Прецессия Томаса/Момент импульса и спин

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск

Версия для печати: pdf


Движение по окружности стержня << Оглавление >> Прецессия спина и момента импульса

До сих пор мы рассматривали поворот стержня, движущегося по криволинейной траектории. Иногда вектор спина (собственного момента импульса) гироскопа отождествляют с таким стержнем (или осью координат НИСО). Ниже мы покажем, что это, в общем случае, неверно.

Как известно [1], в теории относительности момент импульса точечной частицы не является векторной частью 4-вектора. Чтобы записать преобразования между двумя инерциальными системами отсчёта, необходимы два вектора:

(46)

где — импульс частицы, а — её энергия. Эти векторы являются компонентами антисимметричного тензора

(47)

где — 4-вектор положения частицы в данный момент времени, а — её 4-импульс.

Используя преобразования Лоренца для координат-времени (7) и аналогичные для энергии-импульса:

(48)

можно получить преобразования для и , которые мы запишем в обращённом виде:

(49)
(50)

Прямые преобразования получаются перестановкой штрихованных и нештрихованных величин и сменой знака относительной скорости .

Продольные компоненты векторов и при преобразованиях Лоренца не изменяются: , . Кроме этого, для точечной частицы эти векторы ортогональны в любой системе отсчёта ().

Суммарная энергия движения, импульс и момент импульса системы частиц определяют суммированием по всем частицам:

(51)

где опущены индексы, нумерующие частицы.

В системе отсчёта, в которой суммарный импульс равен нулю (), вектор делённый на суммарную энергию имеет смысл центра энергии системы [1] (в нерелятивистском случае центра масс):

(52)

где приближенное равенство записано в нерелятивистском пределе, в котором энергия частицы приблизительно равна её массе .

Для системы частиц вводится также 4-вектор собственного момента импульса системы или классического (не квантового) спина [2]:

(53)

где — символ Леви-Чевиты, а — суммарная 4-скорость системы частиц, определяемая при помощи суммарного 4-импульса :

(54)

где — 3-мерный вектор "суммарной скорости", а — масса системы частиц (без учёта энергии их взаимодействия). Мы используем сигнатуру и .

Физический смысл классического спина становится ясным, если его определение (53) записать в 3-мерных обозначениях . Оказывается, что 3-вектор спина пропорционален разнице полного момента импульса и момента суммарного импульса к радиус-вектору центра энергии системы :

(55)

Таким образом, спин имеет смысл собственного момента импульса и равен разнице полного момента импульса и момента движения системы как целого. В системе отсчёта, в которой суммарный импульс равен нулю, 3-мерный вектор спина совпадает с моментом импульса .

В силу антисимметричности символа Леви-Чевиты, произведение спина на 4-вектор скорости в любой системе отсчёта равно нулю:

(56)

Поэтому в системе покоя спин обладает только векторными компонентами .

Для точечной частицы , поэтому всегда . В случае системы частиц, суммарный момент импульса непропорционален суммарному импульсу (51), и спин, в общем случае, не равен нулю.

Примчания

  1. 1,0 1,1 Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. — "Теоретическая физика. Теория поля", Т.2, М.:Наука (1988)
  2. Вейнберг С. — "Гравитация и космология", М.:Мир (1975)

Движение по окружности стержня << Оглавление >> Прецессия спина и момента импульса