Некоторые точные решения

Многомерие помогает одномерию <<	Оглавление	>> Как решать стохастические задачи?

---

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим нестационарное многомерное стохастическое уравнение:

$dx_{i}=f_{i}(t)\,dt+s_{i\alpha }(t)\,\delta W_{\alpha }.$

(6.34)

При его решении итерациями получатся ряды следующего вида:

$x_{i}(t)=x_{i}(t_{0})+{\Bigl [}f_{i}(t_{0})+f_{i}(t_{1})+...{\Bigr ]}\Delta t+{\Bigl [}s_{i\alpha }(t_{0})\varepsilon _{\alpha }(t_{0})+s_{i\alpha }(t_{1})\varepsilon _{\alpha }(t_{1})+...{\Bigr ]}{\sqrt {\Delta t}}.$

Последний член является суммой независимых гауссовых случайных чисел. Поэтому решение (6.34) можно записать следующим образом:

$x_{i}(t)={\bar {x}}_{i}(t)\;+\;S_{i\alpha }(t)\,\varepsilon _{\alpha },$

(6.35)

где по $\textstyle \alpha$ по-прежнему производится суммирование, и

${\bar {x}}_{i}(t)=x_{i}(t_{0})+\int \limits _{t_{0}}^{t}f_{i}(\tau )\,d\tau ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;D_{ij}=S_{i\alpha }S_{j\alpha }=\int \limits _{t_{0}}^{t}s_{i\alpha }(\tau )s_{j\alpha }(\tau )\,d\tau .$

Явный вид матричной функции $\textstyle S_{i\alpha }(t)$ обычно не требуется. Нестационарное гауссово блуждание полностью определяется вектором средних значений $\textstyle {\bar {x}}_{i}(t)$ и симметричной матрицей дисперсий:

$\mathbf {D} =D_{ij}=\left\langle (x_{i}-{\bar {x}}_{i})(x_{j}-{\bar {x}}_{j})\right\rangle =\int \limits _{t_{0}}^{t}s_{i\alpha }(\tau )s_{j\alpha }(\tau )\,d\tau =\int \limits _{t_{0}}^{t}\mathbf {s} (\tau )\cdot \mathbf {s} ^{T}(\tau )\,d\tau .$

Через них выражается производящая функция для средних (действительный аналог характеристической функции):

$\phi (\mathbf {p} )=\left\langle e^{\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right\rangle =e^{\mathbf {p} \cdot {\bar {\mathbf {x} }}}\,\left\langle e^{\mathbf {p} \cdot \mathbf {S} \cdot \mathbf {\epsilon } }\right\rangle =e^{\mathbf {p} \cdot {\bar {\mathbf {x} }}+{\frac {1}{2}}\,\mathbf {p} \cdot \mathbf {D} \cdot \mathbf {p} }.$

Усреднение проводится покомпонентно для каждого гауссового числа $\textstyle \mathbf {\epsilon } =\{\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n}\}$ при помощи формулы (1.11).

Моменты произвольного порядка находятся взятием частных производных от $\textstyle \phi (\mathbf {p} )$. Например, для:

$e_{ijkl}=\left\langle (x_{i}-{\bar {x}}_{i})(x_{j}-{\bar {x}}_{j})(x_{k}-{\bar {x}}_{k})(x_{l}-{\bar {x}}_{l})\right\rangle =\left.{\frac {\partial \phi (\mathbf {p} )}{\partial p_{i}\partial p_{j}\partial p_{k}\partial p_{l}}}\right|_{\mathbf {p} =0}$

получаем:

$e_{ijkl}=D_{ij}D_{kl}+D_{ik}D_{jl}+D_{il}D_{jk}.$

Заметим, что это выражение автоматически симметрично по всем четырем индексам.

$\textstyle \bullet$ Изменения цен различных финансовых инструментов (например, акций) обычно скоррелированы друг с другом. Простейшей моделью является многомерное логарифмическое блуждание. В этом случае относительное изменение цены — это $\textstyle n$-мерный винеровский процесс:

${\frac {dx_{i}}{x_{i}}}=\mu _{i}\,dt+\sum _{j=1}^{n}\sigma _{ij}\,\delta W_{j}.$

(!) Сейчас мы используем явное обозначение для суммы, а не соглашение о суммировании по повторяющимся индексам.

Дисперсия относительных изменений двух акций выражается через матрицу $\textstyle \sigma _{ij}$. Действительно, для небольшого интервала времени $\textstyle \Delta t$, представив $\textstyle \delta W_{j}=\varepsilon _{j}\,{\sqrt {\Delta t}}$, имеем:

$\left\langle \left({\frac {\Delta x_{i}}{x_{i}}}-\mu _{i}\Delta t\right)\left({\frac {\Delta x_{j}}{x_{j}}}-\mu _{j}\Delta t\right)\right\rangle =\sum _{k,l=1}^{n}\sigma _{ik}\,\sigma _{jl}\,\left\langle \varepsilon _{k}\varepsilon _{l}\right\rangle \Delta t=\sum _{k=1}^{n}\sigma _{ik}\,\sigma _{jk}\Delta t.$

Для получения решения перейдём, как и в одномерном случае, к натуральному логарифму от $\textstyle x_{i}$. Тогда по лемме Ито имеем:

$d\ln x_{i}=\left(\mu _{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\sigma _{ij}^{2}\right)\,dt+\sum _{j=1}^{n}\sigma _{ij}\delta W_{j}.$

Решение этого уравнения с начальным условием $\textstyle x_{0i}=x_{i}(0)$, выраженное через гауссовы переменные, имеет вид:

$x_{i}(t)=x_{0i}\,\exp \left\{\left(\mu _{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\sigma _{ij}^{2}\right)\,t+\sum _{j=1}^{n}\sigma _{ij}\varepsilon _{j}\,{\sqrt {t}}\right\}.$

Среднее значение экспоненциально изменяется со скоростью, определяемой параметром $\textstyle \mu _{i}$:

$\left\langle x_{i}(t)\right\rangle =x_{0i}\,e^{\mu _{i}t}.$

Аналогично, среднее значение квадрата имеет вид:

$\left\langle x_{i}^{2}(t)\right\rangle =x_{0i}^{2}\,\exp \left\{2\mu _{i}t+\sum _{j=1}^{n}\sigma _{ij}^{2}\,t\right\}.$

Более подробно к вопросу стохастического описания финансовых рынков мы вернёмся в восьмой главе.

$\textstyle \bullet$ Как и в одномерном случае, некоторую систему стохастических уравнений можно попытаться свести к простому нестационарному случаю. Для этого подберём такую векторную функцию $\textstyle \mathbf {F} =F_{k}(\mathbf {x} ,t)$, которая "убирает" $\textstyle \mathbf {x}$ из уравнения (по повторяющимся индексам снова предполагается суммирование):

$d{F_{k}}=\underbrace {\left({\frac {\partial {F_{k}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {F_{k}}}{\partial x_{\gamma }}}\,{a_{\gamma }}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}F_{k}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\,b_{i\alpha }b_{j\alpha }\right)} _{f_{k}(t)}\,dt+\underbrace {{\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{i}}}\,b_{i\alpha }} _{s_{k\alpha }(t)}\,\delta W_{\alpha }.$

Пусть $\textstyle b_{i\alpha }^{-1}$ — обратная к $\textstyle b_{i\alpha }$ матрица. Тогда для функций волатильности $\textstyle s_{k\alpha }(t)$ можно записать:

${\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{i}}}\,b_{i\alpha }=s_{k\alpha }(t)\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{i}}}=s_{k\alpha }(t)\,b_{\alpha i}^{-1}.$

(6.36)

Для нестационарного сноса $\textstyle f_{k}(t)$:

$f_{k}(t)\;=\;{\frac {\partial F_{k}}{\partial t}}+s_{k\alpha }\,b_{\alpha \gamma }^{-1}\,a_{\gamma }-{\frac {1}{2}}\,s_{k\alpha }\,b_{\alpha \gamma }^{-1}\,{\frac {\partial b_{\gamma \beta }}{\partial x_{j}}}\,b_{j\beta },$

(6.37)

где мы подставили (6.36) и воспользовались соотношением:

${\frac {\partial \mathbf {b} ^{-1}}{\partial x_{j}}}=-\mathbf {b} ^{-1}\cdot {\frac {\partial \mathbf {b} }{\partial x_{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{-1}$

которое получается дифференцированием $\textstyle \mathbf {b} ^{-1}\cdot \mathbf {b} =\mathbf {1}$ по $\textstyle x_{j}$.

Возьмём производную выражения (6.36) по $\textstyle t$ и производную по $\textstyle x_{i}$ от (6.37). Вычитая их, получаем условие совместности в следующем виде:

${\frac {\partial }{\partial t}}\left[s_{k\alpha }(t)\,b_{\alpha i}^{-1}\right]+s_{k\alpha }(t)\,{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[b_{\alpha \gamma }^{-1}\left(a_{\gamma }-{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial b_{\gamma \beta }}{\partial x_{j}}}\,b_{j\beta }\right)\right]=0.$

(6.38)

Как и в одномерном случае, если при данных $\textstyle a_{i}(\mathbf {x} ,t)$ и $\textstyle b_{ij}(\mathbf {x} ,t)$ удаётся подобрать такие функции времени $\textstyle s_{k\alpha }(t)$, что (6.38) обращается в тождество, то решение стохастического уравнения записывается в неявном виде:

$F_{k}(\mathbf {x} (t),t)=F_{k}(\mathbf {x} _{0},t_{0})\;+\;\int \limits _{t_{0}}^{t}f_{k}(\tau )\,d\tau \;+\;S_{i\alpha }(t)\;\varepsilon _{\alpha },$

(6.39)

где $\textstyle \varepsilon _{\alpha }$ — нормированные независимые гауссовы случайные числа, а

$S_{i\alpha }(t)\,S_{j\alpha }(t)\;=\;\int \limits _{t_{0}}^{t}s_{i\alpha }(\tau )s_{j\alpha }(\tau )\,d\tau .$

Приведём пример использования этого алгоритма.

$\textstyle \bullet$ Для системы линейных уравнений с постоянной матрицей $\textstyle \mathbf {A}$ и зависящими от времени вектором $\textstyle \mathbf {c} (t)$ и матрицей $\textstyle \mathbf {B} (t)$:

$dx_{i}=\;{\bigl [}A_{ij}x_{j}+c_{j}(t){\bigr ]}\;dt+B_{ij}(t)\,\delta W_{j},$

условие совместности (6.38) и его решение имеют вид:

${\frac {d}{dt}}(\mathbf {s} \cdot \mathbf {B} ^{-1})=-(\mathbf {s} \cdot \mathbf {B} ^{-1})\cdot \mathbf {A} \;\;\;\;=>\;\;\;\;\mathbf {s} (t)=\mathbf {s} (t_{0})\cdot \mathbf {B} ^{-1}(t_{0})\cdot e^{-\mathbf {A} \,t}\cdot \mathbf {B} (t).$

При использовании алгоритма поиска точного решения нам достаточно найти частное решение условия совместности, так как фактически мы ищем наиболее простую замену $\textstyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$, приводящую исходное уравнение к нестационарному винеровскому процессу (6.34). Поэтому выберем начальное условие для матрицы $\textstyle \mathbf {s}$ в следующем виде $\textstyle \mathbf {s} (t_{0})=\mathbf {B} (t_{0})$ и, следовательно:

$\mathbf {s} (t)=e^{-\mathbf {A} \,t}\cdot \mathbf {B} (t).$

В результате функции замены $\textstyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$ (6.36) и сноса $\textstyle \mathbf {f} (t)$ (6.37) равны:

$\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)=e^{-\mathbf {A} \,t}\cdot \mathbf {x} ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {f} (t)=e^{-\mathbf {A} \,t}\cdot \mathbf {c} (t).$

Окончательное решение является нестационарным гауссовым процессом:

$\mathbf {x} (t)=e^{\mathbf {A} \,(t-t_{0})}\mathbf {x} _{0}\;+\;\int \limits _{t_{0}}^{t}e^{\mathbf {A} \cdot (t-\tau )}\cdot \mathbf {c} (\tau )\,d\tau \;+\;\mathbf {G} \cdot \mathbf {\epsilon } ,$

где $\textstyle \mathbf {x} _{0}=\mathbf {x} (t_{0})$ — начальное условие. Матрица $\textstyle \mathbf {G} =e^{\mathbf {A} \,t}\cdot \mathbf {S} (t)$ удовлетворяет соотношению, определяющему матрицу дисперсии процесса:

$\mathbf {D} =\mathbf {G} \cdot \mathbf {G} ^{T}=e^{\mathbf {A} t}\cdot \int \limits _{t_{0}}^{t}\mathbf {s} \mathbf {s} ^{T}\,d\tau \cdot e^{\mathbf {A} ^{T}t}=\int \limits _{t_{0}}^{t}e^{\mathbf {A} (t-\tau )}\cdot \mathbf {B} (\tau )\mathbf {B} ^{T}(\tau )\cdot e^{\mathbf {A} ^{T}(t-\tau )}\,d\tau .$

Если $\textstyle \mathbf {c} =0$, а $\textstyle \mathbf {B}$ является постоянной матрицей, то эти формулы совпадают с результатами, полученными в предыдущем разделе.

В случае, когда матрица $\textstyle \mathbf {A}$ зависит от времени, вместо $\textstyle e^{\mathbf {-A} t}$ необходимо использовать матрицу $\textstyle \mathbf {\Phi } (t)$, удовлетворяющую уравнению $\textstyle {\dot {\mathbf {\Phi } }}(t)=-\mathbf {\Phi } (t)\cdot \mathbf {A} (t)$. Явный вид $\textstyle \mathbf {\Phi } (t)$ можно выразить через $\textstyle \mathbf {A} (t)$, однако для этого необходимы специальные обозначения, упорядочивающие матрицы, так как интеграл от матрицы $\textstyle \mathbf {A} (\tau )$ по интервалу $\textstyle [t_{0},...,t]$ в общем случая не коммутирует с матрицей $\textstyle \mathbf {A} (t)$ в момент времени $\textstyle t$.

---

Многомерие помогает одномерию <<	Оглавление	>> Как решать стохастические задачи?

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения