Франк Роте 1911 I

О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся

Филипп Франк и Герман Роте

Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855

---

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -

---

I

1. Пусть $\textstyle t,x,p$ — три переменные, причем мы интерпретируем $\textstyle t,x$ как прямоугольные координаты точки $\textstyle P$ в плоскости $\textstyle t,x$, а $\textstyle p$ — как параметр. Далее, пусть

$\varphi (t,x,p),\;\;\;\;\psi (t,x,p)$

(3)

две однозначные непрерывные и дифференцируемые функции трех аргументов . $\textstyle t,x,p$, для которых функциональный определитель (якобиан):

${\frac {\partial (\varphi ,\psi )}{\partial (t,x)}}=\left|{\begin{array}{lll}\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}&\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\\[4mm]\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x}}&\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}\end{array}}\right|$

(4)

не обращается в нуль тождественно и, кроме того, тождества:

${\frac {\partial \varphi }{\partial p}}\equiv 0,\;\;\;\;{\frac {\partial \psi }{\partial p}}\equiv 0$

(5)

не выполняются одновременно. Для фиксированного значения параметра $\textstyle p$, каждой паре значений $\textstyle t,x$ ставится в соответствие пара значений $\textstyle t',x'$, посредством двух уравнений

$t'=\varphi (t,x,p),\;\;\;\;x'=\psi (t,x,p).$

(6)

Это соответствие называется преобразованием и может быть обозначено $\textstyle T_{p}$. Геометрически преобразование $\textstyle T_{p}$ является точечным отображением плоскости $\textstyle t,x$ на плоскость $\textstyle t',x'$, которая, как будет предполагаться дальше, также может совпадать с плоскостью $\textstyle t,x$. Следовательно, мы соотносим координаты $\textstyle t',x'$ преобразованных точек $\textstyle P'$ к той же системе координат, что и координаты $\textstyle t,x$ первоначальных точек $\textstyle P$.

2. Если параметр $\textstyle p$ непрерывно проходит через весь числовой ряд или некоторый его интервал, мы получим множество $\textstyle {\mathfrak {G}}$ преобразований $\textstyle T_{p}$, каждое из которых соответствует определенному значению $\textstyle p$. Это множество также называется однопараметрическим множеством преобразований.

Если $\textstyle T_{p'}$ — некоторое другое преобразование из множества $\textstyle {\mathfrak {G}}$, которое соответствует параметру $\textstyle p'$ и преобразовывает пару $\textstyle t',x'$ в $\textstyle t'',x''$ так, что:

$t''=\varphi (t',x',p'),\;\;\;\;x''=\psi (t',x',p'),$

(7)

то в результате исключения $\textstyle t',x'$ из (6) и (7) получаются уравнения:

$\left\{{\begin{array}{lll}t''=\displaystyle \varphi (\varphi (t,x,p),\;\;\;\psi (t,x,p),\;\;\;p'),\\[2mm]x''=\displaystyle \psi (\varphi (t,x,p),\;\;\;\psi (t,x,p),\;\;\;p'),\\\end{array}}\right.$

(8)

которые представляют собой преобразование $\textstyle T$, которое $\textstyle t,x$ преобразовывает прямо в $\textstyle t'',x''$ и называется "произведением" преобразований $\textstyle T_{p}$ и $\textstyle T_{p'}$. Мы записываем это как

$T=T_{p}T_{p'},$

(9)

где порядок сомножителей указывает на последовательность применения преобразований $\textstyle T_{p}$ и $\textstyle T_{p'}$. В общем случае

$T_{p'}T_{p}\neq T_{p}T_{p'},$

(10)

т.е. коммутативный закон несправедлив для композиции преобразований.

3. Вообще говоря, композиция $\textstyle T$ двух преобразований $\textstyle T_{p}$ и $\textstyle T_{p'}$ из множества $\textstyle {\mathfrak {G}}$ не всегда является преобразованием, которое принадлежит множеству $\textstyle {\mathfrak {G}}$. Тем не менее, если произведение любых двух преобразований множества $\textstyle {\mathfrak {G}}$ снова является преобразованием из множества $\textstyle {\mathfrak {G}}$, то говорят, что преобразования множества $\textstyle {\mathfrak {G}}$ обладают групповым свойством. Тогда

$(T_{p}T_{p'})T_{p''}=T_{p}(T_{p'}T_{p''}),$

(11)

т.е. к композиции трех (и большего числа) факторов применим ассоциативный закон.

Если $\textstyle {\mathfrak {G}}$ обладает групповыми свойствами, т.е. $\textstyle T$ принадлежит $\textstyle {\mathfrak {G}}$, то уравнения (8) должны иметь вид:

$t''=\varphi (t,x,p''),\;\;\;\;x''=\psi (t,x,p'')$

(12)

где

$p''=\pi (p,p')$

(13)

является функцией только $\textstyle p$ и $\textstyle p'$.

Теперь можно сказать, что преобразования множества $\textstyle {\mathfrak {G}}$ образуют группу $\textstyle {\mathfrak {G}}$ при выполнении следующих условий:

А. Преобразования множества $\textstyle {\mathfrak {G}}$ обладают групповым свойством.

В. Существует значение параметра $\textstyle p=p_{0}$, для которого:

$\varphi (t,x,p_{0})\equiv t,\;\;\;\;\psi (t,x,p_{0})\equiv x.$

(14)

Относящееся к этому значению параметра преобразование $\textstyle T_{p_{0}}$, которое представлено уравнениями

$t'=t,\;\;\;\;x'=x$

(15)

оставляет каждую пару значений $\textstyle t,x$ неизменной и называется тождественным преобразованием.

С. Для любого преобразования $\textstyle T_{p}$ в множестве $\textstyle {\mathfrak {G}}$ имеется преобразование, которое в сочетании с $\textstyle T_{p}$ в любой последовательности дает тождественное преобразование $\textstyle T_{p_{0}}$. Это второе преобразование называется обратным к $\textstyle T_{p}$ и обозначается $\textstyle T_{p}^{-1}$, таким образом:

$T_{p}T_{p}^{-1}=T_{p}^{-1}T_{p}=T_{p_{0}}.$

(16)

Обратное преобразование $\textstyle T_{p}$ находят решением уравнений (6) относительно $\textstyle t$ и $\textstyle x$, что всегда возможно, поскольку функциональный определитель не обращается в нуль тождественно. Как преобразование множества $\textstyle {\mathfrak {G}}$, обратное преобразование $\textstyle T_{p}^{-1}$ соответствует параметру $\textstyle {\overline {p}}$, который является функцией только от $\textstyle p$ и может быть найден с использованием условия:

$T_{p}^{-1}=T_{\overline {p}}.$

(17)

Согласно (13) значения $\textstyle p$ и $\textstyle {\overline {p}}$ удовлетворяют уравнению:

$\pi (p,{\overline {p}})=p_{0}.$

(18)

Группа $\textstyle {\mathfrak {G}}$ называется однопараметрической, так как состоит из $\textstyle \infty ^{1}$ преобразований $\textstyle T_{p}$.

4. Если $\textstyle p$ рассматривается в (13) как переменная преобразования, а $\textstyle p'$ — как параметр (или же наоборот), то это уравнение определяет однопараметрическое множество преобразований, которые также составляют группу $\textstyle {\mathfrak {P}}$, где $\textstyle p''$ — преобразованная переменная. Эта группа обозначается как группа параметров $\textstyle {\mathfrak {G}}$.

5. Если $\textstyle \delta p$ — бесконечно малая величина, то преобразование, относящееся к значению параметра

$p=p_{0}+\delta p$

(19)

отличается от тождественного преобразования бесконечно мало; оно называется бесконечно малым преобразованием группы и превращает точку $\textstyle P=(t,x)$ в бесконечно близкую точку $\textstyle P'$ с координатами:

$t'=t+\delta t,\;\;\;\;x'=x+\delta x,$

(20)

где:

$\delta t=\tau (t,x)\delta p,\;\;\;\;\delta x=\xi (t,x)\delta p$

(21)

и введены обозначения:

$\varphi _{p}'(t,x,p_{0})=\tau (t,x),\;\;\;\;\psi _{p}'(t,x,p_{0})=\xi (t,x).$

(22)

В уравнениях (21), которые определяют бесконечно малые преобразования, $\textstyle \delta p$ может быть заменено на $\textstyle \chi \delta p$ (где $\textstyle \chi$ - отличная от нуля константа) без существенных изменений в свойствах группы $\textstyle {\mathfrak {G}}$. Если рассматривать два связанных таким образом бесконечно малых преобразования как тождественные, то каждая однопараметрическая группа будет содержать только одно единственное бесконечно малое преобразование. И наоборот, любое бесконечно малое преобразование (21) однозначно определяет однопараметрическую группу; конечные уравнения (6) находятся путем интегрирования системы:

${\frac {dt'}{\tau (t',x')}}={\frac {dx'}{\xi (t',x')}}=dp$

(23)

с начальными условиями:

$t'=t,\;\;\;x'=x,\;\;\;for\;\;\;p=p_{0}.$

(24)

6. Если мы рассмотрим $\textstyle x$ как функцию от $\textstyle t$:

$x=f(t),$

(25)

то получим кривую $\textstyle \Gamma$ в плоскости $\textstyle t,x$, которая превращается при помощи преобразования (6) в другую кривую $\textstyle \Gamma '$ с уравнением

$x'=f_{1}(t').$

(26)

Если мы положим

$w={\frac {dx}{dt}}=f'(t),\;\;\;\;w'={\frac {dx'}{dt'}}=f'_{1}(t'),$

(27)

то преобразование $\textstyle w$, принадлежащее (6):

$w'={\frac {\psi '_{t}(t,x,p)+\psi '_{x}(t,x,p)\cdot w}{\varphi '_{t}(t,x,p)+\varphi '_{x}(t,x,p)\cdot w}}$

(28)

что можно записать сокращенно:

$w'=\chi (t,x,w,p).$

(29)

Это выражение для преобразования $\textstyle w$ при преобразовании координат (6).

Для $\textstyle p=p_{0}$ получим согласно (14):

$\left\{{\begin{array}{lll}\displaystyle \varphi '_{t}(t,x,p_{0})\equiv 1,\;\;\;\displaystyle \varphi '_{x}(t,x,p_{0})\equiv 0,\\[2mm]\displaystyle \psi '_{t}(t,x,p_{0})\equiv 0,\;\;\;\displaystyle \psi '_{x}(t,x,p_{0})\equiv 1,\\\end{array}}\right.$

(30)

следовательно:

$\chi (t,x,w,p_{0})=w,$

(31)

т.е.

$w=w'.$

(32)

Для $\textstyle p=p_{0}+\delta p$ мы получаем:

$w'=w+\delta w$

(33)

и для бесконечно малого преобразования $\textstyle w$:

$\delta w=[\xi '_{t}+(\xi '_{x}-\tau '_{t})w-\tau '_{x}w^{2}]\delta p$

(34)

или более кратко:

$\delta w=\eta (t,x,w)\cdot \delta p.$

(35)

Уравнения (6) и (28) вместе также представляют однопараметрическую группу преобразований $\textstyle {\mathfrak {G}}_{1}$, которые отображают переменные $\textstyle t,x,w$ в $\textstyle t',x',w'$. Эта группа $\textstyle {\mathfrak {G}}_{1}$ называется первой расширенной группой. Ее бесконечно малое преобразование задается уравнениями (21) и (34), и из них же мы находим конечные уравнения (6) и (28) группы путем интегрирования системы

${\frac {dt'}{\tau (t',x')}}={\frac {dx'}{\xi (t',x')}}={\frac {dw'}{\eta (t',x',w')}}=dp$

(36)

с начальными условиями:

$t'=t,\;x'=x,\;w'=w\;\;\;for\;\;\;p=p_{0}.$

(37)

Примечания

---

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии