Интегрирование стохастических уравнений

Квадратичный функционал <<	Оглавление	>> Единственность решений

---

$\textstyle \bullet$ Стохастические интегралы являются традиционным способом записи решения стохастических дифференциальных уравнений. "Проинтегрировав" уравнение

$dx=a(x,t)\,dt+b(x,t)\,\delta W,$

можно записать:

$x(t)=x(t_{0})+\int \limits _{t_{0}}^{t}a(x(\tau ),\tau )\,d\tau +\int \limits _{t_{0}}^{t}b(x(\tau ),\tau )\,\delta W_{\tau }.$

(5.22)

Пределы интегрирования выбраны таким образом, чтобы автоматически выполнялось начальное условие $\textstyle x_{0}=x(t_{0})$. На самом деле (5.22), конечно, не решение, а интегральное уравнение, которое обычно решить сложнее, чем исходное дифференциальное.

При формальном обосновании стохастических уравнений сначала определяется стохастическое интегрирование, затем записывается интегральное уравнение, и только после этого рассматриваются дифференциальные уравнения. Мы в этой книге приняли обратную форму изложения.

$\textstyle \bullet$ Если снос и волатильность не зависят от $\textstyle x$, то интегральное уравнение оказывается решением нестационарного винеровского блуждания:

$x(t)=x(t_{0})+\int \limits _{t_{0}}^{t}a(\tau )\,d\tau +\int \limits _{t_{0}}^{t}b(\tau )\,\delta W_{\tau }.$

Как мы знаем из (5.12), этот интеграл выражается через скалярную гауссову величину $\textstyle \varepsilon \sim N(0,1)$:

$x(t)=x(t_{0})+\int \limits _{t_{0}}^{t}a(\tau )\,d\tau +\left[\int \limits _{t_{0}}^{t}b^{2}(\tau )\right]^{1/2}\,\varepsilon ,$

и, следовательно, сводится к обычным детерминированным интегралам. Естественно, чтобы вычислить, например, корреляцию с порождающим винеровским блужданием, необходимо учесть, что в данном случае:

$\left\langle x(t)\cdot W_{t}\right\rangle =\int \limits _{t_{0}}^{t}b(\tau )\,d\tau .$

Поэтому $\textstyle \varepsilon$ в решении и в записи винеровского процесса $\textstyle W_{t}=\varepsilon \,{\sqrt {t}}$ являются различными скоррелированными случайными числами.

$\textstyle \bullet$ Иногда простыми заменами можно устранить зависимость в уравнении от $\textstyle x$, тем самым превратив интегральное уравнение в решение задачи. Рассмотрим в качестве примера уравнение Орнштейна-Уленбека:

$dx=-\beta \cdot (x-\alpha )\,dt+\sigma \delta W.$

Сделаем в нём замену переменных $\textstyle y=e^{\beta t}\,(x-\alpha )$. В силу леммы Ито новый процесс Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle y} удовлетворяет следующему уравнению:

$dy=\sigma e^{\beta t}\,\delta W\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;y(t)=y(0)+\sigma \int \limits _{0}^{t}e^{\beta \tau }\,\delta W_{\tau }.$

Отсюда решение исходного уравнения имеет вид:

$x(t)=\alpha +(x_{0}-\alpha )\,e^{-\beta t}+\sigma \int \limits _{0}^{t}e^{-\beta \,(t-\tau )}\,\delta W_{\tau }.$

Обычно это решение в таком виде и остаётся, а вычисление средних проводится по формулам, подобным (5.13). Так как среднее стохастического интеграла по $\textstyle \delta W$ равно нулю, то для среднего значения процесса Орнштейна - Уленбека имеем:

$\left\langle x(t)\right\rangle =\alpha +(x_{0}-\alpha )\,e^{-\beta t}.$

Дисперсия процесса $\textstyle \sigma _{x}^{2}(t)=\left\langle (x-{\bar {x}})^{2}\right\rangle$ равняется:

Для вычисления среднего необходимо воспользоваться (5.13):

$\sigma _{x}^{2}(t)=\sigma ^{2}\int \limits _{0}^{t}e^{-2\beta (t-s)}\,ds={\frac {\sigma ^{2}}{2\beta }}\left[1-e^{-2\beta t}\right].$

Удобнее, конечно, при помощи (5.12) сразу записать решение через гауссову переменную $\textstyle \varepsilon$, а затем вычислять средние.

В следующей главе (стр. \pageref{int_logistic_from_ito_N}) при помощи многомерной версии леммы Ито мы получим интегральное представление решения логистического уравнения и уравнения с линейным по $\textstyle x$ сносом и волатильностью.

Стохастические интегралы — это очень изящная математическая конструкция. Однако до сих пор в этих лекциях мы их не использовали, получая решения уравнений другими методами. ($\textstyle \lessdot$ C).

---

Квадратичный функционал <<	Оглавление	>> Единственность решений

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения