Пусть процесс подчиняется уравнению Ито. Рассмотрим обычную гладкую функцию . Если вместо в неё подставить , то станет случайным процессом. Покажем, что он также подчиняется диффузному уравнению Ито:
|
(2.13)
|
с , где — обратная к функция. Для этого необходимо найти функции сноса и волатильности , а также убедиться, что моменты более высоких порядков равны нулю.
Разложим в ряд Тейлора в окрестности начального фиксированного значения по небольшим и :
где все производные справа вычислены в точке . Для ряда оставлен член второго порядка малости по . При помощи (2.7) мы можем записать в следующем виде:
где оставлено ведущее приближение по . Таким образом, если в начальный момент времени функция равна детерминированному числу , то через малый промежуток времени, в зависимости от значения , это будет случайная величина вида ( C):
|
(2.14)
|
По определению (2.6) коэффициент сноса в пределе равен:
где подставлено разложение (2.14) для и учтено, что , . Аналогично, для коэффициента диффузии:
Для моментов более высоких порядков в пределе получается ноль. Таким образом, это действительно диффузный процесс.
Выше упоминалось, что для записи стохастического дифференциального уравнения некоторого процесса необходимо вычислить условные средние его изменения первого и второго порядка. При этом следует убедиться, что моменты более высоких порядков при стремятся к нулю. Если этого не происходит, то процесс не является диффузным и не может быть записан в форме Ито (2.13). Поэтому необходима полная проверка "диффузности", проведенная выше.
Считая уравнение (2.14) первым вычислением в бесконечной итерационной схеме, мы можем также рассуждать аналогично разделу . Сумма слагаемых вида приводит к такому же детерминированному результату, как и в отсутствие . Поэтому можно положить .
Так как начальный момент был выбран произвольным образом, запишем дифференциал функции в форме Ито при помощи бесконечно малой винеровской переменной :
|
(2.15)
|
Это соотношение называется "леммой Ито". Оно играет очень важную роль в теории случайных процессов ( C).
Обратим внимание, что в отсутствие стохастики полный дифференциал функции , в которую подставили решение уравнения , имеет вид:
|
(2.16)
|
В отличие от этого соотношения, в детерминированную часть леммы Ито проникают функция диффузии и вторая производная по . Происходит это, как мы видели, благодаря корню . Это, в свою очередь, связано со свойствами простого аддитивного блуждания, которое является локальным приближением любого процесса Ито.
Для винеровского уравнения с постоянным сносом и волатильностью дифференциал квадрата траектории , в соответствии с (2.15), удовлетворяет нелинейному уравнению Ито:
Действуя в обратном направлении, при помощи подходящей замены и леммы Ито можно сводить одни уравнения к другим, решение которых нам известно. Рассмотрим этот подход подробнее.
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения