Обсуждение:Законы сохранения

А можно как-то "придти" к величинам Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ W, \quad \mathbf P} , не вводя их изначально? Maxim 11:58, 8 июля 2012 (UTC)

Да. Для этого служит теорема Нётер. Она описана в 6-й главе. Сергей Степанов 18:51, 8 июля 2012 (UTC)

А когда она будет доступна для чтения? Maxim 15:01, 9 июля 2012 (UTC)

К концу месяца Сергей Степанов 07:47, 10 июля 2012 (UTC)

Я не совсем понял, как была вынесена "набла" при получении компонент тензора потока импульса:

$\ {\frac {1}{8\pi }}\nabla (\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2})-{\frac {1}{4\pi }}\sum _{i}\nabla _{i}[E_{i}\mathbf {E} +B_{i}\mathbf {B} ]$.

В выражении выше "набла" при квадратах напряженности и индукции - вектор, а при произведении компонент на вектора - скаляр. Можете, пожалуйста, показать эту "свертку"? Maxim 22:25, 13 июля 2012 (UTC)

Максим, а помощь под номером 36 (в pdf-ке) не проясняет ситуацию? Сергей Степанов 12:06, 16 июля 2012 (UTC)

Я не понимаю, как Вы получили компоненты тензора из той величины, что приведена мною выше, и как оператор набла вынесли за скобки. Тождество для двойного векторного произведения понятно, как получено. Maxim 20:27, 16 июля 2012 (UTC)

---

В

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t} +\frac{\mathbf{B}\times[\nabla\times\mathbf{B}]+\mathbf{E}\times[\nabla \times\mathbf{E}]}{4\pi} + \mathbf{j}\times\mathbf{B}=0, }

подставляем двойное векторное произведение и закон Гаусса для электрического и магнитного поля:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+ \frac{1}{4\pi}\Bigl( \nabla\left(\frac{\mathbf{E}^2}{2}\right) - \nabla_i(E_i \mathbf{E}) +\nabla\left(\frac{\mathbf{B}^2}{2}\right) - \nabla_i(B_i \mathbf{B}) \Bigr) +\mathbf{E} \rho + \mathbf{j}\times\mathbf{B}=0, }

Это векторное уравнение. Запишем его j-ю компоненту:

${\frac {\partial P_{j}}{\partial t}}+{\frac {1}{4\pi }}{\Bigl (}\nabla _{j}\left({\frac {\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2}}{2}}\right)-\nabla _{i}(E_{i}E_{j}+B_{i}B_{j}){\Bigr )}+E_{j}\rho +[\mathbf {j} \times \mathbf {B} ]_{j}=0,$

Набла с индексом j может быть записана как Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \nabla_i \delta_{ij} } (везде по повторяющимся индексам суммирование). От сюда получается тензор $\sigma _{ij}$. Сергей Степанов 06:42, 17 июля 2012 (UTC)

---

Спасибо большое. Не обратил внимание на то, что компоненты j-тые. А можете, пожалуйста, еще подробнее объяснить, почему именно "...Если заряды сосредоточены в некоторой области пространства и поля на бесконечности равны нулю, то при интегрировании по всему пространству правая часть (поверхностный интеграл) будет равна нулю..."? Я про интеграл от $\ \mathbf {P}$ в выражении для первого закона сохранения. Потому что поток через поверхность объема на бесконечности равен нулю? Maxim 13:06, 17 июля 2012 (UTC)

Ну да. Если поля на бесконечности убывают быстрее чем $1/r$ (их квадрат как $1/r^{2+\varepsilon }$), то поверхностный интеграл (в сферических координатах) будет пропорционален $(1/r^{2+\varepsilon })r^{2}d\Omega$ и при $r\to \infty$ равен нулю. Сергей Степанов 17:36, 17 июля 2012 (UTC)

И еще такой глупый вопрос. ij-тая компонента тензора потока импульса определяется как $\ \delta _{ij}W-\sum _{i}\left(E_{i}E_{j}+B_{i}B_{j}\right)$, или без знака суммы во втором слагаемом? Maxim 20:44, 18 июля 2012 (UTC)

Без, конечно. На то он и тензор - должен иметь 2 индекса. Сергей Степанов 07:39, 19 июля 2012 (UTC)