Диаграммы Далица и Мандельстама

Инварианты s, t и u <<	Оглавление (Глава 3)	>> Антисимметричные тензоры

---

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим реакцию аннигиляции пи-мезонов, при которой рождаются протон и антипротон

$\pi ^{+}+\pi ^{-}\mapsto p+{\bar {p}}.$

Это реакция неупругого рассеяния, так как исходные частицы (пи-мезоны) изменяют не только свои импульсы, но и "вид", превращаясь в протоны. В этом случае исходные массы равны $\textstyle m_{1}=m_{2}=m=135$ МэВ и отличаются от масс конечных частиц $\textstyle m_{3}=m_{4}=M=938$ МэВ. Поэтому косинус угла рассеяния в системе центра () масс равен:

$\cos \chi ={\frac {s+2(t-m^{2}-M^{2})}{\sqrt {(s-4m^{2})(s-4M^{2})}}}.$

Порог реакции $\textstyle s\geqslant (m_{3}+m_{4})^{2}=4M^{2}$. Однако существует дополнительное ограничение, связанное с тем, что $\textstyle \cos ^{2}\chi \leqslant 1$. Это неравенство имеет следующий вид:

$t\,(t+s-2(M^{2}+m^{2}))+(M^{2}-m^{2})^{2}\leqslant 0.$

(EQN)

Таким образом, возникает энергетически разрешённая область на плоскости $\textstyle (s,t)$, которую называют диаграммой Далица:

На диаграмме Далица два независимых инварианта $\textstyle s$ и $\textstyle t$ откладываются на перпендикулярных декартовых осях, а энергетически разрешённая область отмечается серым цветом. Порог реакции $\textstyle s\geqslant 4M^{2}$ проведен в виде тонкой вертикальной линии, справа от которой должна находиться разрешённая область. Это приводит к тому, что $\textstyle t<0$. Граница разрешённой области получается, когда в соотношении () выбирается знак равенства:

$t+s-2(M^{2}+m^{2})+{\frac {(M^{2}-m^{2})^{2}}{t}}=0.$

При $\textstyle t\to \infty$ это уравнение стремится к прямой $\textstyle t=2(M^{2}+m^{2})-s$. Вторая асимптотика соответствует пределу $\textstyle s\to \infty$, $\textstyle t\to 0$.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим теперь реакцию упругого рассеяния пи-мезона на протоне:

$\pi ^{+}+p\mapsto \pi ^{+}+p.$

В этом случае новые частицы не рождаются и происходит просто изменение импульсов исходных частиц, поэтому эта реакция и называется упругой. Массы частиц равны $\textstyle m_{1}=m_{3}=m$, $\textstyle m_{2}=m_{4}=M$, и порогом реакции будет $\textstyle s\geqslant (M+m)^{2}$. Косинус угла рассеяния равен:

$\cos \chi ={\frac {s^{2}+2s(t-m^{2}-M^{2})+(M^{2}-m^{2})^{2}}{(s-(M+m)^{2})(s-(M-m)^{2})}}.$

Для получения энергетических неравенств в данном случае проще расписать два неравенства $\textstyle \cos \chi \leqslant 1$ и $\textstyle \cos \chi \geqslant -1$. Первое даёт

$st\leqslant 0,$

и, так как $\textstyle s>0$, имеем $\textstyle t\leqslant 0$. Второе неравенство приводит к соотношению, похожему на (), но с переставленными местами инвариантами $\textstyle s$ и $\textstyle t$:

$s\,(s+t-2(M^{2}+m^{2}))+(M^{2}-m^{2})^{2}\geqslant 0.$

(EQN)

Нарисуем энергетически разрешённую область на диаграмме Далица:

Обратим внимание, что эта граничная энергетическая линия получается из линии реакции $\textstyle \pi ^{+}+\pi ^{-}\mapsto {\bar {p}}+p$ перестановкой местами $\textstyle s$ и $\textstyle t$ инвариантов. Это происходит потому, что рассматриваемые две реакции являются фактически одной четырёххвосткой. Если в $\textstyle \pi ^{+}+\pi ^{-}\mapsto {\bar {p}}+p$ поменять местами 2-ю и 3-ю частицы, мы получим реакцию $\textstyle \pi ^{+}+p\mapsto \pi ^{+}+p$ (массы протона и антипротона одинаковые). Понятно, что инварианты $\textstyle s=(\mathrm {p} _{1}+\mathrm {p} _{2})$ и $\textstyle t=(\mathrm {p} _{1}+\mathrm {p} _{3})$ поменяются местами. Говорят, что эти реакции происходят в различных каналах одной и той же четырёххвостки. Первая реакция происходит в $\textstyle s$ канале, а вторая — в $\textstyle t$. Соответственно, линия граничной области получается при повороте рисунка на 90 градусов.

$\textstyle \bullet$ Кроме энергетических диаграмм Далица используются также диаграммы Мандельстама, на которых одновременно изображаются все три инварианта $\textstyle (s,t,u)$. Такая диаграмма является косоугольной системой координат, в которой оси $\textstyle s$ и $\textstyle t$ проведены под углом 60 градусов. Однако рисуются не сами оси, а уровни $\textstyle s=1$, $\textstyle s=2$, ...., параллельные оси $\textstyle s=0$ и отстоящие от неё на 1,2,... Аналогично для уровней $\textstyle t$, $\textstyle u$. Линии $\textstyle s=0$, $\textstyle t=0$ и $\textstyle u=0$ образуют правильный треугольник $\textstyle ABC$, высота которого равна

$h=s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}.$

Положительные значения инвариантов откладываются от нулевой линии в сторону треугольника, а отрицательные — в обратную:

На первом рисунке жирными линиями отмечены нулевые уровни, а тонкими — уровни $\textstyle s=h$, $\textstyle t=h$, $\textstyle u=h$. В точке $\textstyle A$ значение инвариантов равно $\textstyle s=h$, $\textstyle t=u=0$. Их сумма равна $\textstyle h$. Это свойство выполняется для любой точки плоскости (второй рисунок). Действительно, для площадей треугольников, образованных точками $\textstyle P$, $\textstyle A$, $\textstyle B$, $\textstyle C$, выполняется соотношение

$S_{ABC}=S_{BCP}+S_{ACP}-S_{ABP}.$

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание. Основания всех треугольников одинаковые, а высоты равны $\textstyle h$, $\textstyle s$, $\textstyle t$ и $\textstyle -u$, поэтому $\textstyle h=s+t+u$.

Можно перейти к прямоугольным декартовым координатам, проведя вертикальную ось $\textstyle s$ вдоль высоты $\textstyle h$ перпендикулярно линии $\textstyle s=0$, которая будет горизонтальной осью $\textstyle z$ (первый рисунок). Прямоугольные координаты $\textstyle (z,s)$ связаны с инвариантом $\textstyle t$ следующим образом:

$t={\frac {h+{\sqrt {3}}z-s}{2}}.$

Третий инвариант равен

$u={\frac {h-{\sqrt {3}}z-s}{2}},$

в результате чего сумма всех инвариантов равняется $\textstyle h$.

Рассмотрим снова реакцию аннигиляции двух пи-мезонов с рождением протон-антипротонной пары:

$\pi ^{+}+\pi ^{-}\mapsto {\bar {p}}+p.$

Разрешённая область для этой реакции определяется неравенством порога $\textstyle s\leqslant 4M^{2}$ и соотношением (). Выразим в последнем $\textstyle t$ через переменные $\textstyle z$ и $\textstyle s$:

$3z^{2}-(s-h)^{2}+4(M^{2}-m^{2})^{2}\leqslant 0,$

(EQN)

где $\textstyle h=2(M^{2}+m^{2})$. Эта область изображена на рисунке ниже:

и соответствует параболе в верхней части рисунка с асимптотическими линиями $\textstyle u=0$ и $\textstyle t=0$. Реакцию

$\pi ^{+}+p\mapsto \pi ^{+}+p,$

и аналогично для античастиц, можно изобразить на этом же рисунке, если считать, что в ней, как и в предыдущей реакции, пи-мезоны имеют номера 1 и 2, а протоны — 3 и 4. Тогда в неравенствах (), $\textstyle t\leqslant 0$, $\textstyle s\geqslant (M+m)^{2}$ необходимо поменять $\textstyle s$, $\textstyle t$ местами, и получится () с обратным знаком неравенства и $\textstyle s\leqslant 0$, $\textstyle t\geqslant (M+m)^{2}$. Эта область изображена на рисунке в правом нижнем углу. Третий возможный канал изображен в левом углу рисунка и соответствует реакции неупругого рассеяния нейтрального пи-мезона на нейтроне с образованием протона и заряженного пи-мезона:

$\pi ^{0}+n\mapsto \pi ^{-}+p.$

На самом деле эта реакция не полностью симметрична двум предыдущим, так как массы частиц различаются. Однако это отличие невелико. Так, нейтрон тяжелее протона примерно на 0.1\% или 1\% от массы пи-мезона. Аналогично нейтральный пи-мезон $\textstyle \pi ^{0}$ всего на 1\% легче, чем его заряженные собратья $\textstyle \pi ^{\pm }$.

Таким образом, все три реакции получаются перестановкой частиц в реакции и переобозначением инвариантных переменных $\textstyle s$, $\textstyle t$ и $\textstyle u$.

---

Инварианты s, t и u <<	Оглавление (Глава 3)	>> Антисимметричные тензоры

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии