О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся
Филипп Франк и Герман Роте
Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855
Части:
Введение -
I -
II -
III -
IV -
V -
VI -
VII -
V
16. Прежде чем мы выведем общий случай конечных уравнений (43a) группы , рассмотрим более подробно в качестве иллюстрации к предшествующим выкладкам две специальные однопараметрические однородные группы (2) и (1) преобразований Галилея и Лоренца, упомянутые в начале статьи.
Коэффициенты группы (2) преобразований Галилея имеют вид:
|
(84)
|
отсюда получаем при :
|
(44b)
|
в соответствии с уравнениями (44a). Далее, из (84) следует:
|
(85)
|
а отсюда согласно (46a):
|
(46b)
|
так что уравнению (76) выполняется. Для бесконечно малого преобразования (47a) и (52a) получаем:
|
(47b)
|
и
|
(52b)
|
Наконец, используя уравнение (57a), получим:
|
(57b)
|
таким образом, обе выделенные скорости и станут равны друг другу, а именно:
|
(86)
|
в то время как конечное уравнение (73a) для преобразования скорости переходит в
|
(73b)
|
Для группы (1) преобразований Лоренца коэффициенты даются выражениями
|
(87)
|
откуда при снова получаем уравнения (44a). Для производных этих коэффициентов находим:
|
(88)
|
а отсюда согласно (46a) следует:
|
(46c)
|
то есть снова выполняется уравнение (76). С учетом этого уравнения (47a) и (52a) для бесконечно малого преобразования принимают вид:
|
(47c)
|
и
|
(52c)
|
Таким образом, мы получаем значения обеих выделенных скоростей и :
|
(89)
|
в то время как согласно (57a):
|
(57c)
|
Наконец, из (73a) получаем конечное уравнение преобразования скорости :
|
(73a)
|