Лемма Ито
| Почему Ито << | Оглавление | >> Точные решения уравнения Ито |
|---|
$\bullet$ Пусть процесс $x(t)$ подчиняется уравнению Ито. Рассмотрим обычную гладкую функцию $F(x,t)$. Если вместо $x$ в неё подставить $x(t)$, то $F(t)=F\bigl(x(t),t\bigr)$ станет случайным процессом. Покажем, что он также подчиняется диффузному уравнению Ито: \begin{equation}\label{Ito_for_F}
dF = A(x,t)~dt + B(x,t)~\delta W
\end{equation} с $x=G(F,t)$, где $G$ -- обратная к $F$ функция. Для этого необходимо найти функции сноса $A$ и волатильности $B$, а также {\it убедиться}, что моменты более высоких порядков равны нулю.
Разложим в ряд Тейлора $F(x,t)=F(x_0+\Delta x,t_0+\Delta t)$ в окрестности начального {\it фиксированного} значения $x_0$ по небольшим $\Delta x$ и $\Delta t$: $$
F(x,t) = F(x_0,t_0) + \frac{\partial F}{\partial x_0}~ \Delta x + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2}~ (\Delta x)^2 +...+\frac{\partial F}{\partial t_0}~ \Delta t + ...,
$$ где все производные справа вычислены в точке $x_0, t_0$. Для ряда оставлен член второго порядка малости по $\Delta x$. При помощи (\ref{x_minus_x0}) мы можем записать $(\Delta x)^2$ в следующем виде: $$
(\Delta x)^2 = \bigl( a_0~\Delta t + b_0~ \varepsilon \sqrt{\Delta t}+ ...\bigr)^2
= b_0^2 ~\varepsilon^2 ~\Delta t +..., $$ где оставлено ведущее приближение по $\Delta t$. Таким образом, если в начальный момент времени $t_0$ функция равна {\it детерминированному} числу $F_0=F(x_0, t_0)$, то через малый промежуток времени, в зависимости от значения $\varepsilon$, это будет случайная величина вида ($\lessdot$ C$_{\ref{c_small_varepsilon}}$): \label{bk_c_small_varepsilon} \begin{equation}\label{process_ito_lemma_F_F0}
F=F_0 + \frac{\partial F}{\partial x_0} \cdot (a_0 \Delta t + b_0 ~\varepsilon \sqrt{\Delta t})
+ \frac{b^2_0}{2}~\frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2} ~\varepsilon^2 ~\Delta t + \frac{\partial F}{\partial t_0} ~\Delta t+...
\end{equation} По {\it определению} (\ref{def_a_b}) коэффициент сноса в пределе $\Delta t\to 0$ равен: $$
A(x_0,t_0) ~=~ \frac{\left<F-F_0\right>}{\Delta t}
~=~ a_0 \cdot \frac{\partial F}{\partial x_0}
+ \frac{b^2_0}{2}\cdot \frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2} + \frac{\partial F}{\partial t_0},
$$ где подставлено разложение (\ref{process_ito_lemma_F_F0}) для $F$ и учтено, что $\left<\varepsilon\right>=0$, $\left<\varepsilon^2\right>=1$. Аналогично, для коэффициента диффузии: $$
B^2(x_0,t_0) ~=~ \frac{\left<(F-F_0)^2\right>}{\Delta t}
~=~ b^2_0 \cdot \left(\frac{\partial F}{\partial x_0}\right)^2. $$ Для моментов более высоких порядков в пределе $\Delta t\to 0$ получается ноль. Таким образом, это {\it действительно} диффузный процесс.
\vskip 1000mm
Выше упоминалось, что для записи стохастического дифференциального уравнения некоторого процесса необходимо вычислить условные средние его изменения первого и второго порядка. При этом следует убедиться, что моменты более высоких порядков при $\Delta t\to 0$ стремятся к нулю. Если этого не происходит, то процесс не является диффузным и не может быть записан в форме Ито (\ref{Ito_for_F}). Поэтому необходима полная проверка диффузности, проведенная выше.
Считая уравнение (\ref{process_ito_lemma_F_F0}) первым вычислением в бесконечной итерационной схеме, мы можем также рассуждать аналогично разделу $\S$\ref{safe_stop}. Сумма слагаемых вида $\varepsilon^2 \Delta t$ приводит к такому же детерминированному результату, как и в отсутствие $\varepsilon^2$. Поэтому можно положить $\varepsilon^2\to 1$.
Так как начальный момент был выбран произвольным образом, запишем дифференциал функции $F(x,t)$ в форме Ито при помощи бесконечно малой винеровской переменной $\delta W=\varepsilon\sqrt{dt}$: \begin{equation}\label{process_ito_lemma} \boxed{
~dF ~= \phantom{\frac{\Bigr|}{\Bigr|}}\left( \frac{\partial F}{\partial t}
+a(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x}
+ \frac{b^2(x,t)}{2} \,\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}
\right)dt
+ b(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x}~\delta W~
}. \end{equation} Это соотношение называется {\it леммой Ито}. Оно играет очень важную роль в теории случайных процессов\index{лемма Ито} ($\lessdot$ C$_{\ref{c_what_is_dF}}$). \label{bk_c_what_is_dF}
\vskip 2mm
Обратим внимание, что в отсутствие стохастики полный дифференциал функции $F(x,t)$, в которую подставили решение $x=x(t)$ уравнения $dx=a(x,t)dt$, имеет вид: \begin{equation}\label{simple_dF_dt}
dF ~=~ \frac{\partial F}{\partial t}\,dt + \frac{\partial F}{\partial x}\, dx
~=~ \left(\frac{\partial F}{\partial t} + a(x,t)\, \frac{\partial F}{\partial x}\right)\, dt. \end{equation} В отличие от этого соотношения, в детерминированную часть леммы Ито проникают функция диффузии $b^2(x,t)$ и вторая производная по $x$. Происходит это, как мы видели, благодаря корню $\sqrt{dt}$. Это, в свою очередь, связано со свойствами простого аддитивного блуждания, которое является локальным приближением любого процесса Ито.
Для винеровского уравнения $dx=\mu\, dt+\sigma\delta W$ с постоянным сносом $\mu$ и волатильностью $\sigma$
дифференциал {\it квадрата} траектории $y=x^2$, в соответствии с (\ref{process_ito_lemma}),
удовлетворяет нелинейному уравнению Ито:
$$
d(x^2) = (2\mu x + \sigma^2)\,dt + 2\sigma\,x\,\delta W15:56, 27 января 2010 (UTC)~=>15:56, 27 января 2010 (UTC)~~dy = (2\mu \sqrt{y}+\sigma^2)\,dt + 2\sigma\sqrt{y}\,\delta W.
$$ Действуя в обратном направлении, при помощи подходящей замены и леммы Ито можно сводить одни уравнения к другим, решение которых нам известно. Рассмотрим этот подход подробнее.
| Почему Ито << | Оглавление | >> Точные решения уравнения Ито |
|---|
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения
