Обсуждение:Ковариантная электродинамика

Тождества с символом Леви-Чевиты

В pdf-версии главы написано, что более подробно о преобразовании для

$\ \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \lambda }\varepsilon ^{\lambda \mu \nu \sigma }$

можно прочитать на стр. 648. На стр. 648 книги я не нашел информации об этом. Где можно найти? Maxim 17:13, 18 октября 2012 (UTC).

Это математические приложения. Они пока не готовы. Но скопирую ниже соответствующий кусок. Советую также читать книжку Векторы, тензоры и формы. Инструкция для физиков (и решать задачки :). Там в частности стр.183 (но для 3-мерного пространства, зато в криволинейных координатах).

---

$\textstyle \bullet$ В пространстве-времени определим абсолютно антисимметричный тензор Леви-Чевиты так, что $\textstyle \varepsilon _{0123}=1$ и $\textstyle \varepsilon ^{0123}=-1$. Таким образом, значение, равное 1 для символа с нижними индексами принято по определению. Тензор с верхними индексами получается при помощи свёртки с метрическим тензором $\textstyle g_{\mu \nu }=\mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)$. Три ненулевых индекса приводят к нечётному произведению -1 и дают значение -1.

Произведение двух символов Леви-Чевиты выражается через определитель от символов Кронекера:

$\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \lambda }\,\varepsilon _{\mu \nu \sigma \tau }=-{\begin{vmatrix}\delta _{\mu }^{\alpha }&\delta _{\nu }^{\alpha }&\delta _{\sigma }^{\alpha }&\delta _{\tau }^{\alpha }\\\delta _{\mu }^{\beta }&\delta _{\nu }^{\beta }&\delta _{\sigma }^{\beta }&\delta _{\tau }^{\beta }\\\delta _{\mu }^{\gamma }&\delta _{\nu }^{\gamma }&\delta _{\sigma }^{\gamma }&\delta _{\tau }^{\gamma }\\\delta _{\mu }^{\lambda }&\delta _{\nu }^{\lambda }&\delta _{\sigma }^{\lambda }&\delta _{\tau }^{\lambda }\\\end{vmatrix}}.$

Действительно, если четвёрки индексов $\textstyle \alpha \beta \gamma \lambda$ и $\textstyle \mu \nu \sigma \tau$ различны, то:

$\varepsilon ^{0123}\,\varepsilon _{0123}=-\det {\mathbf {1} }=-1.$

Если любые два индекса равны, то в матрице оказываются равными две строки или два столбца. Например, при $\textstyle \alpha =\beta$ равны первые две строки. Поэтому в этом случае определитель равен нулю. Перестановка любых двух индексов приводит для первого символа $\textstyle \varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \lambda }$ к перестановке местами строк, а для второго $\textstyle \varepsilon _{\mu \nu \sigma \tau }$ — столбцов. В этом случае определитель меняет свой знак. Что и требовалось доказать.

Свернём по индексам $\textstyle \lambda$ и $\textstyle \tau$, перенеся в $\textstyle \varepsilon _{\mu \nu \sigma \tau }$ индекс $\textstyle \tau$ на первое место (появится знак минус). Затем раскроем определитель по нижней строке (получится сумма 4-х определителей 3x3). Учитывая, что перестановка столбцов в определители даёт знак минус, а $\textstyle \delta _{\lambda }^{\lambda }=4$, получаем:

$\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \lambda }\varepsilon _{\lambda \mu \nu \sigma }={\begin{vmatrix}\delta _{\mu }^{\alpha }&\delta _{\nu }^{\alpha }&\delta _{\sigma }^{\alpha }\\\delta _{\mu }^{\beta }&\delta _{\nu }^{\beta }&\delta _{\sigma }^{\beta }\\\delta _{\mu }^{\gamma }&\delta _{\nu }^{\gamma }&\delta _{\sigma }^{\gamma }\\\end{vmatrix}}=\left(^{\alpha \beta \gamma }_{\mu \nu \sigma }\right)-\left(^{\alpha \beta \gamma }_{\mu \sigma \nu }\right)+\left(^{\alpha \beta \gamma }_{\sigma \mu \nu }\right)-\left(^{\alpha \beta \gamma }_{\sigma \nu \mu }\right)+\left(^{\alpha \beta \gamma }_{\nu \sigma \mu }\right)-\left(^{\alpha \beta \gamma }_{\nu \mu \sigma }\right),$

где введено сокращение $\textstyle \left(^{\alpha \beta \gamma }_{\mu \nu \sigma }\right)=\delta _{\mu }^{\alpha }\delta _{\nu }^{\beta }\delta _{\sigma }^{\gamma }$ и второе равенство получено раскрытием определителя. Продолжая аналогичным образом, получаем также следующие тождества:

$\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \lambda }\varepsilon _{\gamma \lambda \mu \nu }=-2{\Bigl (}\delta _{\mu }^{\alpha }\delta _{\nu }^{\beta }-\delta _{\nu }^{\alpha }\delta _{\mu }^{\beta }{\Bigr )},\;\;\;\;\;\;\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \lambda }\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \mu }=-6\delta _{\mu }^{\lambda },\;\;\;\;\;\;\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \lambda }\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \lambda }=-24.$

---

Спасибо! Есть еще один вопрос по поводу антисимметричных тензоров (в данном случае - Леви-Чивиты). Как получить, что

$\ \varepsilon _{\alpha \beta }^{\nu \sigma }F_{\nu \sigma }=2F_{\alpha \beta }$?

Интересует, откуда взялся множитель 2. Не до конца понимаю, как это "навскидку" следует из антисимметричности тензоров. Maxim 19:35, 19 октября 2012 (UTC).

Просто подставляем определение $\varepsilon _{\alpha \beta }^{\nu \sigma }$, сворачиваем с символами Кронекера и в конце учитываем антисимметричность $F_{\beta \alpha }=-F_{\alpha \beta }$:

$\varepsilon _{\alpha \beta }^{\nu \sigma }F_{\nu \sigma }=(\delta _{\alpha }^{\nu }\delta _{\beta }^{\sigma }-\delta _{\beta }^{\nu }\delta _{\alpha }^{\sigma })F_{\nu \sigma }=F_{\alpha \beta }-F_{\beta \alpha }=2F_{\alpha \beta }$

Про "очевидность" получения ковариантных уравнений

Интересно, те же уравнения Максвелла в ковариантной форме исторически были получены наобум, или же были какие-то (даже качественные) основания "свернуть" тензор напряженности с 4-вектором производной именно так? Аналогичный вопрос по поводу "очевидности" введения тензора напряженности.

Можете написать по этому поводу? Подобные вопросы очень мучат, [:)]. Maxim 20:22, 19 октября 2012 (UTC).

Скорее сложно было догадаться о необходимости введения тензора напряженности. То, что $j^{\nu }=\{\rho ,\mathbf {j} \}$ и $\partial ^{\nu }=\{\partial _{0},\,-\nabla \}$ преобразуются как $x^{\nu }=\{t,\,\mathbf {r} \}$ было известно ещё Лоренцу и Пуанкаре. Хотя тензорный анализ они не использовали (про Пуанкаре не уверен, надо проверить). Уравнения Максвелла разбиваются на две пары уравнений (с зарядами и без). Это уравнения первого порядка. Поэтому в тензорном виде они должны зависеть от $\partial ^{\nu }$ и $j^{\nu }$. Два вектора $\mathbf {E}$ и $\mathbf {B}$ в один 4-вектор не засунуть. Можно взять два 4-вектора, но не ясно что для них брать для скалярной части. Остается антисимметричный тензор 2-го ранга, он как раз зависит от двух 3-векторов. Как то так. Хотя это сейчас тривиально, а тогда :)... По-моему Минковский тензорную форму предложил. Но нужно это проверить. Сергей Степанов 12:52, 21 октября 2012 (UTC)

Про "выделенность" уравнения Максвелла для дивергенции напряженности

Записывая в ковариантных обозначениях уравнения Максвелла, можно получить:

$\ \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=4\pi j^{\beta },\partial _{\alpha }*F^{\alpha \beta }=0$.

Записывая первое уравнение при $\ \beta =0$, можно получить, что

$\ \partial _{\alpha }F^{\alpha 0}=\partial _{1}(\partial ^{1}A^{0}-\partial ^{0}A^{1})+\partial _{2}(\partial ^{2}A^{0}-\partial ^{0}A^{2})+\partial _{3}(\partial ^{3}A^{0}-\partial ^{0}A^{3})=\sum _{\beta }\partial _{\beta }(\partial ^{\beta }A^{0}-\partial ^{0}A^{\beta })=4\pi \rho \qquad (.1)$.

Как видно, это уравнение - уравнение первого порядка по времени относительно потенциала.

Аналогично, записывая три других уравнения, можно получить для них уравнения второго порядка по времени относительно потенциала. Эти три уравнения однозначно определяют 4-потенциал, удовлетворяющий уравнениям Максвелла, если заданы две константы - значение потенциала и его производной по времени в некоторый заданный момент времени $\ t_{0}:A^{\mu }=A^{\mu }(\mathbf {x} ,t_{0}),{\dot {A^{\mu }}}={\dot {A^{\mu }}}(\mathbf {x} ,t_{0})$. С другой стороны, задание $\ {\dot {A^{\mu }}}(\mathbf {x} ,t_{0})$ должно удовлетворять уравнению $\ (.1)$, то есть, это уравнение есть своего рода "связью" для трех уравнений. При этом, в зависимости от вектора $\ \mathbf {x}$, таких значений может быть бесконечное множество. А это как-то связано со степенями свободы электромагнитного поля.

Дополнение. Введение калибровочного условия Лоренца, по-видимому, устраняет эту проблему. В связи с этим, у меня такой вопрос: как калибровка влияет на определение числа степеней свободы? Maxim 23:28, 26 октября 2012 (UTC).

Максим, я не до конца понял, о какой проблеме идет речь. Может ли начальное условие для производной $\ {\dot {A^{\mu }}}(\mathbf {x} ,t_{0})$ быть произвольным?

Да. В целом, вроде бы, оно не может быть произвольным. С другой стороны, интересно, как калибровка Лоренца влияет на произвольность выбора этого значения.

Если мы расписываем уравнение $\partial ^{2}A^{\beta }-\partial ^{\beta }(\partial \cdot \mathrm {A} )=4\pi j^{\beta }$ по компонентам не фиксируя калибровку, получается система уравнений:

$\Delta \varphi +\partial _{0}(\nabla \mathbf {A} )=-4\pi \rho ,$

$(\partial _{0}^{2}-\Delta )\mathbf {A} +\nabla (\partial _{0}\varphi +\nabla \mathbf {A} )=4\pi \mathbf {j} .$

Первое является уравнением 1-го порядка по времени, три остальных - второго. Однако, это система сцепленных уравнений ($\varphi$ и $\mathbf {A}$ не разделились). Первое уравнение даёт связь между $\varphi (\mathbf {x} ,t_{0})$ и ${\dot {\mathbf {A} }}(\mathbf {x} ,t_{0})$, т.е. они не могут быть независимыми. Если мы накладываем калибровку Лоренца, то система распадается на несвязанные уравнения 2-го порядка относительно $\varphi$ и $\mathbf {A}$:

$(\partial _{0}^{2}-\Delta )\varphi =4\pi \rho ,$

$(\partial _{0}^{2}-\Delta )\mathbf {A} =4\pi \mathbf {j} .$

Формально для них начальные условия произвольны. Но т.к. должно выполняться калибровочное условие ${\dot {\varphi }}(\mathbf {x} ,t_{0})=-\nabla \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t_{0})$, то фактически начальные условия для потенциалов также связаны.

Спасибо большое, это многое прояснило. А имеет ли эта связь хоть какое-то отношение ко степеням свободы поля? Maxim 12:59, 5 ноября 2012 (UTC).

---

Число степеней свободы поля в любом случае остаётся бесконечным. Калибровочное условие - это одна связь, вычитание которой из бесконечности оставляет ее таковой. Сергей Степанов 19:04, 29 октября 2012 (UTC) .

А как показать, что число степеней свободы электромагнитного поля есть бесконечным? Maxim 17:34, 31 октября 2012 (UTC).

Это вопрос определения. Если уравнения поля записать в конечных разностях (на дискретной решетке в 3-пространстве), то получится бесконечная система дифференциальных уравнений по времени. По аналогии с классической механикой, степенью свободы будет значение поля в каждой точке пространства. Именно они является динамическими переменными в этой системе уравнений. Понятно, что их бесконечно много. Сергей Степанов 14:16, 4 ноября 2012 (UTC)