Инварианты s, t и u

Ковариантная динамика <<	Оглавление (Глава 3)	>> Диаграммы Далица и Мандельстама

---

$\textstyle \bullet$ Если при столкновении двух частиц изменяются не только их скорости, но и массы, такая реакция называется двухчастичным неупругим столкновением. Например:

${\begin{array}{llcllcllcl}p&+&\gamma &\mapsto &p&+&\pi ^{0},\\\pi ^{+}&+&\pi ^{-}&\mapsto &{\bar {p}}&+&p,\\\end{array}}$

где $\textstyle p$, $\textstyle {\bar {p}}$— протон и антипротон, $\textstyle \gamma$ — фотон, $\textstyle \pi ^{0}$, $\textstyle \pi ^{\pm }$ — нейтральный и заряженные пи-мезоны. С двухчастичными неупругими столкновениями связаны реакции распадов частицы на три другие частицы. Например:

${\begin{array}{llcl}\mu ^{-}&\mapsto &e^{-}+{\bar {\nu }}_{e}+\nu _{\mu },\\K^{-}&\mapsto &\pi ^{0}+e^{-}+{\bar {\nu }}_{e},\\\end{array}}$

где $\textstyle \mu$ — мюон, $\textstyle K^{-}$ — каон, $\textstyle \nu _{e}$, $\textstyle \nu _{\mu }$ — электронное и мюонное нейтрино.

Приведенные выше реакции рассеяния и распада объединяет то, что в них участвуют 4 частицы. Для единства мы запишем это в виде четыреххвостой диаграммы (первый рисунок ниже), в которой все 4-импульса направлены к центрy. В реакции рассеяния $\textstyle 1+2\mapsto 3+4$ необходимо изменить знак у 4-импульсов частиц 3 и 4: $\textstyle \mathrm {p} _{3}\mapsto -\mathrm {p} _{3}$, $\textstyle \mathrm {p} _{4}\mapsto -\mathrm {p} _{4}$. Для реакции распада $\textstyle 1\mapsto 2+3+4$ изменяются знаки у частиц 2,3 и 4. Можно также считать, что для начальных частиц $\textstyle \mathrm {p} =(E,\mathbf {p} )$, а для финальных — $\textstyle \mathrm {p} =(-E,-\mathbf {p} )$:

При таком соглашении и для рассеяния, и для распада закон сохранения будет иметь единую форму:

$\mathrm {p} _{1}+\mathrm {p} _{2}+\mathrm {p} _{3}+\mathrm {p} _{4}=0.$

Для описания таких реакций вводятся следующие инварианты:

${\begin{array}{lclcl}s&=&(\mathrm {p} _{1}+\mathrm {p} _{2})^{2}&=&(\mathrm {p} _{3}+\mathrm {p} _{4})^{2},\\t&=&(\mathrm {p} _{1}+\mathrm {p} _{3})^{2}&=&(\mathrm {p} _{2}+\mathrm {p} _{4})^{2},\\u&=&(\mathrm {p} _{1}+\mathrm {p} _{4})^{2}&=&(\mathrm {p} _{2}+\mathrm {p} _{3})^{2}.\end{array}}$

Это общепринятые обозначения, и не стоит путать $\textstyle s$ с интервалом, а $\textstyle t$ — со временем. Во вторых равенствах каждого определения учтён закон сохранения 4-импульса.

Сумма всех трёх инвариантов равна сумме квадратов масс частиц:

$s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}=h.$

(EQN)

Для доказательства умножим закон сохранения на $\textstyle \mathrm {p} _{1}$:

$\mathrm {p} _{1}\cdot (\mathrm {p} _{1}+\mathrm {p} _{2}+\mathrm {p} _{3}+\mathrm {p} _{4})=m_{1}^{2}+\mathrm {p} _{1}\cdot \mathrm {p} _{2}+\mathrm {p} _{1}\cdot \mathrm {p} _{3}+\mathrm {p} _{1}\cdot \mathrm {p} _{4}=0.$

С другой стороны, раскрывая квадраты в определении $\textstyle s$, $\textstyle t$, $\textstyle u$, имеем:

$s+t+u=(m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2\mathrm {p} _{1}\cdot \mathrm {p} _{2})+(m_{1}^{2}+m_{3}^{2}+2\mathrm {p} _{1}\cdot \mathrm {p} _{3})+(m_{1}^{2}+m_{4}^{2}+2\mathrm {p} _{1}\cdot \mathrm {p} _{4}).$

С учётом этих двух соотношений несложно получить (). Поэтому введенные три инварианта не являются независимыми. Обычно таковыми считаются $\textstyle s$ и $\textstyle t$, а инвариант $\textstyle u=h-s-t$ выражается через них.

Рассмотрим подробнее двухчастичное рассеяние. Обычно его изучают в двух системах отсчёта — системе центра масс (центра инерции) и лабораторной системе. В первом случае производится встречное столкновение частиц так, что суммарный импульс частиц до и после взаимодействия равен нулю. В лабораторной системе отсчёта производится столкновение частиц первого сорта с неподвижными частицами второго сорта, которые называются также мишенью.

Величины, относящиеся к лабораторной системе, мы будем помечать штрихами, а в системе центра масс они будут без штрихов.

В системе центра масс $\textstyle \mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}=0$, $\textstyle \mathbf {p} _{3}+\mathbf {p} _{4}=0$ удобно ввести два импульса $\textstyle \mathbf {p} =\mathbf {p} _{1}=-\mathbf {p} _{2}$, $\textstyle \mathbf {q} =\mathbf {p} _{3}=-\mathbf {p} _{4}$. Так как масса частиц изменяется, то из закона сохранения энергии:

${\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m_{1}^{2}}}+{\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m_{2}^{2}}}={\sqrt {\mathbf {q} ^{2}+m_{3}^{2}}}+{\sqrt {\mathbf {q} ^{2}+m_{4}^{2}}}$

уже не следует равенство модулей импульсов до и после столкновения, и в общем случае $\textstyle |\mathbf {p} |\neq |\mathbf {q} |$. Соответственно изменяются и энергии частиц. Если же $\textstyle m_{3}=m_{1}$ и $\textstyle m_{4}=m_{2}$, то $\textstyle |\mathbf {p} |=|\mathbf {q} |$.

Подобная реакция может происходить только, если суммарная энергия исходных частиц в системе центра масс больше суммы масс конечных частиц $\textstyle E_{1}+E_{2}>m_{3}+m_{4}$. Подобное энергетическое неравенство называется порогом реакции.

$\textstyle \bullet$ Инвариант $\textstyle s$ имеет смысл квадрата полной энергии в системе центра масс. Действительно, если $\textstyle \mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}=0$, то $\textstyle s=(E_{1}+E_{2})^{2}=(E_{3}+E_{4})^{2}$. При помощи $\textstyle s$ можно выразить энергии частиц в системе центра масс до и после столкновения. Для этого вычислим следующий инвариант:

$\mathrm {p} _{1}\cdot (\mathrm {p} _{1}+\mathrm {p} _{2})=E_{1}(E_{1}+E_{2})=E_{1}{\sqrt {s}}.$

С другой стороны, раскрыв скобки: $\textstyle \mathrm {p} _{1}\cdot (\mathrm {p} _{1}+\mathrm {p} _{2})=m_{1}^{2}+\mathrm {p} _{1}\cdot \mathrm {p} _{2}=E_{1}{\sqrt {s}}$ и выразив $\textstyle \mathrm {p} _{1}\cdot \mathrm {p} _{2}$, можно его подставить в определение инварианта:

$s=(\mathrm {p} _{1}+\mathrm {p} _{2})^{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2\mathrm {p} _{1}\cdot \mathrm {p} _{2}=m_{2}^{2}-m_{1}^{2}+2E_{1}{\sqrt {s}}.$

В результате получается энергия $\textstyle E_{1}$ (и аналогично $\textstyle E_{2}$):

$E_{1}={\frac {s+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2{\sqrt {s}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E_{2}={\frac {s+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2{\sqrt {s}}}}.$

Чтобы найти энергии частиц после столкновения, необходимо во всех соотношениях произвести замену индексов $\textstyle 1\mapsto 3$, $\textstyle 2\mapsto 4$. В результате:

$E_{3}={\frac {s+m_{3}^{2}-m_{4}^{2}}{2{\sqrt {s}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E_{4}={\frac {s+m_{4}^{2}-m_{3}^{2}}{2{\sqrt {s}}}}.$

Квадраты импульсов до и после реакции могут быть найдены из стандартной связи $\textstyle \mathbf {p} ^{2}=E_{1}^{2}-m_{1}^{2}$ и $\textstyle \mathbf {q} ^{2}=E_{3}^{2}-m_{3}^{2}$, откуда:

$\mathbf {p} ^{2}={\frac {\lambda (s,m_{1}^{2},m_{2}^{2})}{4s}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {q} ^{2}={\frac {\lambda (s,m_{3}^{2},m_{4}^{2})}{4s}},$

где введена т.н. функция треугольника:

$\lambda (x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-2xy-2xz-2yz=[x-{\bigl (}{\sqrt {y}}+{\sqrt {z}}{\bigr )}^{2}]\,[x-{\bigl (}{\sqrt {y}}-{\sqrt {z}}{\bigr )}^{2}].$

Второй инвариант $\textstyle t$ связан с углом рассеяния в системе центра масс. Так как частица 3 является финальной, необходимо заменить $\textstyle \mathrm {p} _{3}\mapsto -\mathrm {p} _{3}$:

$t=(\mathrm {p} _{1}-\mathrm {p} _{3})^{2}=m_{1}^{2}+m_{3}^{2}-2\mathrm {p} _{1}\cdot \mathrm {p} _{3}=m_{1}^{2}+m_{3}^{2}-2E_{1}E_{3}+2|\mathbf {p} ||\mathbf {q} |\,\cos \chi .$

Используя полученные выше соотношения, имеем:

$\cos \chi ={\frac {s^{2}+s(2t-h)+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})(m_{3}^{2}-m_{4}^{2})}{\sqrt {\lambda (s,m_{1}^{2},m_{2}^{2})\,\lambda (s,m_{3}^{2},m_{4}^{2})}}},$

(EQN)

где $\textstyle h$ — сумма квадратов масс частиц, а $\textstyle |\mathbf {p} |$ и $\textstyle |\mathbf {q} |$ выражаются через $\textstyle s$.

$\textstyle \bullet$ Аналогично через инварианты выражаются величины в лабораторной системе отсчёта, в которой будем считать вторую частицу неподвижной $\textstyle \mathrm {p} _{2}=(m_{2},\,\mathbf {0} )$. Возводя в квадрат определения инвариантов, содержащие $\textstyle \mathrm {p} _{2}$: $\textstyle s=(\mathrm {p} _{1}+\mathrm {p} _{2})^{2}$, $\textstyle t=(\mathrm {p} _{4}-\mathrm {p} _{2})^{2}$ и $\textstyle u=(\mathrm {p} _{3}-\mathrm {p} _{2})^{2}$, получаем:

$E'_{1}={\frac {s-m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2m_{2}}},\;\;\;\;\;E'_{3}={\frac {m_{2}^{2}+m_{3}^{2}-u}{2m_{2}}},\;\;\;\;\;E'_{4}={\frac {m_{2}^{2}+m_{4}^{2}-t}{2m_{2}}}.$

Напомним, что $\textstyle u$ не является независимым инвариантом и выражается через $\textstyle s$, $\textstyle t$ и сумму квадратов масс частиц ().

Квадраты импульсов находим из связи энергии, импульса и массы:

$\mathbf {p} '\,_{1}^{2}={\frac {\lambda (s,m_{1}^{2},m_{2}^{2})}{4m_{2}^{2}}},\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {p} '\,_{3}^{2}={\frac {\lambda (u,m_{3}^{2},m_{2}^{2})}{4m_{2}^{2}}},\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {p} '\,_{4}^{2}={\frac {\lambda (t,m_{4}^{2},m_{2}^{2})}{4m_{2}^{2}}}.$

Угол вылета третей частицы относительно импульса первой выражается через инвариант $\textstyle t$:

$t=(\mathrm {p} _{1}-\mathrm {p} _{3})^{2}=m_{1}^{2}+m_{3}^{2}-2\mathrm {p} _{1}\cdot \mathrm {p} _{3}=m_{1}^{2}+m_{3}^{2}-2E'_{1}E'_{3}+2|\mathbf {p} '_{1}||\mathbf {p} '_{3}|\,\cos \theta .$

Подставляя выражения для энергий и квадратов импульсов, имеем:

$\cos \theta ={\frac {(s-m_{1}^{2}-m_{2}^{2})(m_{2}^{2}+m_{3}^{2}-u)+2m_{2}^{2}\,(t-m_{1}^{2}-m_{3}^{2})}{\sqrt {\lambda (s,m_{1}^{2},m_{2}^{2})\,\lambda (u,m_{2}^{2},m_{3}^{2})}}}.$

Так как величины $\textstyle s$ и $\textstyle t$ являются инвариантами (одинаковыми в лабораторной системе и системе центра масс), они позволяют связать энергии, импульсы и углы в этих двух системах отсчёта. Для этого необходимо, например, $\textstyle s$ выразить через энергию $\textstyle E'_{1}$:

$s=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{2}E'_{1}.$

Так как переменная $\textstyle s=(E_{1}+E_{2})^{2}$ положительна в системе центра масс, она, естественно, будет положительной и в лабораторной системе отсчёта. Запишем в явном виде связь энергии первой частицы в двух системах отсчёта:

$E_{1}={\frac {m_{1}^{2}+m_{2}E'_{1}}{\sqrt {m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{2}E'_{1}}}}.$

Аналогично можно выразить $\textstyle t$ через угол $\textstyle \theta$ рассеяния третьей частицы. После этого несложно найти связь углов $\textstyle \theta$ и $\textstyle \chi$ рассеяния в двух системах отсчёта.

---

Ковариантная динамика <<	Оглавление (Глава 3)	>> Диаграммы Далица и Мандельстама

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии