Рассмотрим построение решения одномерного уравнения при помощи стохастического интеграла. Пусть у нас есть система уравнений x с одинаковым шумом . Для произвольной функции в этом случае справедлива следующая версия леммы Ито (), стр. \pageref{Ito_N_dim} (суммирование по повторяющимся индексам):
Пусть , где — решение некоторого одномерного стохастического уравнения , а — порождающий винеровский процесс с нулевым сносом и единичной волатильностью. В этом случае лемма Ито для функции имеет вид:
Всегда подходящим выбором :
можно ( H) волатильность (множителя при ) сделать равной нулю. Подставляя в лемму Ито, получаем:
Если выбором функции удаётся добиться, чтобы множитель при зависел только от и , то это уравнение можно проинтегрировать, выразив решение в явном виде через порождающий винеровский процесс . Так как множитель при не должен зависеть от , то частная производная по равна нулю, и мы получаем следующее уравнение:
Это уравнение допускает разделение переменных :
где , — некоторые константы, которые необходимо подобрать так, чтобы это соотношение обращалось в тождество. Тогда .
Рассмотрим в качестве примера логистическое уравнение (стр. \pageref{logistic_equation}):
|
(EQN)
|
Несложно проверить, что , , ,
где при интегрировании учтено начальное условие , и . Поэтому решение () можно записать в следующем виде:
|
(EQN)
|
Замкнутая форма () может быть полезна при построении приближённых методов, однако, к сожалению, получить с её помощью конкретные результаты (например, среднее ), вообще говоря, не просто.
Простое интегральное представление для решения имеет также линейное по стохастическое уравнение:
В этом случае , , и для процесса получаем уравнение:
Поэтому решение выражается через стохастический интеграл:
который позволяет вычислять средние:
- Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \left\langle x(t)\right\rangle = x_0\Bigl<e^{(\beta-\sigma^2/2)t + \sigma \varepsilon\sqrt{t}}\Bigr> + \alpha\Bigl<e^{(\beta-\sigma^2/2)t + \sigma W_t}\int\limits^t_0 e^{-(\beta-\sigma^2/2)s - \sigma W_s} ds\Bigr>.}
Первое среднее вычисляется обычным образом, а для второго необходимо использовать формулу (), стр. \pageref{int_aver_g_f_dt}:
- Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \left\langle x(t)\right\rangle = x_0\,e^{\beta t} + \alpha\int\limits^t_0 \Bigl<e^{(\beta-\sigma^2/2)t + \sigma (\varepsilon_1\sqrt{s}+\varepsilon_2\sqrt{t-s})}\cdot e^{-(\beta-\sigma^2/2)s - \sigma \varepsilon_1\sqrt{s}} \Bigr> ds,}
или Заметим, что в данном случае проще найти при помощи динамических уравнений для средних.
Иногда многомерные системы позволяют находить точные решения одномерных стохастических уравнений. Рассмотрим блуждание в -мерном пространстве, считая, что по каждой координате реализуется процесс Орнштейна-Уленбека с нулевым равновесным уровнем и одинаковым притяжением к нему:
Блуждания предполагаются нескоррелированными, с одной волатильностью шума. Рассмотрим случайный процесс, равный квадрату радиус-вектора . Найдём стохастическое уравнение, которому он подчиняется. В данном случае , . Производные от равны , , и по лемме Ито (), стр. \pageref{Ito_N_dim} имеем следующее уравнение:
Сумму стохастических членов в этом уравнении можно выразить через единственную винеровскую переменную:
где . Действительно, сумма гауссовых чисел снова даёт гауссово число, и, так как , оно имеет единичную дисперсию. Вообще говоря, величины являются случайными функциями. Однако на каждом шаге итерационного решения они принимают определённое значение, но так, что сумма их квадратов всегда равна единице. Поэтому мы и переходим в уравнении к скалярной винеровской переменной .
В результате получается одномерное уравнение Феллера:
с равновесным уровнем, равным . Его решение выражается через известные нам случайные процессы Орнштейна-Уленбека (стр. \pageref{sol_OU}):
и независимых гауссовых величин .
Решение одномерного уравнения должно зависеть от одной константы начального условия . В полученное решение входит независимых констант , соответствующих начальным условиям по каждой координате. Покажем, что они, тем не менее, "сворачиваются" в единственную константу . Для этого запишем решение в следующем виде:
где , , и введены две новые случайные величины и :
Сумма квадратов "весов" равна единице. Поэтому величина имеет гауссово распределение с нулевым средним и единичной дисперсией, а подчиняется -распределению с степенями свободы ( C). Так как обе эти величины зависят от одних и тех же гауссовых чисел , они не являются независимыми. Однако их совместная плотность вероятностей не зависит от весов , и, следовательно, от констант начального условия . Действительно, найдём производящую функцию:
|
(EQN)
|
Введение мнимой единицы , превращает производящую функцию в характеристическую, фурье-интеграл от которой равен плотности вероятности . Разложение в ряд по и производящей функции позволяет легко найти различные средние для случайных величин и .
Подобное представление было получено в третьей главе при изучении процесса Феллера (стр. \pageref{feller_equation}). Несмотря на то, что мы начали с процессов Орнштейна-Уленбека, целочисленный параметр в решении можно аналитически продолжить в область непрерывных значений .
Таким образом, процесс зависит от единственной константы начального условия и двух случайных величин и , имеющих совместное распределение ().
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения