Энергия, импульс, сила и масса

Матричные преобразования <<	Оглавление (Глава 3)	>> Кинетическая энергия

---

$\textstyle \bullet$ Выпишем ещё раз выражения для энергии и импульса частицы массой $\textstyle m$, двигающейся со скоростью $\textstyle u$:

$E={\frac {m}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {p} ={\frac {m\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}.$

(3.6)

Возводя их в квадрат и вычитая, можно исключить скорость:

$E^{2}-\mathbf {p} ^{2}=m^{2}.$

(3.7)

Разделив импульс на энергию, можно также исключить массу:

$\mathbf {p} =E\,\mathbf {u} .$

(3.8)

В такой форме связь энергии и импульса справедлива и для безмассовых частиц, например, фотонов. В этом случае, так как $\textstyle c=1$, то скорость можно записать при помощи единичного вектора $\textstyle \mathbf {u} =\mathbf {n}$, где $\textstyle \mathbf {n} ^{2}=1$. Учитывая формулу Планка $\textstyle E=h\nu$, имеем:

$\mathbf {p} =E\,\mathbf {n} =h\nu \,\mathbf {n} ={\frac {h}{\lambda }}\,\mathbf {n} ,$

(3.9)

где $\textstyle \lambda =1/\nu$ — длина волны, ассоциированной с квантовыми свойствами фотона (точнее с их ансамблем).

Напомним, что для восстановления в формулах фундаментальной скорости "$\textstyle c$" необходимо умножить все величины, имеющие размерность времени в некоторой степени, на "$\textstyle c$" в этой же степени. Поэтому:

$E\mapsto {\frac {E}{c^{2}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {p} \mapsto {\frac {\mathbf {p} }{c}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {u} \mapsto {\frac {\mathbf {u} }{c}}.$

Приведенные выше формулы (3.6) с константой "$\textstyle c$" имеют вид:

$E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {p} ={\frac {m\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2}}}}.$

(3.10)

Аналогично, соотношения (3.7), (3.8) записываются следующим образом:

$E^{2}-\mathbf {p} ^{2}c^{2}=m^{2}c^{4},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {p} ={\frac {E}{c^{2}}}\,\mathbf {u} .$

Можно получить разложения энергии и импульса (3.10) в ряд по $\textstyle 1/c$:

$E=mc^{2}+{\frac {m\mathbf {u} ^{2}}{2}}+{\frac {3}{8}}\,{\frac {m\mathbf {u} ^{4}}{c^{2}}}+....\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {p} =m\mathbf {u} +m\mathbf {u} \,{\frac {\mathbf {u} ^{2}}{2c^{2}}}+...$

Не считая энергии покоя $\textstyle mc^{2}$, ведущие члены соответствуют классическим выражениям $\textstyle E=m\mathbf {u} ^{2}/2$, $\textstyle p=m\mathbf {u}$.

$\textstyle \bullet$ Сила, действующая на частицу, изменяет её скорость и импульс. В релятивистской теории принято определять силу следующим образом:

$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {m\mathbf {a} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}+{\frac {m\mathbf {u} \cdot (\mathbf {u} \mathbf {a} )}{(1-\mathbf {u} ^{2})^{3/2}}},$

(3.11)

где $\textstyle \mathbf {a} =d\mathbf {u} /dt$ — "обычное" ускорение, равное изменению скорости, возникающее при взятии производной импульса (3.6) по времени. При таком определении ускорение в общем случае не направлено вдоль силы. Умножив силу на скорость, можно получить ещё две полезные формулы:

$\mathbf {u} \mathbf {F} ={\frac {m\cdot (\mathbf {u} \mathbf {a} )}{(1-\mathbf {u} ^{2})^{3/2}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {m\mathbf {a} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}=\mathbf {F} -\mathbf {u} (\mathbf {u} \mathbf {F} ).$

(3.12)

Очень часто, особенно в популярной литературе, утверждается, что масса релятивистской частицы зависит от скорости. Подобная интерпретация релятивистских формул не является удачной и только вносит путаницу в понимание того, что есть масса. В классической динамике инертная масса определялась тремя эквивалентными способами — через импульс, энергию и силу:

$m={\frac {p}{u}}={\frac {2E}{u^{2}}}={\frac {F}{a}}.$

Можно, конечно, сохранить любое из этих определений, например, считать, что $\textstyle m(u)=p/u=m/{\sqrt {1-u^{2}}}$. Однако закономерно возникает вопрос, почему массу необходимо определять через импульс, а не энергию или силу. В результате такой неоднозначности может возникнуть целый "зверинец масс", включая такие экзотические экземпляры, как продольная и поперечная к скорости масса в выражении силы $\textstyle m=F/a$, см. (3.11). В дальнейшем мы будем придерживаться точки зрения, что

релятивистские энергия и импульс имеют отличную от классической механики зависимость от скорости, в которую масса частицы входит в виде некоторой константы.

Использование массы, зависящей от скорости, следует считать историческим рудиментом. При увеличении скорости возрастает энергия, но не масса. В этом отношении устаревшим является также термин "масса покоя", соответствующий формуле $\textstyle E=mc^{2}$ при $\textstyle u=0$ \cite{Okun1989}.

Любопытны психологические причины терминологического разрыва в отношении понятия массы в популярной и профессиональной литературе. Так, специалисты по теории элементарных частиц, занимающиеся в том числе изучением их масс, крайне редко используют соотношение $\textstyle m(u)=m/{\sqrt {1-u^{2}}}$. Они же, читая лекции студентам или школьникам, с удовольствием пересказывают старую историю по поводу функции $\textstyle m(u)$.

$\textstyle \bullet$ Масса тела зависит от его "содержимого" или способа, при помощи которого это тело было образовано. Например, если две одинаковые свободные частицы с массами $\textstyle m$, сталкиваясь, слипаются в одну частицу с массой $\textstyle M$, то, в силу закона сохранения, она будет равна:

$M={\frac {2m}{\sqrt {1-u^{2}}}}.$

Чем больше была скорость $\textstyle u$ сталкивающихся частиц, тем более массивным получится результат.

С другой стороны, если некоторая система состоит из двух частиц с массами $\textstyle m_{1}$ и $\textstyle m_{2}$, между которыми действует сила притяжения (например, атом водорода), то масса такой системы будет меньше, чем суммарная масса её "свободных" компонентов $\textstyle m_{1}+m_{2}$, на половину потенциальной энергии (вириальная теорема), и в нерелятивистском приближении равна ($\textstyle \lessdot$ C):

$M=m_{1}+m_{2}-{\frac {\alpha }{2R}}.$

Возможны достаточно экзотические составные системы. Рассмотрим, например, два фотона с одинаковыми энергиями, которые двигаются в противоположные стороны. Можно условно объединить их в одну частицу. Её импульс будет равен нулю, а энергия — $\textstyle 2E$. Таким образом, можно считать, что масса такой частицы равна $\textstyle M=2E$. Если же фотоны двигаются в одном направлении, то "суммарная частица" будет безмассовой. Действительно, её импульс равен $\textstyle 2\mathbf {p}$, а энергия — $\textstyle 2E$, поэтому масса $\textstyle M=(2E)^{2}-(2\mathbf {p} )^{2}=0$, см. (3.9). Возможно, называть подобные образования частицей несколько неестественно, однако фотоны можно "ловить" при помощи их поглощения абсолютно чёрным телом, масса которого будет увеличиваться.

Фотон, обладая импульсом, передаёт его зеркалу, от которого отражается. Если отражение полное и частота (энергия) отражённого света не изменяется, то полученный зеркалом от фотонов импульс равен $\textstyle 2p$ или их удвоенной энергии делённой на скорость света. На поверхности Земли поток энергии солнечного света $\textstyle J$ порядка киловатта на метр квадратный. Так как сила $\textstyle F$ равна отношению изменения импульса за время $\textstyle \Delta t$, то световое давление на площадку Земли $\textstyle S$ в системе СИ составляет:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle P=\frac{F}{S}=\frac{\Delta p}{S\Delta t}= \frac{2p}{S\Delta t} =\frac{2E/c}{S\Delta t} = 2J/c \approx 7\cdot 10^{-6}\,\frac{Н}{м^2} ,}

Такое же давление окажет гирька массой 7 миллиграммов, если её удастся "раскатать" в пластину размером метр на метр.

В атомной физике и физике элементарных частиц используют не систему единиц СИ, а энергетические единицы электрон-вольты. Это энергия, которую приобретает электрон с зарядом "$\textstyle e$", проходя разность потенциалов в один вольт. Электрон-вольт — очень маленькая энергия, по сравнению с энергиями к которым привык человек:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle 1\;эВ=1.602\,176\,53(14)\cdot 10^{-19}\;Дж.}

На самом деле, она мала даже для типичных задач микромира, поэтому обычно встречаются её производные с приставкой кило ($\textstyle 10^{3}$), мега ($\textstyle 10^{6}$), гига ($\textstyle 10^{9}$), тера ($\textstyle 10^{12}$), и т.д. Обратим внимание на число в круглых скобках в определении Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle 1\;эВ} .

Это экспериментальная ошибка, показывающая типичный разброс последних двух значащих цифр.

В системе единиц $\textstyle c=1$, которая принята в этой книге, масса равна энергии покоя частицы. Поэтому масса электрона и протона выражается в электрон-вольтах:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle m_e\approx 0.511\;МэВ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;m_p\approx 938\;МэВ.}

Квантовые закономерности определяют характерные размеры и энергии атомов — радиус Бора $\textstyle r_{B}$ и энергию связи Ридберга $\textstyle E_{R}$:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle r_B = \frac{\hbar^2}{m_e e^2}\approx 0.529\cdot 10^{-10}\;м,\;\;\;\;\;\;\;E_R=\frac{e^2}{2r_B}\approx 13.6\;эВ}

Энергия $\textstyle E_{R}$ определяет дефект массы атома водорода, т.е. разницу между массой электрона + протона и массой всего атома водорода. Масса протона существенно больше этой энергии, поэтому относительное изменение массы атома за счёт энергии связи оказывается порядка $\textstyle 1.5\cdot 10^{-8}$.

Возможна ситуация, когда вся масса частиц превращается в энергию излучения. Например, это происходит при аннигиляции электрона и антиэлектрона (позитрона) $\textstyle e^{+}+e^{-}\mapsto 2\gamma$ с энергией излучения, равной Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle 2\,m_e\approx 1 MэВ} .

В то же время изменение энергии привычных объектов приводит к совсем небольшому изменению их массы. Если мы роняем утюг массой $\textstyle m$ с высоты $\textstyle H$ в один метр и вся его потенциальная энергия превращается во внутреннюю, то относительное изменение его массы составит:

${\frac {\Delta m}{m}}={\frac {mgH/c^{2}}{m}}={\frac {gH}{c^{2}}}\sim 10^{-16}.$

Тот же утюг, используемый по назначению, при нагреве на 200 градусов при удельной теплоёмкости порядка 500 Дж/(кг К) (железо) получит на единицу массы дополнительную энергию $\textstyle 10^{5}$ Дж/кг. Его относительное изменение массы будет на 4 порядка больше, и составит порядка $\textstyle 10^{-12}$.

---

Матричные преобразования <<	Оглавление (Глава 3)	>> Кинетическая энергия

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии