Теория броуновского движения

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Как решать стохастические задачи? << Оглавление >> Стохастический осциллятор


Рассмотрим сферическую частицу радиуса . При движении со скоростью в жидкости с вязкостью на неё действуют сила трения, пропорциональная скорости , сила тяжести и сила Архимеда , где — плотность воды, а — броуновской частицы. Если, кроме этих сил, частица подвержена хаотическим толчкам со стороны молекул воды, то систему уравнений движения можно записать в следующем виде (уравнения Ланжевена):

Brown particle.png

где и . Первое уравнение — это определение скорости, второе — закон Ньютона , а характеризует интенсивность воздействия со стороны молекул. Ускорение свободного падения м/с направлено вниз: , .

Сделаем оценки величин, входящих в уравнения. Вязкость воды кг/(м c), типичный размер броуновской частицы м, масса кг (плотность кг/м). Поэтому с.

Пренебрежём сначала силой тяжести ( если ). Так как система линейна, уравнения для средних совпадают с классическими:

и легко интегрируются:

Если с, то среднее значение скорости становится равным нулю при любом начальном значении . Найдём средние квадратов динамических переменных (6.17),(Системы стохастических уравнений):

(7.1)

В данном случае , и

где элементы в представляют собой матрицы 3x3 для каждой степени свободы координаты и импульса.

Просуммируем (7.1) по , т.е. по координатам скорости (вторая динамическая переменная):

При броуновская частица забывает начальное значение скорости , и среднее её квадрата стремится к величине . Этот результат можно сразу получить из уравнения, положив .

Температура пропорциональна средней кинетической энергии молекул воды. В процессе постоянного столкновения с броуновской частицей их кинетические энергии выравниваются, поэтому:

где Дж/К — постоянная Больцмана, связывающая температуру и энергию. В результате мы нашли зависимость волатильности внешних воздействий со стороны молекул от макроскопически измеримых величин — температуры и вязкости жидкости . При комнатной температуре K типичная среднеквадратичная скорость равна м/с. Заметим, что молекулы воды, имея массу кг, обладают существенно более высокой скоростью м/с. Кроме этого, при плотности воды кг/м расстояние между молекулами м, что сравнимо с их размером. Это означает плотную упаковку молекул и очень частые толчки молекул по броуновской частице. Поэтому непрерывное стохастическое дифференциальное уравнение в данном случае более чем уместно.

Свернём уравнения (7.1) по и , (можно решить сначала уравнения для каждой компоненты отдельно, а затем сложить эти решения):

Найдём асимптотическое поведение. Если , то скалярное произведение координаты на скорость равно константе . Поэтому среднее значение квадрата координаты при больших временах равно:

Таким образом, дисперсия квадрата радиус-вектора со временем увеличивается линейно. Этот эффект наблюдается в эксперименте. При комнатной температуре параметр c определяет темпы типичного дрожания броуновской частицы ( C).

Если плотность частицы выше, чем у воды , то и уравнение для средней скорости

приводит к тому, что в асимптотическом пределе частица опускается вниз в среднем с постоянной скоростью:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \left\langle \mathbf{v}\right\rangle = \tau \,\gamma\, \mathbf{g} + \left(\mathbf{v}_0 - \tau \, \gamma\, \mathbf{g}\right)\,e^{-t/\tau} \to \tau \, \gamma\, \mathbf{g} \sim \frac{\gamma\, a}{1\;с}.}

Естественно, рано или поздно на её пути окажется дно сосуда. Произойдёт отражение от него и снова блуждание со сносом вниз. В результате возникнет стационарное распределение по координатам и скоростям. Чтобы найти его, рассмотрим уравнение Фоккера-Планка:

имеющее в стационарном случае следующий вид:

Несложно проверить, что этому уравнению удовлетворяет функция:

где . Величина является энергией частицы (кинетическая плюс потенциальная). Полученный результат имеет достаточно общий характер и называется распределением Гиббса. Чем меньше энергия системы, тем более вероятно такое состояние.

Если ось направлена вверх, то . При нормировке плотности вероятности предполагается, что отражающая поверхность дна сосуда расположена в точке . По мере подъёма по вероятность встретить броуновскую частицу экспоненциально падает:

где безразмерный параметр характеризует темпы спада вероятности, если расстояние выражено в радиусах частицы. При фиксированной плотности броуновской частицы распределение вероятностей оказывается очень чувствительным к её размеру.

Работа Ланжевена была инспирирована теорией броуновского движения Альберта Эйнштейна (Albert Einstein), опубликованной в 1905 г. Его рассуждения выглядели следующим образом.

Пусть координата броуновской частицы претерпевает случайные изменения по одной оси и функция является плотностью вероятности найти её в точке . Если в момент времени координата была , то, изменившись на в течение малого времени , в момент времени она станет равной . Произведение вероятности начального состояния и вероятности независимого от него изменения даст вероятность конечного состояния , которую нужно просуммировать по всем возможным значениям :

Разложим уравнение в ряд до первого порядка по и второго по :

Если направления равновероятны, то . Вводя конечное отношение , для в пределе получаем:

(7.2)

Это уравнение теплопроводности соответствует винеровскому блужданию с дисперсией , линейно увеличивающейся со временем.

Записывая систему уравнений Ланжевена, мы исходили из двух динамических переменных и . При этом среднее значение быстро (при ) стремилось к постоянному значению, тогда как "динамикой обладала" переменная . Возьмём второе уравнение системы Ланжевена и в нулевом приближении положим . Выразив из него и подставив его в первое уравнение, получим:

где - в общем случае произвольная потенциальная энергия частицы, а — её градиент. Соответствующее этому стохастическому уравнению уравнение Фоккера - Планка было получено Смолуховским в 1906 г.

Подобный способ устранения быстро изменяющихся переменных является достаточно общим и мощным приближенным методом решения различных стохастических задач.


Как решать стохастические задачи? << Оглавление >> Стохастический осциллятор

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения