Решение уравнения Фоккера-Планка

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Уравнение для плотности вероятности << Оглавление >> Граничные условия

В качестве примера решения уравнения Фоккера-Планка рассмотрим случай винеровского блуждания с и :

(4.12)

Это уравнение теплопроводности с коэффициентом диффузии . Именно оно дало название диффузным процессам. Представим (аргументы начальных условий опускаем) в виде фурье-интеграла (см. Приложение М, стр. \pageref{math_cont_fourie}):

(4.13)

Подставляя его в (4.12), получаем для следующее уравнение:

(4.14)

При его решении возникает произвольная константа, для определения которой необходимо воспользоваться начальным условием:

Поэтому фурье-образ плотности вероятности при должен быть равен . В результате решение (4.14) имеет вид:

Выполняя интегрирование (4.13) при помощи интеграла (), стр. \pageref{gauss_int_gen}, приходим к гауссовой плотности условной вероятности:

Видно, что волатильность в гауссиане увеличивается с течением времени, как . Среднее значение равно начальному . Плотность вероятности вокруг симметрична и постепенно "расплывается", увеличивая свою ширину. Таким образом, лучшим прогнозом будущего будет его начальное значение .

Аналогично можно решить уравнение Фоккера-Планка, соответствующее процессу: ( H), и несколько длиннее, при помощи метода характеристик (стр. \pageref{characteristics_method}), - для процесса Орнштейна-Уленбека: ( H).

Мы уже обсуждали в конце раздела , стр. \pageref{sect_autocor_fun2}, что начальные условия могут быть заданы с некоторой вероятностью. Например, это происходит, когда учитывают неизбежные измерительные ошибки при определении . Возможны и более экзотические ситуации начальной неопределённости.

С точки зрения решения уравнения Фоккера-Планка это означает, что начальное условие для плотности вероятности равно не дельта - функции Дирака, а некоторой задаваемой функции . Для неё тоже можно записать фурье - преобразование:

При решении уравнения для винеровского блуждания с учётом этого начального условия мы имеем:

Чтобы получить вероятность будущих значений , необходимо вычислить интеграл (4.13). Рассмотрим случай, когда начальные условия имеют гауссову форму:

где - среднее значение, а - волатильность (ошибка измерения ). В этом случае снова получится гауссова плотность , зависящая от времени, но волатильность в ней будет заменена следующим образом:

Другими словами, неопределённость в будущем значении определяется начальной неопределённостью и "привнесённой" случайным блужданием . Этот результат для волатильностей справедлив и в случае произвольного распределения . Действительно, полагая , при помощи гауссовой случайной величины запишем решение винеровского процесса:

Считая случайной величиной, получаем:

где мы воспользовались независимостью будущего блуждания и начальных условий .


Уравнение для плотности вероятности << Оглавление >> Граничные условия

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения