Квадратичный функционал

Интегралы Ито <<	Оглавление	>> Интегрирование стохастических уравнений

---

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим процесс, равный интегралу по времени от квадрата винеровской траектории:

$U_{t}=\int \limits _{0}^{t}W_{\tau }^{2}\,d\tau ={\bigl [}\varepsilon _{1}^{2}+(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2})^{2}+...+(\varepsilon _{1}+...+\varepsilon _{n})^{2}{\bigr ]}\,{\frac {t^{2}}{n^{2}}},$

где мы сразу положили $\textstyle n\,\Delta t=t$. Введём гауссовы случайные величины:

$\eta _{k}=\varepsilon _{1}+...+\varepsilon _{k},\;\;\;\;\;\;\left\langle \eta _{i}\,\eta _{j}\right\rangle =D_{ij}=\min(i,j).$

Их матрица дисперсий $\textstyle \mathbf {D}$ имеет единичный определитель $\textstyle \det \mathbf {D} =1$. Действительно, вычитая из всех строк первую строку, затем из всех лежащих ниже второй — вторую строку, и т.д., мы приходим к треугольной матрице с единичными элементами. Например, для $\textstyle n=4$ имеем:

$\det \mathbf {D} =\det {\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&2&2&2\\1&2&3&3\\1&2&3&4\\\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&1&2&2\\0&1&2&3\\\end{pmatrix}}=...=\det {\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}.$

Матрица $\textstyle \mathbf {D}$ определяет плотность вероятности величин $\textstyle \eta _{k}$ ($\textstyle \S$, стр. \pageref{n_dim_gauss_distribution_sec}):

$P(\eta _{1},...,\eta _{n})=(2\pi )^{-n/2}\,e^{-{\frac {1}{2}}\,\eta \cdot \mathbf {D} ^{-1}\cdot \mathbf {\eta } }.$

Для скалярной случайной величины $\textstyle \xi$:

$\xi ={\frac {U_{t}}{t^{2}}}={\frac {\eta _{1}^{2}+...+\eta _{n}^{2}}{n^{2}}},$

найдём производящую функцию:

$\left\langle e^{p\,\xi }\right\rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {p}{n^{2}}}\,(\eta _{1}^{2}+...+\eta _{n}^{2})}P(\eta _{1},...,\eta _{n})\,d^{n}\eta =\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}\,\eta \cdot \mathbf {A} \cdot \eta }}{(2\pi )^{n/2}}}\,d^{n}\eta ={\frac {1}{\sqrt {\det \mathbf {A} }}},$

где матрица $\textstyle \mathbf {A}$ размерности $\textstyle n\,$x$\textstyle \,n$ равна:

$\mathbf {A} =-{\frac {2p}{n^{2}}}\,\mathbf {1} +\mathbf {D} ^{-1}.$

(5.16)

Умножая обе части (5.16) на $\textstyle \mathbf {D}$ и учитывая, что определитель произведения равен произведению определителей, а $\textstyle \det \mathbf {D} =1$, получаем:

$\left\langle e^{p\,\xi }\right\rangle =\left[\det \left(\mathbf {1} -{\frac {2p}{n^{2}}}\,\mathbf {D} \right)\right]^{-1/2}.$

Нам необходимо найти предел этого выражения при $\textstyle n\to \infty$.

$\textstyle \bullet$ Для матрицы $\textstyle \mathbf {D}$ размерности $\textstyle n\,$x$\textstyle \,n$ с элементами $\textstyle D_{ij}=\min(i,j)$ докажем следующее соотношение:

$\lim _{n\to \infty }\det \left(\mathbf {1} -{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\,\mathbf {D} \right)=\cos(x).$

Несложно проверить, что обратная к $\textstyle \mathbf {D}$ матрица является ленточной:

$\mathbf {D} ^{-1}={\begin{pmatrix}2&-1&0&0&0\\-1&2&-1&0&0\\0&-1&2&-1&0\\0&0&-1&2&-1\\0&0&0&-1&1\\\end{pmatrix}}.$

Поэтому $\textstyle A_{n}=\det \left(\mathbf {1} -\lambda \,\mathbf {D} \right)=\det \left(\mathbf {D} ^{-1}-\lambda \right)$, где $\textstyle \lambda =x^{2}/n^{2}$, или

$A_{n}=\det {\begin{pmatrix}2-\lambda &-1&0&0&0\\-1&2-\lambda &-1&0&0\\0&-1&2-\lambda &-1&0\\0&0&-1&2-\lambda &-1\\0&0&0&-1&1-\lambda \\\end{pmatrix}}.$

Вычисление определителя по первой колонке даёт следующее рекуррентное уравнение:

$A_{n}=(2-\lambda )\,A_{n-1}-A_{n-2}.$

Решим его сначала в более общем случае: $\textstyle A_{n}=(\alpha +\beta )\,A_{n-1}-\alpha \beta A_{n-2}$. Перенося влево $\textstyle \alpha A_{n-1}$ и $\textstyle \beta A_{n-1}$, получим две геометрические прогрессии:

$\left\{{\begin{array}{l}A_{n}-\alpha A_{n-1}=\beta \cdot (A_{n-1}-\alpha A_{n-2})=\beta ^{n-2}\cdot (A_{2}-\alpha A_{1})\\A_{n}-\beta A_{n-1}=\alpha \cdot (A_{n-1}-\beta A_{n-2})=\alpha ^{n-2}\cdot (A_{2}-\beta A_{1}).\\\end{array}}\right.$

Если $\textstyle \alpha \neq \beta$, то можно исключить $\textstyle A_{n-1}$ и найти $\textstyle A_{n}$:

$A_{n}={\frac {A_{2}-\beta A_{1}}{\alpha (\alpha -\beta )}}\,\alpha ^{n}-{\frac {A_{2}-\alpha A_{1}}{\beta (\alpha -\beta )}}\,\beta ^{n}.$

В нашем случае $\textstyle \alpha$ и $\textstyle \beta$ являются корнями уравнения $\textstyle x^{2}-(2-\lambda )\,x+1=0$, для которых можно сразу взять ведущий порядок малости по $\textstyle 1/n$:

$\alpha \approx 1+\imath \,{\frac {x}{n}},\;\;\;\;\;\beta \approx 1-\imath \,{\frac {x}{n}},\;\;\;\;\;\;A_{1}\approx A_{2}\approx 1.$

Воспользовавшись предельным определением экспоненты, получаем:

$A_{n}\to {\frac {1}{2}}\,\left(1+{\frac {\imath x}{n}}\right)^{n}+{\frac {1}{2}}\,\left(1-{\frac {\imath x}{n}}\right)^{n}\;\to \;{\frac {e^{\imath \,x}+e^{-\imath \,x}}{2}}=\cos(x),$

что и требовалось доказать.

$\textstyle \bullet$ Таким образом, интегралу от квадрата винеровской траектории

$U_{t}=\int \limits _{0}^{t}W_{\tau }^{2}\,d\tau$

соответствует производящая функция Камерона-Мартина:

$\left\langle e^{p\,U_{t}}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\cos(t{\sqrt {2p}})}}}=1+p\,{\frac {1}{2}}\,t^{2}+{\frac {p^{2}}{2!}}\,{\frac {7}{12}}\,t^{4}+{\frac {p^{3}}{3!}}\,{\frac {139}{120}}\,t^{6}+{\frac {p^{4}}{4!}}\,{\frac {5473}{1680}}\,t^{8}+...,$

и, следовательно, следующие средние значения:

$\left\langle U_{t}\right\rangle ={\frac {t^{2}}{2}},\;\;\;\;\left\langle U_{t}^{2}\right\rangle ={\frac {7}{12}}\,t^{4},\;\;\;\;\left\langle U_{t}^{3}\right\rangle ={\frac {139}{120}}\,t^{6},\;\;\;\;\left\langle U_{t}^{4}\right\rangle ={\frac {5473}{1680}}\,t^{8},\;\;\;\;...$

Процесс $\textstyle U_{t}$, как и $\textstyle S_{t}$ (стр. \pageref{sec_sqr_W}), в момент времени $\textstyle t$ выражается через скалярную случайную величину $\textstyle \xi$, однако, она имеет не гауссово распределение:

$U_{t}=\xi \,t^{2},\;\;\;\;\;\;\;\left\langle e^{p\,\xi }\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\cos({\sqrt {2p}})}}},$

тогда как $\textstyle S_{t}=\varepsilon \,t^{3/2}/{\sqrt {3}}$, где $\textstyle \varepsilon \sim N(0,1)$.

Зная производящие функции для $\textstyle S_{t}$ и $\textstyle U_{t}$, можно вычислить некоторые стохастические интегралы по $\textstyle \delta W$. При помощи интегральной версии леммы Ито (5.15), в качестве упражнения стоит проверить, что:

$\int \limits _{0}^{t}W_{\tau }^{2}\,\delta W_{\tau }={\frac {W_{t}^{3}}{3}}-S_{t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int \limits _{0}^{t}W_{\tau }^{3}\,\delta W_{\tau }={\frac {W_{t}^{4}}{4}}-{\frac {3}{2}}\,U_{t}.$

Аналогично, при помощи общей интегральной леммы Ито с функцией, зависящей от времени, имеем:

$\int \limits _{0}^{t}\tau \,\delta W_{\tau }=t\,W_{t}-S_{t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int \limits _{0}^{t}\tau \,W_{\tau }\,\delta W_{\tau }={\frac {t}{2}}\,W_{t}^{2}-{\frac {t^{2}}{4}}-{\frac {1}{2}}\,U_{t}.$

Таким образом, изучив статистические свойства трех базовых процессов $\textstyle W_{t}$, $\textstyle S_{t}$ и $\textstyle U_{t}$, мы можем вычислять различные средние для достаточно широкого класса случайных процессов, выражаемых через стохастические интегралы.

Процесс $\textstyle U_{t}$ имеет негауссово распределение, однако производящая функция для него была вычислена при помощи $\textstyle n$-мерного интеграла Гаусса. Для интегралов по времени от $\textstyle W_{t}^{3}$, $\textstyle W_{t}^{4}$,... получить подобные простые выражения уже не просто.

$\textstyle \bullet$ Найдём совместную производящую функцию для винеровского процесса и двух интегралов от него по времени:

$W_{t},\;\;\;\;\;\;S_{t}=\int \limits _{0}^{t}W_{\tau }\,d\tau ,\;\;\;\;\;\;\;U_{t}=\int \limits _{0}^{t}W_{\tau }^{2}\,d\tau .$

Переходя к $\textstyle n$ скоррелированным гауссовым величинам $\textstyle \eta _{k}=\varepsilon _{1}+...+\varepsilon _{k}$, имеем:

$\left\langle e^{q\,W_{t}+k\,S_{t}+p\,U_{t}}\right\rangle =(2\pi )^{-n/2}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{\mathbf {b} \cdot \eta -{\frac {1}{2}}\,\eta \cdot \mathbf {A} \cdot \eta }\,d\eta _{1}...d\eta _{n}.$

Матрица $\textstyle \mathbf {A}$ и вектор $\textstyle \mathbf {b}$ равны:

$\mathbf {A} =-{\frac {2p\,t^{2}}{n^{2}}}\,\mathbf {1} +\mathbf {D} ^{-1},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {b} =k\,{\frac {t^{3/2}}{n^{3/2}}}\,\mathbf {u} +q\,{\frac {t^{1/2}}{n^{1/2}}}\,\mathbf {z} ,$

где $\textstyle \mathbf {u} =\left(1,...,\;1\right)$ — единичный вектор, а $\textstyle \mathbf {z} =\left(0,\;0,\;...,\;0,\;1\right)$ — вектор, у которого отлична от нуля только последняя компонента. Проведя интегрирование, получаем:

$\left\langle e^{q\,W_{t}+k\,S_{t}+p\,U_{t}}\right\rangle ={\frac {e^{{\frac {1}{2}}\,\mathbf {b} \cdot \mathbf {F} \cdot \mathbf {b} }}{\sqrt {\det \mathbf {A} }}},$

где $\textstyle \mathbf {F} =\mathbf {A} ^{-1}$ — обратная к $\textstyle \mathbf {A}$ матрица. Значение детерминанта нам известно, осталось вычислить показатель экспоненты. Запишем его при помощи векторов $\textstyle \mathbf {u}$ и $\textstyle \mathbf {z}$

$\mathbf {b} \,\mathbf {F} \,\mathbf {b} =k^{2}t^{3}\,{\frac {(\mathbf {u} \,\mathbf {F} \,\mathbf {u} )}{n^{3}}}+2kq\,t^{2}\,{\frac {(\mathbf {u} \,\mathbf {F} \,\mathbf {z} )}{n^{2}}}+q^{2}t\,{\frac {(\mathbf {z} \,\mathbf {F} \,\mathbf {z} )}{n}},$

(5.17)

где мы воспользовались тем, что матрица $\textstyle \mathbf {F}$, как и $\textstyle \mathbf {A}$, симметрична. Первое выражение в круглых скобках равно сумме всех элементов $\textstyle \mathbf {F}$, второе — сумме элементов последней колонки, а третье - элементу в нижнем правом углу матрицы.

Так как матрица $\textstyle \mathbf {F}$ является обратной к $\textstyle \mathbf {A}$, справедливы следующие соотношения:

$(\mathbf {D} ^{-1}-(\lambda /n^{2})\,\mathbf {1} )\cdot \mathbf {F} =\mathbf {F} \cdot (\mathbf {D} ^{-1}-(\lambda /n^{2})\,\mathbf {1} )\cdot \mathbf {F} =\mathbf {1} ,$

где $\textstyle \lambda =2p\,t^{2}$. Умножая их на $\textstyle \mathbf {D}$, мы приходим к двум матричным уравнениям размерности $\textstyle n\,$x$\textstyle \,n$:

$\mathbf {F} -{\frac {\lambda }{n^{2}}}\,\mathbf {D} \cdot \mathbf {F} =\mathbf {D} ,\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {F} -{\frac {\lambda }{n^{2}}}\,\mathbf {F} \cdot \mathbf {D} =\mathbf {D} .$

(5.18)

Нас интересует их решение $\textstyle \mathbf {F}$ при больших $\textstyle n$.

Удобно сразу перейти к пределу $\textstyle n\to \infty$, заменив дискретные индексы на вещественные переменные $\textstyle x=i/n$, $\textstyle y=j/n$, изменяющиеся от нуля до единицы. В этом случае матрицы становятся функциями двух переменных, а суммы превращаются в интегралы:

${\frac {1}{n}}\min(i,j)\to D(x,y)=D_{xy}=\min(x,y),\;\;\;\;\;\;\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\to \int \limits _{0}^{1}dx.$

Например, вычисление следа матрицы $\textstyle D_{ij}$ в дискретном и непрерывном вариантах выглядит следующим образом:

$\mathrm {Tr} \,\mathbf {D} ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {i}{n}}={\frac {n(n+1)}{2n^{2}}}\to {\frac {1}{2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm {Tr} \,\mathbf {D} =\int \limits _{0}^{1}xdx={\frac {1}{2}}.$

Аналогично определяем $\textstyle F(x,y)=F_{xy}=F_{ij}/n$. В результате матричные уравнения (5.18) превращаются в интегральные:

$F_{xy}-\lambda \int \limits _{0}^{1}D_{xz}\,F_{zy}\,dz=D_{xy},\;\;\;\;\;\;\;\;\;F_{xy}-\lambda \int \limits _{0}^{1}F_{xz}\,D_{zy}\,dz=D_{xy}.$

(5.19)

Пусть для $\textstyle x<y$ элемент $\textstyle F_{xy}$ равен функции $\textstyle F(x,y)$. В силу симметрии, если $\textstyle x>y$, то $\textstyle F_{xy}=F(y,x)$. Разбивая пределы интегрирования на три отрезка из (5.19), при $\textstyle x<y$ получаем следующие уравнения:

$F_{xy}-\lambda \int \limits _{0}^{x}z\,F_{zy}\,dz-\lambda x\int \limits _{x}^{y}F_{zy}\,dz-\lambda x\int \limits _{y}^{1}F_{yz}\,dz=x,$

(5.20)

$F_{xy}-\lambda \int \limits _{0}^{x}z\,F_{zx}\,dz-\lambda \int \limits _{x}^{y}zF_{xz}\,dz-\lambda y\int \limits _{y}^{1}F_{xz}\,dz=x.$

(5.21)

Если взять вторую производную по $\textstyle x$ от первого уравнения и по $\textstyle y$ от второго, получатся два осцилляторных уравнения:

${\frac {\partial ^{2}F_{xy}}{\partial x^{2}}}+\lambda F_{xy}=0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial ^{2}F_{xy}}{\partial y^{2}}}+\lambda F_{xy}=0,$

решение которых можно записать в виде:

${\begin{array}{lcl}F(x,y)&=&[f_{1}\,\cos(y{\sqrt {\lambda }})+f_{2}\sin(y{\sqrt {\lambda }})]\,\cos(x{\sqrt {\lambda }})\\&+&[f_{3}\,\cos(y{\sqrt {\lambda }})+f_{4}\sin(y{\sqrt {\lambda }})]\,\sin(x{\sqrt {\lambda }}),\end{array}}$

где $\textstyle f_{i}$ — некоторые константы, зависящие от $\textstyle \lambda$.

Для того, чтобы их найти, необходимо подставить решение, например, в первое интегральное уравнение (5.20). Оно обратится в тождество при любых $\textstyle x<y$, если $\textstyle f_{1}=f_{2}=0$, $\textstyle f_{3}=1/{\sqrt {\lambda }}$, $\textstyle f_{4}=\mathrm {tg} ({\sqrt {\lambda }})\cdot f_{3}$. Следовательно, выражение для матрицы $\textstyle F_{xy}$ при $\textstyle x\leqslant y$ имеет вид:

$F_{xy}={\frac {\sin(x{\sqrt {\lambda }})}{\sqrt {\lambda }}}\,\left[\cos(y{\sqrt {\lambda }})+\mathrm {tg} ({\sqrt {\lambda }})\,\sin(y{\sqrt {\lambda }})\right].$

Теперь несложно найти множители в показателе экспоненты (5.17):

${\begin{array}{lcl}{\frac {'''z'''\,'''F'''\,'''z'''}{n}}&=&F_{11}={\frac {\mathrm {tg} ({\sqrt {\lambda }})}{\sqrt {\lambda }}},\\{\frac {'''u'''\,'''F'''\,'''z'''}{n^{2}}}&=&\int \limits _{0}^{1}F_{x1}\,dx={\frac {1}{\lambda }}\left[{\frac {1}{\cos({\sqrt {\lambda }})-1}}\right],\\{\frac {'''u'''\,'''F'''\,'''u'''}{n^{3}}}&=&2\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{y}F_{xy}\,dx\,dy={\frac {1}{\lambda }}\left[{\frac {\mathrm {tg} ({\sqrt {\lambda }})}{\sqrt {\lambda }}}-1\right].\end{array}}$

Поэтому окончательно производящая функция равна:

$\left\langle e^{q\,W_{t}+k\,S_{t}+p\,U_{t}}\right\rangle ={\frac {e^{M/2}}{\sqrt {\cos({\sqrt {\lambda }})}}},$

где $\textstyle \lambda =2p\,t^{2}$, и

$M=q^{2}\,t\cdot {\frac {\mathrm {tg} ({\sqrt {\lambda }})}{\sqrt {\lambda }}}+{\frac {k^{2}\,t^{3}}{3}}\cdot {\frac {3}{\lambda }}\left[{\frac {\mathrm {tg} ({\sqrt {\lambda }})}{\sqrt {\lambda }}}-1\right]+kq\,t^{2}\cdot {\frac {2}{\lambda }}\left[{\frac {1}{\cos({\sqrt {\lambda }})}}-1\right].$

Заметим, что, если $\textstyle \lambda =0$, то

$\left\langle e^{q\,W_{t}+k\,S_{t}}\right\rangle =e^{{\frac {1}{2}}\,(q^{2}t+{\frac {1}{3}}\,k^{2}t^{3}+kqt^{2})}$

соответствует двум скоррелированным гауссовым случайным величинам.

Приведём значение некоторых средних:

$\left\langle W_{t}\,S_{t}\right\rangle ={\frac {t^{2}}{2}},\;\;\;\;\;\left\langle W_{t}\,U_{t}\right\rangle =\left\langle S_{t}\,U_{t}\right\rangle =0,$

$\left\langle W_{t}^{2}\,S_{t}\right\rangle =\left\langle W_{t}\,S_{t}^{2}\right\rangle =\left\langle W_{t}\,U_{t}^{2}\right\rangle =\left\langle S_{t}\,U_{t}^{2}\right\rangle =0,$

$\left\langle W_{t}^{2}\,U_{t}\right\rangle ={\frac {7}{6}}\,t^{3},\;\;\;\;\;\left\langle S_{t}^{2}\,U_{t}\right\rangle ={\frac {13}{30}}\,t^{5}.$

Другие соотношения можно найти в разделах $\textstyle \mathbf {R} _{}$, $\textstyle \mathbf {R} _{}$, $\textstyle \mathbf {R} _{}$ "Стохастического справочника" (стр. \pageref{r_base_int_process}).

---

Интегралы Ито <<	Оглавление	>> Интегрирование стохастических уравнений

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения