mathbf {n} \mathbf {e} _{\phi }=-\mathbf {P} \mathbf {e} _{\phi }=P\sin(\phi -2\pi t),\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {n} \mathbf {e} _{\theta }=-\mathbf {P} \mathbf {e} _{\theta }=-P\cos \theta \cos(\phi -2\pi t).$

Таким образом, на поверхности небесной сферы звезда описывает эллипс с полуосями $\textstyle P\cos \theta$ и $\textstyle P$. При $\textstyle \theta =0$ (звезда над Солнцем) получается окружность с радиусом, равным параллаксу.

До сих пор земная система отсчёта была неподвижна. Подставляя в приближённое соотношение для аберрации (2.16) связь (2.17) и пренебрегая членами порядка $\textstyle P\cdot v$, можно записать:

$\mathbf {n} '\approx \mathbf {n} _{0}+\underbrace {[\mathbf {n} _{0}\times [\mathbf {n} _{0}\times \mathbf {P} ]]} _{parallax}-\underbrace {[\mathbf {n} _{0}\times [\mathbf {n} _{0}\times \mathbf {v} ]]} _{aberration}.$

Скорость движения Земли $\textstyle \mathbf {v}$ по круговой орбите перпендикулярна $\textstyle \mathbf {R}$ и составляет 30 км/c или $\textstyle v=10^{-4}$ в долях скорости света. Если радиус-вектор $\textstyle \mathbf {R} =R\cdot (\cos 2\pi t,\sin 2\pi t,0)$, то скорость $\textstyle \mathbf {v} =v\cdot (-\sin 2\pi t,\cos 2\pi t,0)$. Стоит проверить, что при этом большая полуось эллипса равна $\textstyle {\sqrt {P^{2}+v^{2}}}$.

Параллакс даже для ближайшей звёзды равен $\textstyle P=R/r_{0}\sim 4\cdot 10^{-6}$, т.е. в 27 раз меньше безразмерной скорости. Поэтому движение звёзд в течении года по эллипсу в результате аберрации — эффект более заметный, чем параллакс. Тем не менее измерение параллакса является наиболее надёжным способом определения расстояния до ближайших звёзд.

---

Фотографирование объектов <<	Оглавление (Глава 2)	>> Звёздное небо

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии