Теория броуновского движения

Как решать стохастические задачи? <<	Оглавление	>> Стохастический осциллятор

---

Рассмотрим сферическую частицу радиуса $\textstyle a$. При движении со скоростью $\textstyle \mathbf {v}$ в жидкости с вязкостью $\textstyle \eta$ на неё действуют сила трения, пропорциональная скорости $\textstyle \mathbf {F} _{f}=-6\pi \eta a\mathbf {v}$, сила тяжести $\textstyle \mathbf {F} _{g}=m\mathbf {g}$ и сила Архимеда $\textstyle \mathbf {F} _{a}=-\rho _{0}\mathbf {g} V=-\mathbf {F} _{g}\cdot (\rho _{0}/\rho )$, где $\textstyle \rho _{0}$ — плотность воды, а $\textstyle \rho$ — броуновской частицы. Если, кроме этих сил, частица подвержена хаотическим толчкам со стороны молекул воды, то систему уравнений движения можно записать в следующем виде (уравнения Ланжевена):

где $\textstyle \tau =m/6\pi \eta a$ и $\textstyle \gamma =1-\rho _{0}/\rho$. Первое уравнение — это определение скорости, второе — закон Ньютона $\textstyle m\,d\mathbf {v} /dt=\mathbf {F}$, а $\textstyle \sigma$ характеризует интенсивность воздействия со стороны молекул. Ускорение свободного падения $\textstyle g=9.8$ м/с$\textstyle ^{2}$ направлено вниз: $\textstyle \mathbf {x} =(x,y,z)$, $\textstyle \mathbf {g} =(0,0,-g)$.

Сделаем оценки величин, входящих в уравнения. Вязкость воды $\textstyle \eta \sim 10^{-3}\,$кг/(м c), типичный размер броуновской частицы $\textstyle a\sim 10^{-6}\,$м, масса $\textstyle m\sim 4\cdot 10^{-15}$ кг (плотность $\textstyle \rho \sim 10^{3}$ кг/м$\textstyle ^{3}$). Поэтому $\textstyle \tau \sim 2\cdot 10^{-7}$ с.

Пренебрежём сначала силой тяжести ($\textstyle \gamma \approx 0$ если $\textstyle \rho _{0}\approx \rho$). Так как система линейна, уравнения для средних совпадают с классическими:

${\dot {\left\langle \mathbf {x} \right\rangle }}=\left\langle \mathbf {v} \right\rangle ,\;\;\;\;\;\;\;\;{\dot {\left\langle \mathbf {v} \right\rangle }}=-\left\langle \mathbf {v} \right\rangle /\tau ,$

и легко интегрируются:

$\left\langle \mathbf {v} \right\rangle =\mathbf {v} _{0}\,e^{-t/\tau },\;\;\;\;\;\;\left\langle \mathbf {x} \right\rangle =\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v} _{0}\tau \,-\mathbf {v} _{0}\tau \,e^{-t/\tau }.$

Если $\textstyle t\gg \tau \sim 2\cdot 10^{-7}$ с, то среднее значение скорости становится равным нулю при любом начальном значении $\textstyle \mathbf {v} _{0}$. Найдём средние квадратов динамических переменных (6.17),(Системы стохастических уравнений):

${\dot {\left\langle x_{\mu }x_{\nu }\right\rangle }}=\left\langle x_{\mu }a_{\nu }+x_{\nu }a_{\mu }+b_{\nu \alpha }b_{\mu \alpha }\right\rangle .$

(7.1)

В данном случае $\textstyle x_{\nu }={\begin{pmatrix}\mathbf {x} ,&\mathbf {v} \\\end{pmatrix}}$, и

$a_{\nu }={\begin{pmatrix}\,\mathbf {v} ,&-\mathbf {v} /\tau \\\end{pmatrix}},\;\;\;\;b_{\nu \alpha }=\sigma \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {1} \\\end{pmatrix}},\;\;\;\;b_{\nu \alpha }b_{\mu \alpha }=\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} ^{T}=\sigma ^{2}\cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {1} \\\end{pmatrix}},$

где элементы в $\textstyle b_{\nu \alpha }$ представляют собой матрицы 3x3 для каждой степени свободы координаты и импульса.

Просуммируем (7.1) по $\textstyle \mu =\nu =4,5,6$, т.е. по координатам скорости (вторая динамическая переменная):

${\dot {\left\langle \mathbf {v} ^{2}\right\rangle }}=-{\frac {2}{\tau }}\,\left\langle \mathbf {v} ^{2}\right\rangle +3\sigma ^{2}\;\;\;=>\;\;\;\;\left\langle \mathbf {v} ^{2}\right\rangle ={\frac {3}{2}}\,\tau \sigma ^{2}+\left(\mathbf {v} _{0}^{2}-{\frac {3}{2}}\,\tau \sigma ^{2}\right)\,e^{-2t/\tau }.$

При $\textstyle t\gg \tau$ броуновская частица забывает начальное значение скорости $\textstyle \mathbf {v} _{0}$, и среднее её квадрата стремится к величине $\textstyle 3\tau \sigma ^{2}/2$. Этот результат можно сразу получить из уравнения, положив $\textstyle {\dot {\left\langle \mathbf {v} ^{2}\right\rangle }}=0$.

Температура пропорциональна средней кинетической энергии молекул воды. В процессе постоянного столкновения с броуновской частицей их кинетические энергии выравниваются, поэтому:

${\frac {3}{2}}\,kT={\frac {m\left\langle \mathbf {v} ^{2}\right\rangle }{2}}={\frac {3}{4}}\,\tau \sigma ^{2}m\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\tau \sigma ^{2}={\frac {2kT}{m}},\;\;\;\left\langle \mathbf {v} ^{2}\right\rangle ={\frac {3kT}{m}},$

где $\textstyle k=1.4\;10^{-23}$ Дж/К — постоянная Больцмана, связывающая температуру и энергию. В результате мы нашли зависимость волатильности внешних воздействий со стороны молекул $\textstyle \sigma$ от макроскопически измеримых величин — температуры $\textstyle T$ и вязкости жидкости $\textstyle \eta$. При комнатной температуре $\textstyle T\sim 300$ K типичная среднеквадратичная скорость равна $\textstyle \left\langle \mathbf {v} ^{2}\right\rangle ^{1/2}={\sqrt {3kT/m}}\sim 2\cdot 10^{-3}$ м/с. Заметим, что молекулы воды, имея массу $\textstyle m_{0}\sim 3\cdot 10^{-26}$ кг, обладают существенно более высокой скоростью $\textstyle \sim 600$ м/с. Кроме этого, при плотности воды $\textstyle \rho _{0}=10^{3}$ кг/м$\textstyle ^{3}$ расстояние между молекулами $\textstyle d\approx (m_{0}/\rho _{0})^{1/3}\sim 3\cdot 10^{-10}$ м, что сравнимо с их размером. Это означает плотную упаковку молекул и очень частые толчки молекул по броуновской частице. Поэтому непрерывное стохастическое дифференциальное уравнение в данном случае более чем уместно.

Свернём уравнения (7.1) по $\textstyle \mu =\nu =1,2,3$ и $\textstyle \mu =1,2,3$, $\textstyle \nu =4,5,6$ (можно решить сначала уравнения для каждой компоненты отдельно, а затем сложить эти решения):

${\dot {\left\langle \mathbf {x} ^{2}\right\rangle }}=2\,\left\langle \mathbf {x} \mathbf {v} \right\rangle ,\;\;\;\;\;\;{\dot {\left\langle \mathbf {x} \mathbf {v} \right\rangle }}=-{\frac {1}{\tau }}\,\left\langle \mathbf {x} \mathbf {v} \right\rangle +\left\langle \mathbf {v} ^{2}\right\rangle .$

Найдём асимптотическое поведение. Если $\textstyle {\dot {\left\langle \mathbf {x} \mathbf {v} \right\rangle }}=0$, то скалярное произведение координаты на скорость равно константе $\textstyle \left\langle \mathbf {x} \mathbf {v} \right\rangle =\tau \left\langle \mathbf {v} ^{2}\right\rangle$. Поэтому среднее значение квадрата координаты при больших временах равно:

$\left\langle \mathbf {x} ^{2}\right\rangle -\mathbf {x} _{0}^{2}=2\tau \left\langle \mathbf {v} ^{2}\right\rangle \cdot t={\frac {kT}{\pi \eta a}}\cdot t=a^{2}\,{\frac {t}{\tau _{\sigma }}}.$

Таким образом, дисперсия квадрата радиус-вектора со временем увеличивается линейно. Этот эффект наблюдается в эксперименте. При комнатной температуре параметр $\textstyle \tau _{\sigma }=\pi \eta a^{3}/kT\sim 1$ c определяет темпы типичного дрожания броуновской частицы ($\textstyle \lessdot$ C).

$\textstyle \bullet$ Если плотность частицы $\textstyle \rho$ выше, чем у воды $\textstyle \rho _{0}$, то $\textstyle \gamma >0$ и уравнение для средней скорости

${\dot {\left\langle \mathbf {v} \right\rangle }}=\gamma \,\mathbf {g} -{\frac {1}{\tau }}\left\langle \mathbf {v} \right\rangle$

приводит к тому, что в асимптотическом пределе частица опускается вниз в среднем с постоянной скоростью:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle \mathbf{v}\right\rangle = \tau \,\gamma\, \mathbf{g} + \left(\mathbf{v}_0 - \tau \, \gamma\, \mathbf{g}\right)\,e^{-t/\tau} \to \tau \, \gamma\, \mathbf{g} \sim \frac{\gamma\, a}{1\;с}.}

Естественно, рано или поздно на её пути окажется дно сосуда. Произойдёт отражение от него и снова блуждание со сносом вниз. В результате возникнет стационарное распределение по координатам и скоростям. Чтобы найти его, рассмотрим уравнение Фоккера-Планка:

$\;{\frac {\partial P}{\partial t}}+{\frac {\partial (a_{i}P)}{\partial x_{i}}}-{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}{\Bigl [}b_{i\alpha }b_{j\alpha }P{\Bigr ]}=0,$

имеющее в стационарном случае $\textstyle \partial P/\partial t=0$ следующий вид:

$\mathbf {v} \,{\frac {\partial P}{\partial \mathbf {x} }}+{\frac {\partial {\bigl [}(\gamma \,\mathbf {g} -\mathbf {v} /\tau )P{\bigr ]}}{\partial \mathbf {v} }}-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,{\frac {\partial ^{2}P}{\partial \mathbf {v} ^{2}}}=0.$

Несложно проверить, что этому уравнению удовлетворяет функция:

$P(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )=P_{0}e^{-\beta E(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )={\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{2}}-\gamma \,m\mathbf {g} \mathbf {x} ,$

где $\textstyle \beta =1/kT$. Величина $\textstyle E(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )$ является энергией частицы (кинетическая плюс потенциальная). Полученный результат $\textstyle P(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )\sim e^{-\beta E}$ имеет достаточно общий характер и называется распределением Гиббса. Чем меньше энергия системы, тем более вероятно такое состояние.

Если ось $\textstyle z$ направлена вверх, то $\textstyle \mathbf {g} \mathbf {x} =-gz$. При нормировке плотности вероятности предполагается, что отражающая поверхность дна сосуда расположена в точке $\textstyle z=0$. По мере подъёма по $\textstyle z$ вероятность встретить броуновскую частицу экспоненциально падает:

$P(z)={\frac {\lambda }{a}}\,e^{-\lambda \,z/a},\;\;\;\;\;\;\;\;\lambda =\gamma \,{\frac {mga}{kT}}={\frac {4\pi g}{3kT}}\,(\rho -\rho _{0})\,a^{4},$

где безразмерный параметр $\textstyle \lambda$ характеризует темпы спада вероятности, если расстояние выражено в радиусах частицы. При фиксированной плотности броуновской частицы распределение вероятностей оказывается очень чувствительным к её размеру.

$\textstyle \bullet$ Работа Ланжевена была инспирирована теорией броуновского движения Альберта Эйнштейна (Albert Einstein), опубликованной в 1905 г. Его рассуждения выглядели следующим образом.

Пусть координата броуновской частицы $\textstyle x$ претерпевает случайные изменения $\textstyle \varepsilon$ по одной оси и функция $\textstyle P(x,t)$ является плотностью вероятности найти её в точке $\textstyle x$. Если в момент времени $\textstyle t-\tau$ координата была $\textstyle x-\varepsilon$, то, изменившись на $\textstyle \varepsilon$ в течение малого времени $\textstyle \tau$, в момент времени $\textstyle t$ она станет равной $\textstyle x$. Произведение вероятности начального состояния $\textstyle P(x-\varepsilon ,t-\tau )$ и вероятности независимого от него изменения $\textstyle \phi (\varepsilon )$ даст вероятность конечного состояния $\textstyle P(x,t)$, которую нужно просуммировать по всем возможным значениям $\textstyle \varepsilon$:

$P(x,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }P(x-\varepsilon ,t-\tau )\;\phi (\varepsilon )\,d\varepsilon .$

Разложим уравнение в ряд до первого порядка по $\textstyle \tau$ и второго по $\textstyle \varepsilon$:

$P(x,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left[P(x,t)-{\frac {\partial P(x,t)}{\partial t}}\;\tau -{\frac {\partial P}{\partial x}}\;\varepsilon +{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}\;{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}+...\right]\phi (\varepsilon )d\varepsilon .$

Если направления равновероятны, то $\textstyle \left\langle \varepsilon \right\rangle =0$. Вводя конечное отношение $\textstyle \sigma _{x}^{2}=\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle /\tau$, для $\textstyle P(x,t)$ в пределе $\textstyle \tau \to 0$ получаем:

$\;\;{\frac {\partial P}{\partial t}}={\frac {\sigma _{x}^{2}}{2}}\;{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}.\;\;$

(7.2)

Это уравнение теплопроводности соответствует винеровскому блужданию $\textstyle dx=\sigma _{x}\delta W$ с дисперсией $\textstyle {x}$, линейно увеличивающейся со временем.

$\textstyle \bullet$ Записывая систему уравнений Ланжевена, мы исходили из двух динамических переменных $\textstyle \mathbf {x}$ и $\textstyle \mathbf {v}$. При этом среднее значение $\textstyle \mathbf {v}$ быстро (при $\textstyle t\gg \tau$) стремилось к постоянному значению, тогда как "динамикой обладала" переменная $\textstyle \mathbf {x}$. Возьмём второе уравнение системы Ланжевена и в нулевом приближении положим $\textstyle d\mathbf {v} =0$. Выразив из него $\textstyle \mathbf {v} dt$ и подставив его в первое уравнение, получим:

$d\mathbf {x} =\gamma \,\mathbf {g} \tau dt+\sigma \tau \,\delta \mathbf {W} =-{\frac {\tau }{m}}\mathbf {\nabla } V(\mathbf {x} )dt+\left(2kT\,{\frac {\tau }{m}}\right)^{1/2}\,\delta \mathbf {W} ,$

где $\textstyle V(\mathbf {x} )$ - в общем случае произвольная потенциальная энергия частицы, а $\textstyle \mathbf {\nabla }$ — её градиент. Соответствующее этому стохастическому уравнению уравнение Фоккера - Планка было получено Смолуховским в 1906 г.

Подобный способ устранения быстро изменяющихся переменных является достаточно общим и мощным приближенным методом решения различных стохастических задач.

---

Как решать стохастические задачи? <<	Оглавление	>> Стохастический осциллятор

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения