Прецессия Томаса/Преобразования Лоренца

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск

Версия для печати: pdf


Введение << Оглавление >> Лоренцевское сокращение

Пусть начало инерциальной системы отсчёта движется относительно "неподвижной" системы со скоростью . Время и координаты некоторого события, наблюдаемого из системы , обозначим как . Это же событие в системе имеет время и координаты со штрихами . Рассмотрим сначала одномерное движение вдоль оси со скоростью . Будем считать, что в момент времени начала систем отсчёта совпадают: . Чтобы связь между наблюдениями события имела смысл, необходимо согласовать единицы измерения длины и времени в обоих системах отсчёта. Единицы длины можно согласовать при помощи "сравнения линеек" в перпендикулярном к относительной скорости направлении. Такими "линейками" может быть, например, расстояние между траекториями двух частиц, движущихся параллельно оси .

Постулируется, что координаты и будут одинаковыми в обоих системах отсчёта: . Единицы времени выбираются в результате соглашения о значении относительной скорости систем отсчёта. В частности, если начало системы () имеет уравнение движения , то начало () относительно системы , движется следующим образом: . После такого согласования единиц измерения, используя аксиоматику Эйнштейна [1] или групповой подход [2], [3], [4], можно получить преобразования Лоренца в следующем виде:

(5)

где — фактор Лоренца.

При движении вдоль оси координатные оси обоих систем отсчёта предполагаются параллельными друг другу. Обратные преобразования получаются перестановкой "штрихованных" и "нештрихованных" величин местами и заменой .

Пусть теперь относительная скорость двух систем отсчёта направлена произвольным образом. Фиксирование значений компонент вектора (и с обратным знаком для ), означает также выбор определённой ориентации координатных осей в каждой системе отсчета. Пусть наблюдатели в системе при данном выборе координатных осей получают, например, следующие компоненты относительной скорости: . Тогда наблюдатели в системе должны выбрать направление координатных осей таким образом, чтобы относительная скорость для них имела компоненты: . Такая процедура позволяет ориентировать координатные оси систем отсчёта так, чтобы они были в некотором смысле "параллельны" друг другу.

В 3-мерном пространстве компоненты скорости не изменятся, если координатный базис повернуть вокруг вектора . Поэтому для однозначной фиксации осей, вообще говоря, требуется ещё одно направление. Например, наблюдатели могут согласовать координаты двух параллельных "линеек", расположенных ортогонально к относительной скорости (аналогично, параллельны оси , и , при движении вдоль оси ).


Lorenz 3D 2.png

Рисунок 3. Согласование единиц измерения двумя системами отсчёта.

Для вывода преобразований Лоренца в векторном виде, радиус-вектор раскладывается по двум векторам : параллельному к скорости и перпендикулярному . Для них выполняются обычные преобразования Лоренца (5):

(6)

Подставляя их в и заменяя на , несложно записать преобразования Лоренца в векторном виде:

(7)

где кроме фактора , введено обозначение для величины , которая обладает следующими свойствами:

(8)

Обратные преобразования Лоренца получаются заменой .

Преобразования Лоренца являются пассивными (см. приложение А), т.к. связывают результаты наблюдения одного и того же события относительно различных систем отсчёта. Учитывая процедуру согласования `'параллельности" координатных осей двух систем отсчёта, соотношения (7) можно расписать по компонентам для , и скорости (компоненты которой заданы относительно ). В результате получится связь времени и координат одного и того же события, регистрируемого различными наблюдателями.

Пусть наблюдатели в системе одновременно (по своим часам) фиксируют положение осей системы . В следующем разделе мы покажем, что эти оси (в общем случае) оказываются не только не параллельными к осям системы , но даже и не являются ортогональным базисом (с точки зрения неподвижных наблюдателей). Поэтому "параллельность" координатных осей в преобразованиях Лоренца (7) необходимо понимать только в том смысле, что наблюдатели выполнили описанную выше процедуру согласования единиц измерения и после этого независимо (по компонентам скорости ) задали ориентацию координатных осей.

Примчания

  1. Einstein A. — "Zur Elektrodynamik der bewegter Korper", Ann. Phys. 17 pp.891-921 (1905).
  2. von Ignatowsky W. A. — "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativit\"atsprinzip", Archiv der Mathematik und Physik, 17. p. 1 ff. (1910). Перевод: http://synset.com
  3. Frank P. and Rothe H. — "\"Ober die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme", Ann. Phys. 34, pp.825-853 (1911). Перевод: http://synset.com
  4. Степанов С. С. — "100 лет без второго постулата Эйнштейна", (2010), http://synset.com

Введение << Оглавление >> Лоренцевское сокращение